intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 4 - TS. Phạm Văn Đạt

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST
Báo xấu
6
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 4 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định luật Hooke; Thế năng biến dạng; Sự thu gọn các hằng số đàn hồi; Đường lối giải bài toán của lý thuyết đàn hồi tuyến tính;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 4 - TS. Phạm Văn Đạt

  1. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Chương 4: LÝ THUY T ÀN H I TUY N TÍNH 4.1 nh lu t Hooke V i v t th àn h i tuy n tính, do ó m i quan h gi a ng su t và bi n d ng là m i quan h tuy n tính do ó:  σ11   c11 c12 c13 c14 c15 c16   ε11  σ  c c22 c 23 c 24 c 25 c 26  ε 22   22   21   σ33   c31 c32 c33 c34 c35 c36  ε33   =   (4.1)  σ12  c 41 c42 c 43 c 44 c 45 c 46   ε12   σ23   c51 c52 c53 c54 c55 c56   ε 23        σ31   c61 c62 c63 c64 c64 c66   ε31  trong ó: cij :là các h ng s àn h i c a v t li u, i v i bài toán àn h i tuy n tính có 36 h ng s . Công th c (4.1) chính là công th c c a nh lu t Hooke m r ng. 120
  2. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T 4.2 Th năng bi n d ng Xét m t v t th àn h i, khi ch u tác x2 σ22 d ng c a ngo i l c thì v t th b bi n d ng. Các n i l c àn h i s th c hi n m t công d x3 τ21 σ33 nào ó trên nh ng bi n d ng àn h i. Ta s τ23 τ31 τ12 τ13 d ng gi thuy t c a lý thuy t àn h i là σ11 τ32 τ32 σ11 công c a l c àn h i chuy n hoàn toàn τ13 x1 τ31 thành th năng tích lũy khi v t th bi n d ng dx2 τ12 τ23 σ33 τ21 àn h i. Năng lư ng tích lũy bi n d ng trong m t ơn v th tích ư c g i là th x3 dx1 σ22 năng riêng. Hình 4.1 121
  3. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Xét m t phân t , trên m t c a phân t có các thành ph n ng su t. Công phân t do các n i l c sinh ra trong bi n d ng àn h i: 1 1 1 1 1 1 dA = σ11ε11dV + σ22 ε 22 dV + σ33ε33dV + σ12 γ12 dV + σ 23 γ 23dV + σ31γ 31dV 2 2 2 2 2 2 1 dA = ( σ11ε11 + σ22ε 22 + σ33ε33 + σ12 γ12 + σ23 γ 23 + σ31γ 31 ) dV (4.2) 2 Th năng riêng: dA 1 U= = ( σ11ε11 + σ22 ε 22 + σ33ε33 + σ12 γ12 + σ 23 γ 23 + σ31γ 31 ) (4.3) dV 2 Công th c Castigliano cho v t th àn h i tuy n tính: ∂U ε ij = (4.4) ∂σij ∂U Công th c Green cho v t th à h i tuy n tính: σij = (4.5) ∂ε ij 122
  4. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T 4.3 S thu g n các h ng s àn h i 4.3.1 Tính i x ng c a ma tr n các h ng s àn h i Ta có, o hàm riêng c a th năng riêng theo bi n d ng không ph thu c vào th t l y o hàm nên: ∂2U ∂2U = (4.6) ∂εij∂εkl ∂εkl ∂εij T ó rút ra: cij = c ji (4.7) Như v y t 36 h ng s c l p gi ch còn 21 h ng s c l p. 123
  5. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T 4.3.2 V t th àn h i tr c hư ng Trong trư ng h p t ng quát h s àn h i ph thu c vào cách ch n h tr c t a , v t th như v y g i là v t th d hư ng. Bây gi xét v t th có 1 m t i x ng (ch ng h n m t x1x 2 ) do ó khi ta thay i chi u c a tr c thì trong bi u th c U h s các bi n d ng γ 23 ; γ 31 không thay i, nghĩa là: c15 = c16 = c25 = c26 = c35 = c36 = c45 = c46 = 0 (4.8) Như v y ma tr n các h ng s àn h i còn l i 13 thành ph n c l p và bi u th c nh lu t Hooke có d ng: 124
  6. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  σ11  c11 c12 c13 c14 0 0   ε11  σ   c 22 c 23 c 24 0 0  ε 22   22     σ33   c33 c34 0 0  ε33   =   (4.9)  σ12   c 44 0 0   ε12   σ 23   ( x) c55 c56   ε 23        σ31   c66   ε31  N u3m t i x ng vuông góc nhau là x1x 2 , x 2 x 3 , x 3 x1 thì tương t như trên ta tìm ư c các h ng s tri t tiêu là: c14 = c24 = c34 = c56 = 0 (4.10) Như v y ma tr n các h ng s àn h i còn l i 9 thành ph n c l p và bi u th c nh lu t Hooke có d ng: 125
  7. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  σ11  c11 c12 c13 0 0 0   ε11  σ   c 22 c 23 0 0 0  ε 22   22     σ33   c33 0 0 0  ε33   =   (4.11)  σ12   c 44 0 0   ε12   σ 23   ( x) c55 0   ε 23        σ31   c66   ε31  Nh ng v t th có 3 m t i x ng như nhau g i là v t th tr c hư ng. N u v t th tr c hư ng có tính ch t theo c 3 phương như nhau thì ta có: c11 = c22 = c33 ; c12 = c13 = c32 ; c44 = c55 = c66 . Lúc này ch còn 3 h ng s c l p là: c11;c12 ;c44 . Ma tr n h ng s àn h i c a v t li u có d ng: 126
  8. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T c11 c12 c12 0 0 0  c11 c12 0 0 0    c11 0 0 0 ( cij ) =  c 44 0 0  (4.12)   ( x) c 44 0    c 44  V t th ng hư ng: là v t th có tính ch t theo m i phương là như nhau. Do ó khi xoay tr c thì các h ng s àn h i không thay i. Gi s xoay các tr c x1 , x 2 , x 3 n v trí các tr c chính khi ó bi u th c U có d ng: Như v y i v i v t th àn h i ng hư ng ch còn hai h ng s c l p và ký hi u: c12 = λ;c44 = µ. Hai h ng s λ , µ ư c g i là hai h ng s Lame. Bi u th c quan h gi a ng su t và bi n d ng s có d ng là: 127
  9. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  σ11 = λθ + 2µε11 σ = λθ + 2µε  22 22 σ33 = λθ + 2µε33  (4.13)  τ12 = µγ12  τ23 = µγ 23   τ31 = µγ 31 trong ó: θ = ε11 + ε22 + ε33 là bi n d ng th tích tương i. N u t S = σ11 + σ22 + σ33 là b t bi n th nh t c a hàm ng su t (hàm t ng ng su t). Bi u th c c a nh lu t Hooke dư i d ng kh i s là: S = ( 3λ + 2µ ) θ (4.14) Gi i h phương trình (4.13) theo các n s là bi n d ng s ta ư c: 128
  10. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  1 λ   ε11 = σ11 − S  E  2µ + 3λ   1 λ  ε 22 = σ22 − S  E  2µ + 3λ   1 λ  ε = σ33 − S  33 E  2µ + 3λ    1  γ12 = τ12 ; µ   1  γ 23 = τ23 µ  (4.15)  1  γ 31 = τ31  µ Eυ E t: λ= ;µ = (4.16) (1 + υ)(1 − 2υ) 2(1 + υ) H th c (4.15) ư c vi t l i: 129
  11. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  1 ε11 = σ11 − υ ( σ22 + σ33 )   E   ε = 1  σ − υ ( σ + σ )   22 E  22 33 11   1 ε33 = σ33 − υ ( σ11 + σ22 )   E    2(1 + υ) γ12 = τ12  E  2(1 + υ)  γ 23 = τ23  E  2(1 + υ) (4.17)  γ 31 = τ31  E tr ng ó: E ư c g i là mô un àn h i c a v t li u; υ g i là h s poisson (h s n ngang); µ = G g i là mô un àn h i trư t c a v t li u. 130
  12. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Ví d 4.1: T i i m K c a v t th àn h i có E = 2.104 (kN / cm2 ); υ = 0,25 v i bi n d ng cho b i tenxơ:  3 1 2 1 1 2 .10−4   2 2 1    Yêu c u 1) Hãy xác nh ng su t toàn ph n, ng su t pháp, ng su t ti p trên m t c t i qua i m r 2 2 ang xét có véctơ pháp tuy n v = ( ; ;0). 2 2 2) Tính ng su t chính t i i m K. 3) Xác nh phương chính c a ng su t chính th nh t. 4) Tính su t ti p l n nh t 131
  13. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T L i gi i: 1) ng su t toàn ph n trên m t c t Bư c 1: Tính tenxơ ng su t t i K: Cách 1: Tính các h ng s Lame: Eυ 2.104.0,25 λ= = = 0,8.104 (kN / cm2 ) (1 + υ)(1 − 2υ) (1 + 0,25)(1 − 0,5) E 2.104 µ= = = 0,8.104 (kN / cm2 ) 2(1 + υ) 2(1 + 0,25) Bi n d ng th tích tương i: θ = ε11 + ε 22 + ε33 = 5.10−4 132
  14. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Theo nh lu t Hooke: σ11 = λ.θ + 2µε11 = 0,8.104.5.10−4 + 2.0,8.104.3.10−4 = 8,8kN / cm 2 σ 22 = λ.θ + 2µε 22 = 0,8.104.5.10−4 + 2.0,8.104.1.10−4 = 5,6kN / cm 2 σ33 = λ.θ + 2µε33 = 0,8.104.5.10−4 + 2.0,8.104.1.10−4 = 5,6kN / cm 2 σ12 = 2µε12 = 2.0,8.104.2.10−4 = 1,6kN / cm 2 σ 23 = 2µε 23 = 2.0,8.104.4.10−4 = 3, 2kN / cm 2 σ31 = 2µε31 = 2.0,8.10 4.4.10 −4 = 3, 2kN / cm 2 Tenxơ ng su t t i i m K là: 133
  15. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T 8,8 1,6 3,2 1,6 5,6 3,2 (kN / cm2 )     3,2 3,2 5,6 Cách 2: Theo nh lu t Hooke E 2.104 τ12 = γ12 = 2.10−4 = 1,6(kN / cm 2 ) 2(1 + υ) 2(1 + 0, 25) E 2.104 τ23 = γ 23 = 4.10−4 = 3, 2(kN / cm 2 ) 2(1 + υ) 2(1 + 0,25) E 2.104 τ31 = γ 31 = 4.10−4 = 3, 2(kN / cm 2 ) 2(1 + υ) 2(1 + 0, 25) 134
  16. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  1 ε11 = σ11 − υ ( σ22 + σ33 )   E    1  ε 22 = σ 22 − υ ( σ33 + σ11 )   E   1 ε33 = σ33 − υ ( σ11 + σ22 )    E   σ11 − 0,25σ22 − 0,25σ33 = ε11E = 6  → −0, 25σ11 + σ22 − 0, 25σ33 = ε22 E = 2 (a)  −0, 25σ − 0, 25σ + σ = ε E = 2  11 22 33 33 Gi i h phương trình (a) s xác nh ươc các thành ph n ng su t pháp: σ11 = 8,8(kN / cm 2 ); σ22 = 5,6(kN / cm 2 ); σ33 = 5,6(kN / cm 2 ). Bư c 2: Xác nh các thành ph n ng su t theo ba phương c a ng su t toàn ph n trên m t ph ng nghiêng: 135
  17. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  2 2 p v1 = lσ11 + mτ12 + nτ12 = .8,8 + .1,6 + 0.3, 2 = 5, 2 2  2 2  2 2 p v2 = lτ21 + mσ22 + nτ23 = .1,6 + .5,6 + 0.3, 2 = 3,6 2  2 2  2 2 p v3 = lτ31 + mτ32 + nσ33 = .3, 2 + .3, 2 + 0.5,6 = 3, 2 2  2 2 Bư c 3: Xác nh ng su t toàn ph n: ng su t toàn ph n trên m t c t nghiêng: 2 2 2 pv = ( pv1 ) + ( pv2 ) + ( pv3 ) ≈ 10,2(kN / cm2 ) Bư c 4: Xác nh ng su t pháp trên m t c t nghiêng: σ v = ( p v1.l ) + ( p v2 .m ) + ( p v3 .n ) ≈ 8,800(kN / cm 2 ) 136
  18. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Bư c 5: Xác nh ng su t ti p trên m t c t nghiêng: τ v = p 2 − σ2 ≈ 4,800(kN / cm 2 ) v v 2) Tính ng su t chính t i i m K. 8,8 1,6 3,2 1,6 5,6 3,2 (kN / cm2 )     3,2 3,2 5,6 Tính các b t bi n I1;I2 ;I3 : I1 = σ11 + σ22 + σ33 = 8,8 + 5,6 + 5,6 = 20 σ11 σ12 σ22 σ23 σ11 σ13 I2 = + + = 106,88 σ21 σ22 σ32 σ33 σ31 σ33 137
  19. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T σ11 σ12 σ13 I3 = σ21 σ22 σ23 = 146,94 σ31 σ32 σ33 Xác nh ng su t chính: ng su t chính là nghi m c a phương trình: σ3 − I1 .σ 2 + I 2 .σ − I3 = 0 σ3 − 20.σ2 + 106,88.σ − 146,94 = 0 (b) Nghi m c a phương trình (b) là: σ1 = 12, 26(kN / cm 2 ); σ 2 = 5,6(kN / cm 2 ); σ 3 = 2,14(kN / cm 2 ). 3) Xác nh phương chính c a ng su t chính th nh t Phương chính tương ng v i ng su t chính th nh t là nghi m c a h phương trình: 138
  20. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T ( 8,8 − 12, 26 ) .l + 1,6.m + 3, 2.n = 0  1,6.l + ( 5,6 − 12, 26 ) .m + 3, 2.n = 0 (c) 2 2 2 l + m + n = 1 l = 0,7114 l = −0,7114   Gi i h phương trình (c) trên ta ư c: m = 0, 4358; m = −0, 4358 n = 0,5513 n = −0,5513   139
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2