intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 - TS. Phạm Văn Đạt

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST
Báo xấu
10
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 Bài toán phẳng trong hệ trục tọa độ cực, cung cấp cho người học những kiến thức như: Các phương trình cơ bản; giải bài toán theo ứng suất; Bài toán nêm phẳng chịu lực tập trung;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 - TS. Phạm Văn Đạt

  1. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Chương 6: BÀI TOÁN PH NG TRONG H TR C T A C C Khi nghiên c u tính toán cho các bài toán vành tròn, ĩa v.v… n u dùng h tr c t a Descartes mô t các i lư ng ( ng su t, bi n d ng) thì không thu n ti n b ng mô t trong h tr c t a c c. Ví d khi nghiên c u tr ng thái ng su t, bi n d ng trong các ng dày, các ĩa quay, thanh cong, t i nh ng mi n c nh l tròn c a t m… Trong t a c c, v trí m t i m ư c xác nh góc c c θ và vectơ bán kính r. 6.1 Các phương trình cơ b n 6.1.1. Các phương trình vi phân cân b ng : Gi s có v t th ch u l c song song v i m t ph ng. T i i m A(r,θ,z), ta c t ra 1 phân t gi i h n b ng 6 m t. 230
  2. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T - 2 m t tr ng tr c cách nhau m t kho ng dr. - 2 m t ph ng ch a tr c z và t o v i nhau m t góc dθ. - 2 m t ph ng song song m t ph ng oxy cách nhau 1 ơn v z y r dr τrθ+ τrθ dθ σr + σr dr θ b r σθ+ σθ dθ θ τθr 1 dθ a τθr + r dr c θ σr τrθ o y d σθ dθ τθr dr x r x o θ Hình 6.1 231
  3. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Ký hi u: r là tr c theo hư ng bán kính, θ là tr c i qua i m ang xét A(r,θ,z) và vuông góc v i r, ng su t trên các m t s ư c ký hi u như sau: - Các m t nh n r làm pháp tuy n: + Trên m t i qua i m A(r,θ,z) có các thành ph n ng su t: σr, τ rθ . + Trên m t i qua i m A(r,θ + dθ,z), khai tri n theo Taylor có các thành ph n ng ∂σr ∂τ su : σr + dθ , τrθ + rθ dθ ∂θ ∂θ - fr, fθ : L c th tích hư ng tâm và ti p tuy n tác d ng lên m t ơn v ti p tuy n. Xét cân b ng c a phân t ch u l c như hình 6.1 : ∂σr dθ ∂σ dθ Σr = 0 ⇔ − σr .r.dθ.1 + (σr + dr)(r + dr).dθ− σθ .dr.1.sin − (σθ + θ dθ).dr.1.sin − ∂r 2 ∂θ 2 dθ ∂τ dθ τθr .dr.1.cos + (τθr + θr dθ)dr.1.cos + f r .r.dθ.dr = 0 2 ∂θ 2 232
  4. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T dθ dθ dθ Vì bi n d ng bé nên sin ≈ ; cos ≈ 1 2 2 2 Sau khi b qua các nguyên lư ng vô cùng bé và chia cho r.dr.dθ ta ư c: ∂σr 1 ∂τθ r σr − σθ + + + fr = 0 (6.1) ∂r r ∂θ r Tương t chi u các l c lên phương θ ta ư c ∂τ rθ1 ∂σθ τ rθ + +2 + fθ = 0 (6.2) ∂r r ∂θ r + nh lu t i ng c a ng su t ti p : τ rθ = τ θr (6.3) 233
  5. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T 6.1.2. Các phương trình hình h c: Chuy n v c a i m A(r, θ) theo phương r, θ là: u, v. y ∂u D' Chuy n v c a i m B(r+dr, θ) theo 2 phương là: u + ∂θ dθ D ∂u ∂v E' C' u+ dr và u + dr C γ1 B' ∂u ∂r ∂r A A' B u + ∂r dr U Chuy n v c a i m C(r, θ+dθ) theo 2 phương là: o x Hình 6.2 ∂u ∂v u + dθ và v + dv ∂θ ∂θ Bi n d ng dài tương i theo phương r, θ là: εr, εθ * Trư c tiên ch xét bi n d ng do u gây ra khi gi nguyên góc θ. Sau bi n d ng ABCD tr thành A’B’C’D’ (hình 6.2): + Các bi n d ng dài tương i: 234
  6. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  ∂u  (u + dr) − u + dr − dr A 'B'− AB ∂r ∂u  εr = = = ;  AB dr ∂r (6.4a)  A 'C'− AC (r + u)dθ − rdθ u ε θ = = =  AB rdθ r + Bi n d ng góc: y D'' ∂u D (u + dθ) − u ∂θ 1 ∂u B'' γ1 = C ' A ' E ' = = (6.4b) N v v+ r dr rdθ r ∂θ M v C'' C * Bi n d ng do v gây ra khi gi nguyên dr. Sau bi n A'' B d ng ABCD tr thành A’’B’’C’’D’’ (hình 6.3): A x + Các bi n d ng dài tương i: o ∂v Hình 6.3 (v + dθ ) − v + d θ − d θ A ''C ''− AC ∂θ 1 ∂v εθ = = = (6.5a) AC θdr r ∂θ 235
  7. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T + Bi n d ng góc: ∂v (v + dr) − v ∂v v ∂v v γ1 = (B''A ''M ') − (NA ''M '') = − = − (6.5b) dr r ∂r r v Trong (6.5b) thành ph n (NA ''M '') = là s quay toàn ph n c a phân t ABCD i r v i i m O. C ng (6.4) và (6.5) ta có ư c các quan h gi a bi n d ng và chuy n v trong t a c c: 236
  8. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  ∂u  εr = ∂r   u 1 ∂v ε θ = + (6.6)  r r ∂θ  1 ∂u ∂v v  γ rθ = γ1 + γ 2 = + −  r ∂θ ∂r r 6.1.3. Các phương trình v t lý: Trong t a c c, có th có ư c các phương trình c a nh lu t Hooke trong t a Descartes b ng cách thay x, y b ng r, θ:  1  ε r = (σ r – υσθ ) E   1 a. Bi u th c bi n d ng qua ng xu t: εθ = (σθ – υσ r ) (6.7)  E  τ 2(1 + υ)  γ rθ = rθ = τrθ  G E 237
  9. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T b. Bi u th c ng su t qua bi n d ng:  E  σr = 2 (ε r – υε θ ) 1− υ   E σ θ = (ε θ – υε r ) (6.8)  1 − υ2  E  τrθ = γ rθ  2(1 + υ) bài toán bi n d ng ph ng thay E, υ b ng E1 , υ1theo cách t: E υ E1 = ; υ1 = 1 − υ2 1− υ 6.2. GI I BÀI TOÁN THEO NG SU T. - Phương trình LeVy ∇ 2 (σ x + σ y ) = 0 là phương trình gi i bài toán ph ng theo ng su t trong h t a Descartes. 238
  10. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Ta hãy bi u di n phương trình ó trong h t a c c: ∇ 2 (σ x + σ y ) = 0 σx + σy = σr + σθ = S Suy ra: ∇ 2 (σ r + σ θ ) = 0 (6.9) * Liên h gi a các thành ph n t a Descartes và t a c c: r 2 = x 2 + y2   y (6.10)  tan θ =  x Suy ra: ∂ (r 2 ) ∂r ∂r x = 2r → = = cosθ ∂x ∂x ∂x r 239
  11. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T ∂ (r 2 ) ∂ (r) ∂r y = 2r = 2y → = = sin θ ∂y ∂y ∂y r y ∂( ) x = − y = 1 . ∂θ y y 1 sin θ 2 ∂θ ∂x x 2 cos 2 θ ∂x → ∂x =− 2 x ( )x r =− . =− r r r y ∂( ) x = 1 = 1 . ∂θ ∂θ 1 x x 1 cosθ 2 ∂y x cos 2 θ ∂y → = ∂y x r ( ) = . = r r r * Như v y, i v i hàm f(x,y) b t kỳ, trong t a c c: ∂f ∂f ∂r ∂f ∂θ ∂f ∂f sin θ = + = cosθ − ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂r ∂θ r ∂f ∂f ∂r ∂f ∂θ ∂f ∂f cosθ = + = sin θ + ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂r ∂θ r 240
  12. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T ∂ 2 f ∂  ∂f ∂f sin θ  ∂  ∂f ∂f sin θ  sinθ =  .cos θ − . cosθ −  .cos θ − . ∂x 2 ∂r  ∂r ∂θ r   ∂θ  ∂r ∂θ r  r  ∂ 2 f ∂  ∂f ∂f cosθ  ∂  ∂f ∂f cosθ  cosθ =  .sin θ + . sinθ +  .sin θ + . ∂y 2 ∂r  ∂r ∂θ r   ∂θ  ∂r ∂θ r  r Sau bi n i ta nh n ư c: ∂ 2f ∂ 2f 2 ∂ 2 f sin 2θ ∂ f sin 2θ ∂ f sin 2 θ ∂ 2 f sin 2 θ = .cos θ − . − . + . + 2. 2 ∂x 2 ∂r 2 ∂θ∂r r ∂θ r ∂r r ∂θ r ∂ 2f ∂ 2f 2 ∂ 2 f sin 2θ ∂f sin 2θ ∂f cos 2 θ ∂ 2 f cos 2 θ 2 = 2 .sin θ + . + . + . + 2. 2 ∂y ∂r ∂θ∂r r ∂θ r ∂r r ∂θ r L y t ng hai bi u th c ta ư c: ∂ 2f ∂ 2 f ∂ 2 f 1 ∂f 1 ∂ 2 f 2 ∇f= 2+ 2 = 2+ + (6.11) ∂x ∂y ∂r r ∂r r 2 ∂θ2 Thay (6.11) vào (6.9) ta có : 241
  13. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  ∂2 1 ∂ 1 ∂2   2+ +  (σ r + σ θ ) = 0 (6.12)  ∂r r ∂r r ∂θ 2  Cũng tương t như trong h t a Descartes trong trư ng h p l c th tích b ng 0, l y các ng su t th a mãn phương trình cân b ng (6.1), (6.2):  1 ∂ϕ 1 ∂ 2 ϕ σ r = r ∂r + r 2 ∂θ2   ∂ 2ϕ σθ = 2 (6.13)  ∂r  ∂  1 ∂ϕ   Trθ = −    ∂r  r ∂θ  trong ó: ϕ(r, θ) là hàm ng su t trong t a c c. Thay (6.13) vào (6.12) ta có: 242
  14. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ 2  ∂ 2 φ 1 ∂φ 1 ∂ 2 φ   2+ + 2 2  2 + + 2 2=0 (6.14)  ∂r r ∂r r ∂θ  ∂r r ∂r r ∂θ  ⇔ ∇ 2 ( ∇ 2ϕ) = 0 (6.15) (6.14): là phương trình trùng i u hòa c a bài toán ph ng trong t a c c. Ví d 6.1: Cho thanh cong m t c t ngang hình ch nh t (bxh): L y b=1, ch u tác d ng b i mômen Mo 2m tc t u thanh và n m trong m t ph ng cong c a thanh như b a hình v 6.4. Hãy xác nh tr ng thái ng su t trong thanh. Bài gi i : Hình 6.4 ây là trư ng h p thanh cong ph ng ch u u n thu n túy . Do mômen u n không i theo chi u dài thanh nên ng su t không ph thu c vào góc c c. Ta ch n hàm ng su t theo: ϕ(r)= Alnr+ Br2lnr + Cr2 +D 243
  15. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  1 dφ A  σr = = + B(1 + 2ln r) + 2C  r dr r 2 Khi ó các ng su t theo (6.13) s là :  2 (6.16) σ = d φ = − A + B(1 + 2ln r) + 2C  θ dr 2  r2 Các h ng s A,B,C ư c xác nh t i u ki n biên như sau : r = a → σr = 0 * T i 2 biên cong :  (a) r = b → σr = 0 *T i 2 u thanh : b L c d c N: N= ∫ σ dF = ∫ σ .1.dr = 0 ( F) θ a θ (b) b Mômen u n M: M= ∫ σ .r.dF = ∫ σ .1.r.dr = M (F) θ a θ 0 (c) Thay (6.15) vào (a), (b), (c) ta ư c : 244
  16. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  A  + B(1 + 2ln a) + 2C = 0 a2  A  2 + B(1 + 2ln b) + 2C = 0 (d) b  a  A ln + B(b 2 ln b − a 2 ln a) + C(b 2 − a 2 ) = M 0  b Gi i h phương trình (d) i v i A, B, C ta ư c :  4M 0 2 2 a  A = − a b ln K b   2M 0 2  B = − K ( b − a2 ) (e)   M  C = 0  b 2 − a 2 + 2 b 2 lnb − a 2 lna  ( ) ( )  K   2  a trong ó : K = ( b − a ) − 4a b  ln  2 2 2 2  b Thay các giá tr c a a, b,c (e) vào (7-13) ta ư c : 245
  17. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  4M o  a 2 b 2 b 2 r 2 a  σr =  ln + b ln + a ln   K  r2 a b r   4M o  a 2 b 2 b r a   σθ =  − 2 ln + b 2 ln + a 2 ln + b 2 − a 2   K  r a b r   τrθ = τθr = 0    246
  18. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T 6.3 Bài toán nêm ph ng ch u l c t p trung Xét m t nêm ph ng b dày 1 ơn v , góc P P x β ch n nh là 2α và ch u t i t p trung P α α nghiêng m t góc β như hình v 6.5. ây có θ r th là sơ c am t p ch n và ta coi nên σr A A có chi u dài r t l n. 1 y Hinh 6.5 6.3.1 Hàm ng su t ϕ(r, θ) và các ng su t ng su t t i i m K(r, θ) ph thu c vào: P, r, α, β, θ suy ra th nguyên c a cũng ph thu c vào th nguyên c a các i lư ng này và có: là hư s [σr ] = F / L2  ;[ P] = [ F / L];[ r ] = [ L];   α, β, θ : là hư s . V y th nguyên c a ng su t ph thu c vào các i lư ng khác: 247
  19. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T [ σr ] = k(α, β, θ) [ P ] / [ r ] Ho c: σr = k(α, β, θ).P / r Vì hàm ng su t là hàm c a (r, θ ) nên ta có th bi u di n dư i d ng: σr = τθ / r (6.17) Nhưng: 1 ∂ϕ 1 ∂ 2 ϕ σr = + 2 2 (6.18) r ∂r r ∂θ Nên th a mãn (6.17) thì m i s h ng c a σr (6.18) ph i có d ng (6.17), nghĩa là: 1 ∂ϕ τ1θ = → ϕ = r.H1 (θ) r ∂r r 1 ∂ 2 ϕ τ2 θ 2 2 = → ϕ = r.H 2 (θ) r ∂θ r 248
  20. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Hàm Hi ch ph thu c vào bi n s θ . như v y hàm ng su t ϕ(r, θ) s là: ϕ(r, θ) = r.f ( θ) (6.19) Thay (6.19) vào i u ki n hàm ng su t là hàm trùng i u i u hòa (6.14) ta ư c: f (IV ) + 2f ''+ f = 0 Nghi m c a phương trình (6.17) có d ng: f (θ ) = A cos( θ ) + B sin( θ ) + C.θ cos( θ ) + D.θ sin( θ) Hàm ng su t s có d ng: ϕ(r, θ) = r.( f (θ) = A cos(θ) + Bsin(θ) + C.θ cos(θ) + D.θ sin(θ) ) (6.20) Các thành ph n ng su t là: 249
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2