Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 5

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG V - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

s Trong các chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi trường liên Trong các chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi trường liên tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường biến dạng), giữa tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường biến dạng), giữa hai mặt này có quan hệ với nhau. Sự phân bố ứng suất và biến dạng của môi hai mặt này có quan hệ với nhau. Sự phân bố ứng suất và biến dạng của môi trường phụ thuộc vào quan hệ đó. Xét quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tức là trường phụ thuộc vào quan hệ đó. Xét quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tức là xét về mặt vật lý của môi trường. Sự khác nhau về mặt vật lý đã dẫn đến những xét về mặt vật lý của môi trường. Sự khác nhau về mặt vật lý đã dẫn đến những nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến và lý thuyết đàn hồi dẻo. tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến và lý thuyết đàn hồi dẻo. Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng : Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng : g yz, yz, g g xy, xy, g e z, z, g

(5.1) (5.1)

s x = f1( x = f1(e s y = f2( y = f2(e s z = f3( z = f3(e Txy= f4(e Txy= f4( Tyz= f5(e Tyz= f5( Tzx= f6(e Tzx= f6( e x, x, e e x, x, e e x, x, e e x, x, e e x, x, e e x, x, e e y, y, e e y,...y,... e y,...y,... e y,...y,... e y,...y,... e y,...y,... g zx);zx); ); ); ); ); ); ); ); ); ); );

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục Cơ học môi trường liên tục Ths Phạm Văn Đạt

s e x + a12 x + a12e e x + a22 x + a22e e z + a14 z + a14g e z + a24 z + a24g g xy + a15 xy + a15g g xy + a25 xy + a25g g yz + a16 yz + a16g g yz + a26 yz + a26g g zx;zx; g zx;zx;

e y + a13 y + a13e e y + a23 y + a23e (5.2) (5.2) g xy + a65 e y + a63 xy + a65g y + a63e g yz + a66 yz + a66g e z + a64 z + a64g e x + a62 x + a62e g zx.zx.

Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính. Do đó (5.1) viết thành : ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính. Do đó (5.1) viết thành : s x = a11 x = a11e s y = a21 y = a21e ............ ............ Tzx = a61e Tzx = a61 Trong đó : Trong đó : - Các hệ số aij : Là các hằng số đàn hồi của vật liệu. - Các hệ số aij : Là các hằng số đàn hồi của vật liệu. - Trong (5.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi. Ta sẽ chứng minh rằng đối với - Trong (5.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi. Ta sẽ chứng minh rằng đối với vật liệu hoàn toàn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập với nhau. vật liệu hoàn toàn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập với nhau.

5.1 Công và thế của lực đàn hồi - Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z). Các mặt của - Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z). Các mặt của phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,5.1). Ứng với các ứng suất ấy phần phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,5.1). Ứng với các ứng suất ấy phần tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc. tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc. - Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công. - Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công.

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

d z

P(x,y+dy,z)

¶ t

xy x

x x

y d

N(x+dx,y,z)

¶ ¶ s ¶

¶ t

xz x

Q(x,y,z+dz) dx

s x và x và s s x + .dx, có độ x + .dx, có độ

e x, độ dãn dài tuyệt đối : x, độ dãn dài tuyệt đối : e e x.dx. x.dx.

d t, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia: t, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia:

d d d e e

d e s x sinh ra : ( x sinh ra : (s e x .dx. x .dx. s x.dydz)( x.dydz)( d e x.dx) x.dx)

5.1.1. Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra: 5.1.1. Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra: - Ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc trục x là : s - Ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc trục x là : dài tương đối e dài tương đối - Sau thời gian vô cùng bé d - Sau thời gian vô cùng bé e x. Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : x. Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : d Số gia của công do s Số gia của công do Tương tự số gia của công s Tương tự số gia của công s y và y và s

d e s z sinh ra : z sinh ra : ((s s y.dxdz)( y.dxdz)( d e y .dy) y .dy)

(a)(a)

d e ((s s z.dxdy)( z.dxdy)( d e y .dz). y .dz).

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

g xy. Sau thời gian xy. Sau thời gian d d t, t,

d g g xy.xy.

d g (b) (b)

d g 5.1.2. Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra: 5.1.2. Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra: - Xét thành phần Txy ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là g - Xét thành phần Txy ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là góc trượt đó có số gia d góc trượt đó có số gia - Lực do Txy : Txy.dy.dz. - Lực do Txy : Txy.dy.dz. - Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vuông góc ox : - Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vuông góc ox : (Txy.dydz).dx. (Txy.dydz).dx. - Số gia của công do Txy sinh ra : (Txy.dydz.dx). d - Số gia của công do Txy sinh ra : (Txy.dydz.dx). -Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là : Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là : g xz.xz. g zx.zx. (Tyz.dzdx.dy). d (Tyz.dzdx.dy). (Tzx.dxdy.dz). d (Tzx.dxdy.dz).

d d d d d d d e e e g g g - Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suất - Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suất sinh ra (a+b): sinh ra (a+b): s x. x. d d T = (T = (s g zx )dxdydz. (5.3) zx )dxdydz. (5.3) g xy + Tyz xy + Tyzd g yz + zx yz + zxd e z +Txy z +Txyd e y +y +s s z. z. d s y. y. d

e x +x +s Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng. Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng.

d A sẽ là : A sẽ là :

d d d d d d d e e e g g g *Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) d *Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) s z. z. d d A = = A = = s g xy + Tyz xy + Tyzd e z +Txy z +Txyd e x +x +s e y +y +s s x. x. d s y. y. d g yz + Tzx yz + Tzxd g zx (5.4) zx (5.4)

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

* Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được * Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được là thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy khi vật thể biến bảo toàn. Nếu gọi WW là thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy khi vật thể biến bảo toàn. Nếu gọi dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A. dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A. Do vậy ta có Do vậy ta có A = W A = W (5.5) (5.5)

(cid:219) d A = A = d d (5.6) (5.6) d WW

Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (5.5) gọi là có thế . Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (5.5) gọi là có thế . Từ (5.5) (cid:219) Từ (5.5) Thế năng sinh ra do biến dạng và chỉ do biến dạng mà có, vì vậy Thế năng sinh ra do biến dạng và chỉ do biến dạng mà có, vì vậy

e x, x, e W = f(W = f(e thế năng biến dạng đàn hồi là hàm số của các thành phần biến dạng : thế năng biến dạng đàn hồi là hàm số của các thành phần biến dạng : g zx).zx). g xy, xy, g e z, z, g e y, y, e

g yz, yz, g d W là 1 vi - Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên d W là 1 vi - Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên phân toàn phần. Nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao khi khai triển số gia phân toàn phần. Nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao khi khai triển số gia của thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được : của thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được :

)75( -

W e

W g

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

So sánh (5-4) và (5-7) ta có:

;

W e

¶ ¶ ¶

;

x W g

y W g

z W g

(5-8) ¶ ¶ ¶

¶ ¶ ¶

- Từ (5.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất là - Từ (5.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất là các đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với các biến dạng các đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với các biến dạng tương ứng. tương ứng.

5.2 Định luật Hooke tổng quát và các hằng số đàn hồi của vật liệu 5.2.1. Dựa vào định lý Green : Từ (5.2) ta có : s x = a11e x + a12e y + a13e z + a14g xy + a15g yz + a16g zx

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

a 15

W e

2 W g

¶ ¶ (5-8) ta có: (cid:222) (a) ¶ ¶ ¶

t

+

e

+

g

+

g

Từf (5-2) ta có: = e a 51

a 52

e a 53

a 54

g a 55

a 56

a 51

W g

2 W e

Từ (5-8) ta có: ¶ ¶ (cid:222) (b) ¶ ¶ ¶

- Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và - Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và (b) ta có : a15 = a51. (b) ta có : a15 = a51. - Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (5.2) ta có: aij = aji - Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (5.2) ta có: aij = aji Vậy các hằng số của hệ phương trình (5.2) đối xứng qua đường chéo Vậy các hằng số của hệ phương trình (5.2) đối xứng qua đường chéo chính. Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số. chính. Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số. 5.2.2. Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng : - Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt - Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt phẳng nào đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng. Tính chất cơ, lý của phẳng nào đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng. Tính chất cơ, lý của vật liệu theo mọi phương là như nhau. vật liệu theo mọi phương là như nhau.

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

s x của phương trình thứ nhất trong hệ x của phương trình thứ nhất trong hệ

s g yz + a16 yz + a16g

g zx. (c) g xy + a15 xy + a15g zx. (c) g yz đổi dấu vì khi đổi chiều trục y thì góc trượt yz đổi dấu vì khi đổi chiều trục y thì góc trượt

Do đó các phương trình (5.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ : Do đó các phương trình (5.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ : +Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp s +Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp (5.2) không thay đổi: (5.2) không thay đổi: e z + a14 e y + a13 e x + a12 s x = a11 z + a14g y + a13e x + a12e x = a11e g xy và xy và g Nhưng các biến dạng góc g Nhưng các biến dạng góc trước đây làm góc vuông nhỏ lại nay làm cho góc vuông lớn lên. trước đây làm góc vuông nhỏ lại nay làm cho góc vuông lớn lên.

(cid:222) (cid:222) e y + a13 y + a13e e z - a14 z - a14g g xy - xy -

e x + a12 x + a12e g zxzx (d). (d).

s x = a11 s x = a11e g yz + a16 a15a15g yz + a16g Đồng nhất (c) và (d) ta có : Đồng nhất (c) và (d) ta có :

a 14

a 15

(cid:252) (cid:222) (cid:253)

a 14 a 15

(cid:254)

Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a16 = 0. Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a16 = 0.

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của ba Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của ba phương trình đầu trong hệ phương trình (5.2) đều bằng 0. phương trình đầu trong hệ phương trình (5.2) đều bằng 0.  Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ phương Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ phương trình (5.2) cũng bằng 0 trình (5.2) cũng bằng 0 * Hệ phương trình (5.2) trở thành : * Hệ phương trình (5.2) trở thành :

s (5.9) (5.9)

s x = a11 x = a11e s y = a21 y = a21e s z = a31 z = a31e Tyx = a44g Tyx = a44 Tyz = a54g Tyz = a54 Tzx = a64g Tzx = a64 e y + a13 e zz y + a13e e y + a23 e zz y + a23e e zz e y + a33 y + a33e g yz + a46 yz + a46g g yz + a56 yz + a56g g yz + a66 yz + a66g g zxzx g zxzx g zxzx

e x + a12 x + a12e e x + a22 x + a22e e x + a32 x + a32e g xy + a45 xy + a45g g xy + a55 xy + a55g g xy + a65 xy + a65g Hệ phương trình (5.9) cho ta kết luận : Hệ phương trình (5.9) cho ta kết luận : - Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc. - Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc. - Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối. - Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối.

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

g yz + a46 yz + a46g g zxzx (e) (e)

g yz và yz và g g zx sẽ đổi dấu: zx sẽ đổi dấu: Tyx Tyx

g zxzx (f) (f) g yz - a46 yz - a46g g xy - a45 xy - a45g

(cid:222) a54 = a64 = 0. a54 = a64 = 0.

Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 5.9) : Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 5.9) : g xy + a45 xy + a45g Tyx = a44g Tyx = a44 Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy không đổi nhưng g Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy không đổi nhưng = a44g = a44 Đồng nhất (e) và (f) ta có : Đồng nhất (e) và (f) ta có : Do aij = aji (cid:222) Do aij = aji Tương tự ta có : a56 = a65 = 0. Tương tự ta có : a56 = a65 = 0.

Hệ phương trình (5.9) có thể rút gọn như sau: Hệ phương trình (5.9) có thể rút gọn như sau: e zz e y + a13 s x = a11 y + a13e x = a11e e zz e y + a23 s y = a21 y + a23e y = a21e e y + a33 s z = a31 e zz y + a33e z = a31e Tyx = a44g (5.10) (5.10) Tyx = a44 Tyz = a55g Tyz = a55 Tzx = a66g Tzx = a66 e x + a12 x + a12e e x + a22 x + a22e e x + a32 x + a32e g xyxy g yzyz g zx zx

Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (5.10), ta có: Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (5.10), ta có:

z y

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

s Cơ học môi trường liên tục e y + a33 y + a33e

s e zz s x = a31 x = a31e e z + a33 z + a33e e x (1) x (1)

e y + a13 y + a13e

s z = a31 e x + a32 x + a32e z = a31e e y + a32 y + a32e Hoán vị vòng ta có: Hoán vị vòng ta có: Phương trình (1) của hệ phương trình (5.10) : Phương trình (1) của hệ phương trình (5.10) : e xx e z + a11 s x = a12 z + a11e x = a12e s a31 = a12 a31 = a12 Đồng nhất (5.11) và (1) ta có : Đồng nhất (5.11) và (1) ta có :

(cid:222) (cid:222) Vì aij = aj i Vì aij = aj i

a32 = a13 a32 = a13 a33 = a11 a33 = a11 a12 = a21 a12 = a21 a31 = a13 a31 = a13 a32 = a23 a32 = a23

* Đặt * Đặt

a = a11 = a22 = a33 a = a11 = a22 = a33 b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23 b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23

Bằng phép hoán vị vòng các phương trình (4,5,6) của hệ (5.10) ta có : Bằng phép hoán vị vòng các phương trình (4,5,6) của hệ (5.10) ta có :

c = a44 = a55 = a66 c = a44 = a55 = a66

s Do đó (5.10) có dạng : Do đó (5.10) có dạng :

s e y + y + e e x + x + e e x + x + e e z)z) e z)z) e y)y) (5.11) (5.11)

s x = a x = ae s y = a y = ae s z = a z = ae Txy = cg Txy = c Tyz = cg Tyz = c Tzx = cg Tzx = c e x + b( x + b(e e y + b( y + b(e e z + b( z + b(e g xyxy g yzyz g zxzx

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

q *Ta có: q *Ta có: = e = e x + x + e

q s e y + y + e nênnên

q s (5.12) (5.12)

q s e z: là biến dạng thể tích tương đối. z: là biến dạng thể tích tương đối. + (a - b) e + (a - b) + (a - b) e + (a - b) + (a - b) e + (a - b) s x = b x = bq s y = b y = bq s z = b z = bq e xx e yy e zz

l *Đặt *Đặt

l q n e s q e

(cid:219) l q n e s q e b = b = l a -b = 2 n a -b = 2 (5.12) (cid:219) (5.12) (5.13) (5.13)

l q n e s q e xx yy zz +2 +2n +2 +2n +2 +2n

(cid:222) n

ﬁ n ﬁ

n s x = x = l s y = y = l s z = z = l Thực nghiệm chứng minh rằng khi xoay hệ trục tọa độ ta có: Thực nghiệm chứng minh rằng khi xoay hệ trục tọa độ ta có: c = n c = g xyxy g g yz g (5.14) yz (5.14) g zxzx g c = (a-b)/2 (cid:222) c = (a-b)/2 TTxyxy= = n TTyzyz= = n TTzxzx= = n

l n l Các hệ phương trình (5.13) và (5.14) là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của Các hệ phương trình (5.13) và (5.14) là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng ứng suất theo biến dạng. Đối với loại vật liệu này chỉ có hai hằng số vật lý là dạng ứng suất theo biến dạng. Đối với loại vật liệu này chỉ có hai hằng số vật lý là và n và . Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê. . Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê.

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

xx = 3 = 3l

x x ++s

e zz Độ biến dạng thể tích Độ biến dạng thể tích

e xx+ + e

e yy+ + e

s s s l n q q trong đó : q trong đó : q +2+2n q q ==e

5.3. Một dạng khác của định luật hooke tổng quát 5.3. Một dạng khác của định luật hooke tổng quát xx+ + s Ta có: s Ta có: tương đối. tương đối.

)

( s

1 +

n 2

l 3

(cid:222) (a)

- (cid:252)

n 2

lq n

n 2

(cid:239) Từ (5-18) - (cid:239) - (cid:222) (b) (cid:253) - (cid:239) (cid:239) (cid:254)

Thay (a) và (b) vào (c) ta có:

ø Ø

)

( s

1 +

l 3(

n )2

n 2

n 2 + s

- - œ Œ ß º

)

( s

(

)

n + +

n 2

l 3 l l 3

ø Ø (5-15)

( s

)œ

(

)

(

)

n 2 + n +

l l 3

n 2

ß º

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

;

Đặt: (5-16)

(

)

+ n +

)n

1 E

n 2

l ( l 3 Thay (5-16) vào (5-15) ta được

(cid:252)

)

( s

- (cid:239)

(cid:239) (cid:239)

)

(

)

( s

- (cid:253) (5-17) Tương tự ta có (cid:239)

(cid:239)

)

( s

) (cid:239)

1 E 1 E 1 E

)

(

(cid:254)

n 2

(

n =

ø Ø ø Ø

n =œ

l 3 l

+ n +

n + n

l 2 l

n + 2 n +

n + n

Từ (5-16) ta có Œ Œ ß º ß º

) 1

= n

( m 2 E

(cid:252) (cid:222) (cid:239) (cid:239) (cid:219) (cid:253)

( 2

) 1

(cid:239) (cid:239) (cid:254)

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

(cid:236) Lúc này (5-10) có dạng: (cid:239)

xy G t

(cid:239)

(cid:239) (5-18) (cid:237)

yz G t

(cid:239)

zx G

(cid:239) (cid:238)

Các hệ phương trình (5.17) và (5.18) được gọi là định luật Hooke tổng quát viết Các hệ phương trình (5.17) và (5.18) được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng biến dạng theo ứng suất. dưới dạng biến dạng theo ứng suất. *Định luật Hooke khối *Định luật Hooke khối

e y + y + e s y + y + s s z) - 2 z) - 2m e z)z) (*)(*)

(cid:219) q (cid:219) (cid:219) (*) (cid:219) (*) (5.19) (5.19)

q Với: q Với:

Từ (5.17) ta có : Từ (5.17) ta có : e z) = ( e y + y + e e x + x + e z) = (s E(E(e m )) = S (1 - 2m E Eq = S (1 - 2 e y + y + e e x + x + e = e = S =S =s s x + x + s e x + x + e m ((e s x + x + s e z : Biến dạng thể tích tương đối. z : Biến dạng thể tích tương đối. s z: Hàm ứng suất tổng. z: Hàm ứng suất tổng. s y + y + s

Phương trình (5.19) được gọi là Định luật Hooke khối. Phương trình (5.19) được gọi là Định luật Hooke khối.

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

5.4. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính 5.4. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính 5.4.1. Các phương trình cơ bản : 5.4.1. Các phương trình cơ bản : Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học và vật lý Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học và vật lý - Sáu thành phần của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm : của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm : - Sáu thành phần ứng suất : s ứng suất :

s y, y, s s x, x, s

g yz, yz, g g xy, xy, g g zx.zx. e z, z, g

s z, Txy, Tyz, Tzx. z, Txy, Tyz, Tzx. - Ba thành phần chuyển vị : u, v, w. - Ba thành phần chuyển vị : u, v, w. e y, y, e e x, x, e - Sáu thành phần biến dạng : e - Sáu thành phần biến dạng : Để xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sau Để xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sau

+ = 0(=

)

+ = 0(=

)

+ = 0(=

)

ەەەەەۓ ۖۖ ەە۔ ۖۖ ەەە

2 2

1. Về mặt tĩnh học 1. Về mặt tĩnh học a) Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

+β =

x =

xy = 2 g

xy =a

∂ u ∂ x

∂ v + ∂ x

∂ u ∂ y

y =

yz =2 g

yz = β + g =

∂w ∂y

∂ g v ∂ y

∂v ∂z

e Z =

g zx = 2 g zx = g +a

∂w ∂x

∂u ∂z

∂w ∂z

b) Các điều kiện biên theo ứng suất 2) Về mặt hình học a)Hệ phương trình biến dạng Cauchy – Navier

b)Các phương trình liên tục về biến dạng 2) Về mặt vật lý a) Biểu diễn biến dạng qua ứng suất

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

(cid:236) (cid:236)

)

( s

xy G t

- (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239)

)

(

)

( s

- (cid:237) (cid:237)

yz G t

(cid:239) (cid:239)

)

( s

zx G

1 E 1 E 1 E

- (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238)

l q n e s q e

l q n e q e b) Biểu diễn ứng suất qua biến dạng s

l q n e s q e xx yy zz

n s x = x = l s y = y = l s z = z = l TTxyxy= = n TTyzyz= = n TTzxzx= = n +2 +2n +2 +2n +2 +2n g xyxy g g yzyz g g zxzx g

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

5.4.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính : 5.4.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính :

* Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn * Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính. Những chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính. Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán. Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán. Những ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính. ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính.

Nếu lấy chuyển vị làm các hàm 1. Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm 1. Cách giải bài toán theo chuyển vị:

ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàm chuyển vị u, v, w. chuyển vị u, v, w.

Nếu lấy ứng suất làm các hàm 2. Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm 2. Cách giải bài toán theo ứng suất:

ẩn chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất. ẩn chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất.

Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán, 3. Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán, 3. Cách giải hỗn hợp:

ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất. và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất.

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản :

q + 2Ge x

(a)

s x = l Txy = Gg xy Tzx = Gg zx

Cơ học môi trường liên tục

5.5 Cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo chuyển vị 5.5.1.Về mặt vật lý: Từ định luật Hooke tổng quát : 5.5.2. Về mặt hình học: Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy :

;

e x =

(b)

;

g yx =

;

g zx =

q + G

+ G

Thay (b) vào (a) ta có : s x = l

(c)

Tyx = G

Tzx = G

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

5.5.3 Về mặt tĩnh học: Từ phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy :

(d)

Thay (c) vào (d) ta có:

Với

(cid:209) 2 =

: Toán tử vi phân Laplace.

=e x+e y+e z =q : Biến dạng thể tích tương đối

(*)(cid:219)

(l + G)

+ G(cid:209) 2u + fx = 0

;

Tương tự (l + G)

+ G(cid:209) 2v + fy = 0

;

(5.20)

(l + G)

+ G(cid:209) 2w + fz = 0

;

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

a. Hệ quả 1: Đạo hàm các phương trình của hệ (5.20) lần lượt

Hệ (5.20): Hệ phương trình LaMê : Khi thiết lập (5.20) xuất phát từ điều kiện cân bằng và quan hệ giữa ứng suất và biến dạng nên hệ (5.20) vẫn chứa các hằng số LaMê l và G. Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình học và vật lý. Giải (5.20) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến dạng theo phương trình quan hệ hình học Cauchy và xác định các ứng suất theo định luật Hooke. 5.5.4 Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể tích là hằng số ta có các hệ quả sau: theo các biến x, y, z ta có :

(l + G)

+ G(cid:209) 2

= 0 ;

(l + G)

+ G(cid:209) 2

= 0 ;

(l + G)

+ G(cid:209) 2

= 0 .

(l + G). (cid:209) 2q + G(cid:209) 2q = 0

(cid:209) 2q = 0

(5.21)

(cid:219)

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

(cid:209) 2S = 0

(5.22)

Cơ học môi trường liên tục

Do q tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta cũng có : Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi các lực thể tích là hệ số thì hàm biến dạng thể tích và hàm ứng suất tổng là những hàm điều hòa.

(l + G)

b. Hệ quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.21) : + G(cid:209) 2u +fx = 0 (a)

Lấy đạo hàm bậc 2 của (a) lần lượt theo các biến x, y, z ta có :

+ G)

+ G(cid:209)

= 0 ;

+ G)

+ G(cid:209)

= 0 ;

+ G)

+ G(cid:209)

= 0 .

2(cid:209)

+ G).

+ G(cid:209)

2u = 0 (b)

(cid:209)

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Chọn các ứng suất s x, s y, s z, Txy, Tyz, Tzx làm hàm ẩn chính.

Cơ học môi trường liên tục

Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi lực thể tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm trùng điều hòa. c. Ý nghĩa : Hệ quả này cho phép ta đoán nhận được sơ bộ dạng nghiệm chuyển vị của bài toán đàn hồi. Tất nhiên đây mới chỉ là điều kiện cần, điều kiện đủ là các chuyển vị phải thỏa mãn các phương trình cơ bản đã nêu trên. 5.6 Cách giải bài toán đàn hồi theo ứng suất 5.6.1. Trường hợp các lực thể tích là hằng số: 1. Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke

(*)

e y =

Có S = s x + s y + s z (*) (cid:219)

e y =

(a)

Tương tự e z =

g yz = Tyz =

Tyz

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

2. Về mặt hình học: Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng :

(b)

Thay (a) vào (b) ta có :

(1 + m )

- m

+(1 + m )

- m

= 2(1 + m )

(1 +m )

= 2(1 + m )

(c)

(cid:219)

3. Về mặt tĩnh học: Dựa vào hệ phương trình cân bằng tĩnh học Navier- Cauchy.

;

(1)

(cid:222)

;

(2)

(cid:222)

;

(3)

(cid:222)

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Lấy đạo hàm bậc nhất (2) và (3) lần lượt theo y và z ta có :



(4)

Thay (1) vào (4) ta có :

(4) (cid:219)

(cid:219)

(d)

Thay (d) vào (c) ta có :

(1 + m )

Cơ học môi trường liên tục

(1 + m )

- m

= 0

(**)

(cid:219)

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

2 =

Trong đó : (cid:209)

S = s x + s y + s z.

(**) (cid:219) (1 + m )

(cid:219) + - (1 + m )(cid:209) 2s x +

(cid:219) + = 0. - (1 + m )(cid:209) 2s x +

(cid:219) = 0 (1 + m )(cid:209) 2s x +

Theo Hệ quả (1) ta có (cid:209) 2S = 0

(cid:219) = 0 (1 + m )(cid:209) 2s x +

= 0 (5.24) (1 + m )(cid:209) 2s y +

= 0 (1 + m )(cid:209) 2s z +

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

= 0

(1 + m )(cid:209) 2Txy +

= 0

(5.25)

(1 + m )(cid:209) 2Tyz +

= 0

(1 + m )(cid:209) 2Tzx +

Hệ (5.24) và (5.25) gọi là hệ phương trình Beltrmi

Cơ học môi trường liên tục

Hệ phương trình (5.24) và (5.25) là phương trình để giải bài toán đàn hồi theo ứng suất, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường. Giải (5.24) và (5.25) có được các ứng suất sau đó tìm các biến dạng theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy. 5.6.2 Khi lực thể tích không phải là hằng số: ta cũng nhận được các phương trình tương tự nhưng có vế phải khác 0 :

;

(cid:209) 2s x +

;

(5.26)

(cid:209) 2s y +

;

(cid:209) 2s z +

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

* Hệ quả 3 : Trường hợp fx, fy, fz = const. Từ phương trình (5.24) Beltrmi, ta cũng suy ra được 1 hệ quả về

(5.26) : Phương trình Beltrami-Michell. tính chất của các n0 ứng suất

Xét phương trình (1) của hệ phương trình (5.24) :

= 0 (1)

(1 + m ) (cid:209) 2s x +

Lấy đạo hàm bậc 2 phương trình (1) lần lượt theo x,y,z ta có :

(1 + m )(cid:209) 2

= 0

(1 + m )(cid:209) 2

= 0

(1 + m )(cid:209) 2

(1 + m ) (cid:209) 2(cid:209)

(cid:209) 2S = 0

Theo hệ quả 1 (cid:209) 2S = 0

2s x +

Ta có : (cid:209) 2(cid:209) 2s x = 0. Tương tự ta có : (cid:209) 4s

ij = 0. ij gồm có (s x, s y, s z, Txy, Tyz, Tzx).

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

ﬁ

(cid:209) 4s

ij = 0 ; (cid:209)

4ui = 0 ; (cid:209) 4e

ij = 0. (5.27)

(cid:222)

Ứng suất là những hàm điều hòa kép (trùng điều hòa, bi điều hòa). Vì ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng cũng là những hàm điều hoà kép. Phát biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng của bài toán đàn hồi tuyến tính khi lực thể tích là hằng số đều là những hàm điều hòa kép: 5.7. Các phương pháp giải 1. Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân các phương trình Lamê (5.20) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.24) và (5.25) hay Beltrami Michell (5.26) khi giải theo ứng suất với các điều kiện biên xác định . Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học nhưng phức tạp khi thực hiện. 2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện biên (2.22) tìm các ngoại lực tương ứng với các chuyển vị hay ứng suất cho trước. Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được.

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại

Cơ học môi trường liên tục

3. Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp này ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu tố còn lại từ các điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân bằng. Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang tính toán học của phương pháp thuận và sự cồng kềnh của phương pháp ngược. 4. Nguyên lý Saint-Venant : Nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh, tấm, vỏ. Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là nguyên lý về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này, nếu trên 1 phần nhỏ nào đó của vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng thì ứng suất phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực. chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng. Dựa vào qui luật đối với vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục bộ có thể phát biểu theo cách khác nhau: “Tại những điểm của vật rắn cách xa điểm đặt lực thì trạng thái ứng suất, biến dạng của vật phụ thuộc rất ít vào cách tác dụng của lực”.

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Ví dụ :

F : Diện tích mặt cắt ngang.

Cơ học môi trường liên tục

5.8. Định lý duy nhất nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi

Một vấn đề đặt ra là nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng suất có duy nhất không. Có nghĩa ứng với tải trọng hay chuyển vị đã cho ta chỉ nhận được một hệ ứng suất hay chuyển duy nhất hay ta nhận được vài hệ nghiệm khác nhau với cùng điều kiện đã cho.

* Nếu nhận được một vài hệ nghiệm thì nghiệm của bài toán lý

Thực vậy xét bài toán cơ bản thứ nhất của lý thuyết đàn hồi. Dưới . Lực thể tích fx, fy, fz đã cho. Giả

thuyết đàn hồi đã cho là đa trị. * Định lý duy nhất về nghiệm : Nếu thừa nhận về trạng thái tự nhiên của vật và đinh luật độc lập tác dụng của lực thì nghiệm bài toán lý thuyết đàn hồi là duy nhất. tác dụng của lực bề mặt thiết ta nhận được 2 hệ nghiệm ứng suất khác nhau.

ﬁ

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

* *, Tzx

*, Tyz

*, s z

s x Cả hai hệ ứng suất này đều phải thỏa mãn điều kiện cân bằng

(a)

...

(b)

= s x.l + Tyx.m + Tzx.n = s x.l + Tyx.m + Tzx.n

... Tương tự viết cho các phương trình còn lại. Trừ các phương trình tương ứng cho nhau, ta nhận được hệ phương trình và điều kiện mới. Ví dụ viết cho phương trình thứ nhất ta có :

(Txy – Tyx) +

(Tzx - Tzx)= 0

(s x - s x).l + (Tyx - Tyx).m + (Tzx - Tzx).n = 0 (c)

Cơ học môi trường liên tục s x, s y, s z, Txy, Tyz, Tzx *, s y *, Txy tĩnh học của Cauchy và điều kiện biên tĩnh học.

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

t zy

Cơ học môi trường liên tục

y

t zx

M

x

5.9 Ví dụ giải bài toán xoắn thuần túy lăng trụ Xét thanh thẳng, mặt cắt ngang không đổi, chịu xoắn thuần tuý (h-1) 1) Hệ các phương trình cơ bán Sử dụng phương pháp nửa ngược Saint- Venant giả thiết:

a) Các phương trình cân bằng Navier

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

b) Điều kiện biên - Trên mặt pháp tuyến (l,m,0)

- Trên các mặt cắt ngang ở hai đầu thanh (z=o, z=l)

c) Các liên hệ Cauchy, định luật hooke

d) Phương trình Beltrami - Michell

và

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

2) Chuyển vị và góc xoắn của thanh

là một hằng số

Cơ học môi trường liên tục

M

Trong đó Chuyển vị theo phương bán kính r:

Chuyển vị theo phương vuông góc với bán kính r (u):

3) Sử dụng hàm Prandl để giải bài toán xoắn nếu đặt :

và

Ta có:

và

Suy ra phương trình xác định hàm Prandtl

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Hằng số C được xác định như sau:

Suy ra

Ta có:

Suy ra: C= 4) Một số trường hợp đặc biệt * Thanh có mặt cắt ngang hình elip Phương trình chu vi:

Chọn hàm Prandtl có dạng

từ

=C suy ra

hay

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Suy ra hàm Prandtl

Các ứng suất trên mặt cắt sẽ là:

hằng số C được xác định từ điều kiện cân bằng

Suy ra

;

ứng suất lớn nhất tại hai đầu của bán trục ngắn và bằng

Góc xoắn tỉ đối là:

Trị số

được gọi là mômen chống xoắn của mặt cắt ngang

hình elip * nếu mặt cắt là hình tròn : a=b=d/2

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

Bài tập Chương V

Bài 5.1 Tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tính cho tenxơ ứng suất: Bài 5.1 Tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tính cho tenxơ ứng suất:

ø Ø

(

2cm

)

œ Œ

24 32 01

1 0 4

(10.2

);

25,0

œ Œ - ß º

Cho biết: Cho biết:

Hãy xác định: Hãy xác định: 1- Biến dạng dài theo phương v(2,-1,3) . 1- Biến dạng dài theo phương v(2,-1,3) . 2- Biến dạng chính và phương các biến dạng chính. 2- Biến dạng chính và phương các biến dạng chính.

Bài 5.2 Cho tenxơ biến dạng tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tính Bài 5.2 Cho tenxơ biến dạng tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tính

210.

=eT

3 1

03 2 0

(10.2

);

25,0

ø Ø œ Œ - - œ Œ œ Œ ß º

Cho biết: Cho biết:

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Cơ học môi trường liên tục

Hãy xác định: Hãy xác định: 1- Phương chính và các ứng suất chính. 1- Phương chính và các ứng suất chính. 2- ứng suất tiếp lớn nhất. 2- ứng suất tiếp lớn nhất.

n +

)

n =

;

( x 2 a

xy a

xz a

Bài 5.3 Cho các chuyển vị: Bài 5.3 Cho các chuyển vị: -

Tìm các biến dạng và chứng tỏ chúng thỏa mãn phương trình liên tục. Tìm các biến dạng và chứng tỏ chúng thỏa mãn phương trình liên tục.

===

t ; aEx /

== y

M EJ nằm trong mặt nằm trong mặt phẳng (xoz). Giả sử các ứng phẳng (xoz). Giả sử các ứng suất trong dầm là: suất trong dầm là:

Bài 5.4 Cho dầm conson mặt Bài 5.4 Cho dầm conson mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh) cắt ngang hình chữ nhật (bxh) chịu uốn bởi mômen Mo như chịu uốn bởi mômen Mo như hình vẽ. hình vẽ.

Hãy tìm các biến dạng và chuyển vị. Hãy tìm các biến dạng và chuyển vị.