zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Kiến trúc - Xây dựng

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 5 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Chia sẻ: Tomcangnuongphomai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Báo xấu

37
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 5 Lý thuyết đàn hồi cung cấp cho người học những kiến thức như: Công và thế của lực đàn hồi; Định luật Hooke tổng quát và các hằng số đàn hồi của vật liệu; Một dạng khác của định luật hooke tổng quát; Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 5 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục CHƯƠNG V - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Trong các chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi trường liên tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường biến dạng), giữa hai mặt này có quan hệ với nhau. Sự phân bố ứng suất và biến dạng của môi trường phụ thuộc vào quan hệ đó. Xét quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tức là xét về mặt vật lý của môi trường. Sự khác nhau về mặt vật lý đã dẫn đến những nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến và lý thuyết đàn hồi dẻo. Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng : σx = f1(εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx); σy = f2(εx, εy,... ); σz = f3(εx, εy,... ); Txy= f4(εx, εy,... ); (5.1) Tyz= f5(εx, εy,... ); Tzx= f6(εx, εy,... );
CHƯƠNG CHƯƠNG V V–– LÝ LÝ THUYẾT THUYẾT ĐÀN ĐÀN HỒI HỒI Cơ Cơ học học môi môi trường trường liên liên tục tục Ths Phạm Văn Đạt Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính. Do đó (5.1) viết thành : σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx; σy = a21εx + a22εy + a23εz + a24γxy + a25γyz + a26γzx; ............ (5.2) Tzx = a61εx + a62εy + a63εz + a64γxy + a65γyz + a66γzx. Trong đó : - Các hệ số aij : Là các hằng số đàn hồi của vật liệu. - Trong (5.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi. Ta sẽ chứng minh rằng đối với vật liệu hoàn toàn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập với nhau. 5.1 Công và thế của lực đàn hồi - Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z). Các mặt của phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,5.1). Ứng với các ứng suất ấy phần tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc. - Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công.
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục y τxy ∂τxy P(x,y+dy,z) τxy + dz dx ∂x σx ∂σx σx + dx ∂ x dy N(x+dx,y,z) τxy ∂τ xz Q(x,y,z+dz) τ xz + dx dx ∂x x z 5.1.1. Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra: - Ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc trục x là : σx và σx + .dx, có độ dài tương đối εx, độ dãn dài tuyệt đối : εx.dx. - Sau thời gian vô cùng bé δt, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia: δεx. Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : δεx .dx. Số gia của công do σx sinh ra : (σx.dydz)( δεx.dx) Tương tự số gia của công σy và σz sinh ra : (σy.dxdz)( δεy .dy) (a) (σz.dxdy)( δεy .dz).
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục 5.1.2. Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra: - Xét thành phần Txy ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là γxy. Sau thời gian δt, góc trượt đó có số gia δγxy. - Lực do Txy : Txy.dy.dz. - Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vuông góc ox : (Txy.dydz).dx. - Số gia của công do Txy sinh ra : (Txy.dydz.dx). δγxy. -Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là : (Tyz.dzdx.dy). δγxz. (b) (Tzx.dxdy.dz). δγzx. - Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suất sinh ra (a+b): δT = (σx. δεx +σy. δεy +σz. δεz +Txyδγxy + Tyzδγyz + zxδγzx )dxdydz. (5.3) Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng. *Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) δA sẽ là : δA = = σx. δεx +σy. δεy +σz. δεz +Txyδγxy + Tyzδγyz + Tzxδγzx (5.4)
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục * Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được bảo toàn. Nếu gọi W là thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy khi vật thể biến dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A. Do vậy ta có A=W (5.5) Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (5.5) gọi là có thế . Từ (5.5) ⇔ δA = δW (5.6) Thế năng sinh ra do biến dạng và chỉ do biến dạng mà có, vì vậy thế năng biến dạng đàn hồi là hàm số của các thành phần biến dạng : W = f(εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx). - Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên δW là 1 vi phân toàn phần. Nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao khi khai triển số gia của thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được : ∂W ∂W ∂W ∂W ∂W ∂W δW = δε x + δε y + δε z + δγ xy + δγ yz + δγ zx (5 − 7) ∂ε x ∂ε y ∂ε z ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục So sánh (5-4) và (5-7) ta có: ∂W ∂W ∂W σx = ;σ y = ;σ z = ; ∂ε x ∂ε y ∂ε z (5-8) ∂W ∂W ∂W τ xy = ;τ yz = ;τ zx = ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx - Từ (5.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất là các đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với các biến dạng tương ứng. 5.2 Định luật Hooke tổng quát và các hằng số đàn hồi của vật liệu 5.2.1. Dựa vào định lý Green : Từ (5.2) ta có : σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục (5-8) ta có: ∂W ∂ 2W σx = ⇒ = a15 (a) ∂ε x ∂ε x ∂γ yz Từf (5-2) ta có: τ yz = a51ε x + a52ε y + a53ε z + a54γ xy + a55γ yz + a56γ zx Từ (5-8) ta có: ∂W ∂ 2W τ yz = ⇒ = a51 (b) ∂γ yz ∂γ yz ∂ε x - Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và (b) ta có : a15 = a51. - Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (5.2) ta có: aij = aji Vậy các hằng số của hệ phương trình (5.2) đối xứng qua đường chéo chính. Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số. 5.2.2. Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng : - Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt phẳng nào đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng. Tính chất cơ, lý của vật liệu theo mọi phương là như nhau.
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Do đó các phương trình (5.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ : +Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp σx của phương trình thứ nhất trong hệ (5.2) không thay đổi: σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx. (c) Nhưng các biến dạng góc γxy và γyz đổi dấu vì khi đổi chiều trục y thì góc trượt trước đây làm góc vuông nhỏ lại nay làm cho góc vuông lớn lên. ⇒ σx = a11εx + a12εy + a13εz - a14γxy - a15γyz + a16γzx (d). Đồng nhất (c) và (d) ta có : a14 = −a14   ⇒ a14 = a15 = 0 a15 = −a15  Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a16 = 0.
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của ba phương trình đầu trong hệ phương trình (5.2) đều bằng 0.  Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ phương trình (5.2) cũng bằng 0 * Hệ phương trình (5.2) trở thành : σx = a11εx + a12εy + a13εz σy = a21εx + a22εy + a23εz σz = a31εx + a32εy + a33εz (5.9) Tyx = a44γxy + a45γyz + a46γzx Tyz = a54γxy + a55γyz + a56γzx Tzx = a64γxy + a65γyz + a66γzx Hệ phương trình (5.9) cho ta kết luận : - Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc. - Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối.
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 5.9) : Tyx = a44γxy + a45γyz + a46γzx (e) Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy không đổi nhưng γyz và γzx sẽ đổi dấu: Tyx = a44γxy - a45γyz - a46γzx (f) Đồng nhất (e) và (f) ta có : Do aij = aji ⇒ a54 = a64 = 0. Tương tự ta có : a56 = a65 = 0. Hệ phương trình (5.9) có thể rút gọn như sau: σx = a11εx + a12εy + a13εz σy = a21εx + a22εy + a23εz σz = a31εx + a32εy + a33εz Tyx = a44γxy (5.10) Tyz = a55γyz Tzx = a66γzx Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (5.10), ta có: x z y
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục σz = a31εx + a32εy + a33εz Hoán vị vòng ta có: σx = a31εy + a32εz + a33εx (1) Phương trình (1) của hệ phương trình (5.10) : σx = a12εy + a13εz + a11εx Đồng nhất (5.11) và (1) ta có : a31 = a12 a32 = a13 a33 = a11 Vì aij = aj i ⇒ a12 = a21 a31 = a13 a32 = a23 * Đặt a = a11 = a22 = a33 b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23 Bằng phép hoán vị vòng các phương trình (4,5,6) của hệ (5.10) ta có : c = a44 = a55 = a66 Do đó (5.10) có dạng : σx = aεx + b(εy + εz) σy = aεy + b(εx + εz) σz = aεz + b(εx + εy) (5.11) Txy = cγxy Tyz = cγyz Tzx = cγzx
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục *Ta có: θ = εx + εy + εz: là biến dạng thể tích tương đối. nên σx = bθ + (a - b) εx σy = bθ + (a - b) εy (5.12) σz = bθ + (a - b) εz *Đặt b=λ a -b = 2 ν σx = λθ +2νεx (5.12) ⇔ σy = λθ +2νεy (5.13) σz = λθ +2νεz Thực nghiệm chứng minh rằng khi xoay hệ trục tọa độ ta có: c = (a-b)/2 ⇒ c=ν → Txy= ν γxy Tyz= ν γyz (5.14) Tzx= ν γzx Các hệ phương trình (5.13) và (5.14) là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng ứng suất theo biến dạng. Đối với loại vật liệu này chỉ có hai hằng số vật lý là λ và ν. Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê.
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục 5.3. Một dạng khác của định luật hooke tổng quát Ta có: σx+ σx +σx = 3λ θ+2νθ trong đó : θ=εx+ εy+ εz Độ biến dạng thể tích tương đối. ⇒θ = 1 (σ x + σ y + σ z ) (a) 3λ + 2ν σ y − λθ  Từ (5-18) ε y = 2ν  ⇒ ε + ε = σ y − σ z − λθ  (b) σ z − λθ  y z 2ν ν εz = 2ν  Thay (a) và (b) vào (c) ta có: σ x + σ y εx = 1 (σ x + σ y + σ z ) −  − λ (σ x + σ y + σ z ) 3λ + 2ν  2ν ν (3λ + 2ν )  λ +ν σ x +σ y = (σ x + σ y + σ z ) − ν ( 3λ + 2ν ) 2ν λ +ν  λ  εx = σ − (σ + σ ) (5-15) ν ( 3λ + 2ν )  y  ν ( λ +ν ) x x 
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục 1 λ +ν λ Đặt: = ;µ = (5-16) E ν ( 3λ + 2ν ) ν ( λ +ν ) Thay (5-16) vào (5-15) ta được εx = 1 (σ x − µ (σ y + σ z ) )  E  ε y = (σ y − µ ( σ z + σ x ) )  1  Tương tự ta có (5-17) E  ε z = (σ x − µ (σ x + σ y ) )  1  E  ν ( 3λ + 2ν )  ν 2λ + 2ν   ν  Từ (5-16) ta có E = =ν  +  =ν  + 2  =ν ( 2 µ + 2 ) λ +ν λ +ν λ +ν  λ +ν  E  ⇒ν = 2( µ +1)   E  ⇔G =ν G=  2( µ +1) 
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Lúc này (5-10) có dạng:  τ xy γ xy =  G  τ yz γ  yz = (5-18)  G  τ zx γ  zx =  G Các hệ phương trình (5.17) và (5.18) được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng biến dạng theo ứng suất. *Định luật Hooke khối Từ (5.17) ta có : E(εx + εy + εz) = (σx + σy + σz) - 2µ(εx + εy + εz) (*) (*) ⇔ Eθ = S (1 - 2µ) ⇔ (5.19) Với: θ = εx + εy + εz : Biến dạng thể tích tương đối. S =σx + σy + σz: Hàm ứng suất tổng. Phương trình (5.19) được gọi là Định luật Hooke khối.
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục 5.4. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính 5.4.1. Các phương trình cơ bản : Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm : - Sáu thành phần ứng suất : σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx. - Ba thành phần chuyển vị : u, v, w. - Sáu thành phần biến dạng : εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx. Để xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sau 1. Về mặt tĩnh học a) Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy �� 2� ‫ ەەەەەۓ‬+ + + � = 0(= � ) ۖ �� ۖ �� 2 � + + + � = 0(= � ) ‫ەە۔‬ �� ۖ 2 ۖ�� + �� + �� + � = 0(= � � � ) ‫�� ەەە‬ ��
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục b) Các điều kiện biên theo ứng suất 2) Về mặt hình học a)Hệ phương trình biến dạng Cauchy – Navier ∂u ∂v ∂ εx = γxy = 2 γxy =α +β = + u ∂x ∂x ∂y ∂v ∂w ∂v εy = γyz =2 γyz = β + γ = + ∂y ∂y ∂z ∂w ∂u ∂w εZ = γzx = 2 γzx = γ +α = + ∂z ∂z ∂x b)Các phương trình liên tục về biến dạng 2) Về mặt vật lý a) Biểu diễn biến dạng qua ứng suất
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục τ xy  x E (σ x − µ (σ y + σ z ) )  1  ε = γ  xy =  G  τ yz  ε  y = 1 (σ y − µ (σ z + σ x ) )  γ yz = G  E    τ zx  z E (σ x − µ (σ x + σ y ) ) 1 γ = ε =  zx   G b) Biểu diễn ứng suất qua biến dạng σx = λθ +2νεx σy = λθ +2νεy σz = λθ +2νεz Txy= ν γxy Tyz= ν γyz Tzx= ν γzx
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục 5.4.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính : * Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính. Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán. Những ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính. 1. Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàm chuyển vị u, v, w. 2. Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất. 3. Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán, ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất.
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục 5.5 Cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo chuyển vị Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản : 5.5.1.Về mặt vật lý: Từ định luật Hooke tổng quát : σx = λθ + 2Gεx Txy = Gγxy (a) Tzx = Gγzx 5.5.2. Về mặt hình học: Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy : εx = ; γyx = ; (b) γzx = ; Thay (b) vào (a) ta có : σx = λθ + G +G Tyx = G (c) Tzx = G

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.