intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 5 - TS. Phạm Văn Đạt

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST
Báo xấu
9
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 5 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Bài toán phẳng; Bài toán ứng suất phẳng; Bài toán biến dạng phẳng; Giải bài toán phẳng bằng hàm đa thức; Giải bài toán phẳng bằng chuỗi lượng giác;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 5 - TS. Phạm Văn Đạt

  1. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Chương 5: BÀI TOÁN PH NG TRONG H TR C T A DESCARTES 5.1 Bài toán ph ng Trong chương trư c ta ã ưa ra các phương trình cơ b n c a lý thuy t àn h i và các phương pháp gi i trong trư ng h p t ng quát. Nghĩa là các n s c a bài toán ph thu c vào 3 bi n x, y, z ( x1 , x 2 , x 3 ) ây là nh ng bài toán không gian. Tuy nhiên trong nhi u trư ng h p c bi t bài toán d n t i các n s (bi n d ng ho c ng su t) ch ph thu c vào 2 bi n s (ch ng h n: x, y) nh ng bài toán này ư c g i là bài toán ph ng. Bài toán ph ng ư c chia thành 2 lo i: Bài toán bi n d ng ph ng và bài toán ng su t ph ng. Sau ây ta s i nghiên c u chi ti t t ng bài toán: 186
  2. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T 5.1 Bài toán ng su t ph ng Xét m t t m m ng hay t m tư ng (chi u dày h) có y y áy song song v i m t ph ng (xoy) và ch u t i tr ng q m t sư n song song v i áy và phân b u theo chi u x z dày b n (hình 5.1). Vì theo tr c z không có t i tr ng tác d ng t i hai q áy nên m i i m thu c 2 áy b n có: Hình 5.1 σz = 0; τ yz = 0; τzx = 0 (5.1) Vì chi u dày b n khá bé nên ta có th coi r ng ng su t này b ng không t i m i i m. Các ng su t còn l i không thay i theo chi u dày b n t c là không ph thu c vào t a z. Chúng là hàm c a t a x, y và ư c bi u di n như sau: 187
  3. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  σ x = F1 (x, y);  σ y = F2 (x, y); (5.2)  τ = F (x, y)  xy 3 Như v y, trong bài toán này các nghi m ng su t c a bài toán n m trong m t m t ph ng và bài toán này ư c g i là bài toán ng su t ph ng. nh lu t Hooke bi u di n bi n d ng qua ng su t:  1 (σ − υσ y )  ε x = ( σ x − υ(σ y + σ z ) ) = x  E E  1 (σ − υσ x )  ε y = ( σ y − υ(σz + σ x ) ) = y  E E  (5.3) ε = 1 ( σ − υ(σ + σ ) ) = −υ(σ x + σ y )  z E z x y E  2(1 + υ)τ xy γ =  xy  E 188
  4. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T nh lu t Hooke bi u di n ng su t qua bi n d ng: σ x = λθ + 2µε x  σ y = λθ + 2µε y (5.4)   τ x = µγ xy trong ó: θ = ε x + ε y + ε z 5.3 Bài toán bi n d ng ph ng Gi s m i i m trong v t th àn h i ta có chuy n v ch ph thu c vào 2 trong 3 bi n x, y, z (ch ng h n x, y) nghĩa là:  u = f1 (x, y)   v = f 2 (x, y) (5.5)  w=0  189
  5. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Ví d : Xét tư ng ch n dài ch u áp l c c a nư c như hình 5.2a. Ta xét trong m t ơn v dài tư ng ch n thì coi như t m b k p gi a chi u dài v t nên không có bi n d ng dài theo phương theo phương b dài (phương z) (hình 5.2b) y x z z a) b) Hình 5.2 Khi ó các thành ph n bi n d ng t i m t i m b t kỳ trong t m: 190
  6. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  ε z = 0; γ yz = 0; γ zx = 0;  ε x = f1 (x, y); ε y = f 2 (x, y); (5.6)  γ xy = f3 (x, y)  Các phương trình (5.5) và (5.6) ch ng t t t c các thành ph n chuy n v và bi n d ng ch x y ra trong m t ph ng song song v i m t ph ng oxy. Bài toán như v y ư c g i là bài toán bi n d ng ph ng. Trong bài toán bi n d ng ph ng, ta có: τ yz = 0; τzx = 0; 1 T : εz = E ( σz − υ(σx + σ y ) ) = 0 suy ra: σz = υ(σx + σ y )  ∂σ x ∂τ xy  ∂x + ∂y + f x = 0  Lúc ó, phương trình cân b ng tĩnh h c:  (5.7)  ∂τ yx + ∂σ y + f = 0  ∂x  ∂y y 191
  7. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T i u ki n biên: i u ki n biên tĩnh h c: l.σx + m.τxy = p vx  (5.8) l.τ yx + m.σ y = p vy i u ki n biên ng h c: u s = u 0 ;vs = v0 ho c các o hàm c a chuy n v v i u 0 , v0 là chuy n v ã bi t trên b m t c a v t th . Các bi n d ng ư c vi t theo nh lu t Hooke: 1 1 1 − υ2  1  ε x = ( σ x − υ(σ y + σ z ) ) = ( σ x − υ(σ y − υ(σ x + σ y )) ) =  σx − σy  E E E  1− υ  tương t : 192
  8. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  1 − υ2  1   εx =  σx − σy   E  1− υ   1 − υ2  1   εy =  σy − σx  (5.9)  E  1− υ   2(1 + υ)  γ xy = τxy  E E υ N u ta t: E1 = 2 ; υ1 = Bi u th c (5.9) có d ng: 1− υ 1− υ  1  ε x = ( σ x − υ1σ y )  E1  1  ε y = ( σ y − υ1σ x ) (5.10)  E1  2(1 + υ1 )  γ xy = τxy  E1 193
  9. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T H th c liên h gi a bi n d ng và chuy n v trong trư ng h p này s có d ng:  ∂u  εx =  ∂x   ∂v  εy = (5.11)  ∂y  1  ∂u ∂v   γ xy =  +    2  ∂y ∂x  6 phương trình liên t c c a bi n d ng lúc này ch còn 1 phương trình: 2 2 ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy + = (5.12) ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y Gi i h các phương trình (5.10), (5.11) và (5.12) ta s tìm ư c các n s chuy n v , bi n d ng và ng su t c a bài toán. 194
  10. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T So sánh các bi u th c (5.3) và (5.9) cho th y các bi u th c u có d ng gi ng nhau, ch khác nhau các h s àn h i: Trong bài toán ng su t ph ng là: E, υ ; trong bài toán bi n d ng ph ng là: E1 , υ1 5.4 Gi i bài toán ph ng theo ng su t, hàm ng su t Airy 5.4.1 Hàm ng su t airy – phương trình lư ng i u hòa Phép gi i bài toán ph ng theo ng su t nghĩa là ch n 3 thành ph n ng su t: σ x , σ y , τ xy là nghi m c a phương trình. gi i các n s này ta s d ng các phương trình cân b ng (5.7), phương trình liên t c (5.12), i u ki n biên (5.8), các phương trình quan h gi a bi n d ng qua ng su t (5.10). Ta có: Các ng su t này ph i th a mãn phương trình cân b ng (5.7) . 195
  11. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  ∂σ x ∂τyx  ∂x + ∂y = −f x   (5.13)  ∂τxy + ∂σ y = −f  ∂x  ∂y y Nghi m c a (5.13) s là t ng c a nghi m t ng quát phương trình thu n nh t:  ∂σx ∂τ yx  ∂x + ∂y = 0   (5.14)  ∂τxy + ∂σ y = 0  ∂x  ∂y và nghi m riêng c a phương trình (5.15) 196
  12. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  ∂σ x ∂τ yx  ∂x + ∂y = −f x   (5.15)  ∂τxy + ∂σ y = −f  ∂x  ∂y y - Nghi m riêng c a phương trình (5.15) tìm ư c không khó khăn, nó ph thu c vào d ng c th c a các l c th tích. Ví d nghi m riêng có th l y là : * σx = 0 ; σy = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = h ng s . ax 2 * σx = + bx ; σy = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0 2 y3 axy2 * σx = 0 ; σy = -a ; Txy = khi fx = axy , fy = 0. 6 2 197
  13. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T 5.4.2 Hàm ng su t Airy – phương trình lư ng i u hòa Nghi m c a phương trình (5.14) s b ng nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t và nghi m riêng c a phương trình (5.15). i u ki n c n và cho bi u th c p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y), t c p ( x, y ) dx + q ( x, y ) dy là vi phân toàn ph n c a 1 hàm u(x,y) nào ó thì gi a p và q ph i ∂p ∂q có quan h : = . ∂y ∂x ∂σx ∂τyx - Phương trình th (1) c a h (5.14) ⇔ =− , t c là (σx.dy - Txy.dx) là vi phân ∂x ∂y ∂A ∂A toàn ph n c a 1 hàm A(x,y) nào ó. Nên ta có quan h σx = ; τ yx = − (a) ∂y ∂x 198
  14. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T ∂σ y ∂τ xy Tương t , phương trình th 2 : =− ∂x ∂x ⇒ σ x .dx − τ xy dy là vi phân toàn ph n c a 1 hàm B(x,y) nào ó : ∂B ∂B → Ta có quan h : σ x = ; τ yx = − (b) ∂x ∂y ∂A ∂B So sánh (a) và (b) ta có : = (c) ∂x ∂y ⇒ (A.dy + B.dx) là vi phân toàn ph n c a 1 hàm ϕ(x,y) nào ó : ∂ϕ ∂ϕ → Ta có quan h : A = ; B= (d) ∂y ∂x thay (d) vào (a) và (b) ta có: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ σ x = 2 ; σ y = 2 ; τxy = − (5.16) ∂y ∂x ∂x∂y 199
  15. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Hàm ϕ(x,y) : G i là làm ng su t Airy, là hàm gi i bài toán ph ng theo ng su t. Hàm ng su t ph i t n t i o hàm n b c 4. Vì hàm t ng ng su t là hàm i u hòa nên hàm ng su t ph i là hàm trùng i u hòa nên: ∂ 4ϕ ∂ 4ϕ ∂ 4ϕ 4 +2 2 2 + 4 =0 (5.17) ∂x ∂x ∂y ∂y Lúc này i u ki n biên ư c bi u di n qua hàm ng su t:  ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ * l. 2 − m.  ∂y = fx  ∂x∂y  2 2 (5.18) −l. ∂ ϕ + m. ∂ ϕ = f *  ∂x∂y  ∂x 2 y 5.5 Gi i bài toán ph ng b ng hàm a th c Ta th y gi i bài toán ph ng là tích phân phương trình trùng i u hòa (5.17) cùng v i các i u ki n biên (5.18) tìm hàm ng su t ϕ(x,y). Nhưng vi c làm này vô cùng ph c 200
  16. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T t p. B i v y ngư i ta thư ng gi i bài toán này b ng phương pháp ngư c, nghĩa là cho trư c d ng c a hàm ng su t ϕ(x,y) ph thu c vào nh ng tham s nào ó c n xác nh. Hàm ϕ(x,y) ch n này s th a mãn phương trình trùng i u hòa và t i u ki n biên tìm các tham s c n thi t ó. 5.5.1 Ch n hàm ϕ(x,y) dư i d ng hàm a th c b c 3: D dàng th y hàm ϕ(x,y) ư c ch n như v y th a mãn phương trình hàm trùng i u hòa (5.17) v i nh ng giá tr b t kỳ c a c a các h s a, b, c, d, v.v… ϕ = ax 3 + bx 2 y + cx y 2 + cy3 + a1x 2 + b1xy + c1 y 2 (5.19) Khi ó trong trư ng h p không có l c kh i thì theo (5.16) ta có: 201
  17. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  ∂ 2ϕ σ x = ∂y 2 = 2cx + 6dy + 2c1 ;   ∂ 2ϕ σ y = 2 = 2ax + 6by + 2a1 ; (5.20)  ∂x  ∂ 2ϕ τxy = − ∂x∂y = −2bx − 2cy − b1 ;  H s (a, b, c) trong (5.20) s ư c xác nh t i u ki n biên (5.18): 5.5.2 Ch n hàm ϕ(x,y) dư i d ng hàm a th c b c 4 ho c cao hơn: N u ch n hàm ϕ(x,y) là m t hàm a th c b c 4 ho c cao hơn thì trư c tiên ph i ch n các h s sao cho nó là m t hàm trùng i u hòa. Ch ng h n ch n: ϕ = ax 4 + bx 3 y + cx 2 y 2 + dx y3 + ey 4 + a1x 3 + b1x 2 y + c1xy 2 + d1 y3 + a 2 x 2 + b 2 xy + c2 y 2 (5.21) Theo i u ki n c a hàm trùng i u hòa ta có: 202
  18. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T ∇ 2 ( ∇ 2 ϕ ) = 24(a + e) + 8c = 0 Suy ra: a=c=e=0. Khi ó nh n ư c hàm lư ng i u hòa: ϕ = bx 3 y + dx y3 + a1x 3 + b1x 2 y + c1xy 2 + d1 y3 + a 2 x 2 + b 2 xy + c 2 y 2 (5.22) Các hàm ng su t tìm ư c theo (5.16) là:  ∂ 2ϕ σ x = ∂y 2 = 6dxy + 2c1x + 2d1 y + 2c 2 ;   ∂ 2ϕ σ y = 2 = 6bxy + 6a1x + 2b1 y + 2a 2 ; (5.23)  ∂x  ∂ 2ϕ 2 2 τxy = − ∂x∂y = −3bx − 2d1 y − 2b1x − 2c1 y − b 2 ;  203
  19. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Ví d 5.1: Xét m t d m conson dài l, m t y δ c t ngang hình ch nh t ( δ × h ) ( δ nh ) ch u m P t i tr ng P m tc t u mút. Hãy xác nh h x tr ng thái ng su t trong d m (hình 5.3) m x L i gi i l Ch n hàm ng su t ϕ (x, y) : Hình 5.3 Mô men là hàm b c nh t c a x, nên ng su t là hàm b c 2 c a x và y. Vì ng su t là o hàm b c 2 c a hàm ng su t, nên hàm ng su t là hàm b c 4 theo x và y: ϕ = bx 3 y + dx y3 + a1x 3 + b1x 2 y + c1xy 2 + d1 y3 + a 2 x 2 + b 2 xy + c 2 y 2 i u ki n biên: - T i biên trên (y = h;0 ≤ x ≤ l) : có l = 0; m = 1 nên: τxy = 0; σ y = 0 (a) 204
  20. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T - T i biên dư i (y = 0;0 ≤ x ≤ l) : có l = 0; m = −1 nên: τxy = 0; σ y = 0 (b) σx = 0 (c) h - T i biên bên ph i (0 ≤ y ≤ h; x = l) : có l = 1;m = 0 nên:  ∫ δτyx dy = P (d) 0 Thay (5.23) vào (a, b,c) ư c: a1 = a 2 = b = b1 = b2 = 0;  c1 = 1,5dh;c2 = 1,5dhl;d1 = −dl; Như v y hàm ϕ (x, y) s tr thành: ϕ = dxy3 + dly3 − 1,5dhxy 2 + 1,5dhly 2 = dy 2 (x − l)(y − 1,5) ng su t: 205
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2