intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 2 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Chia sẻ: Tomcangnuongphomai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST
Báo xấu
47
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 2 Một số khái niệm cơ bản về tenxơ cung cấp cho người học những kiến thức như: Tenxơ trong hệ tọa độ descrates vuông góc; Trường vô hướng hay tenxơ hạng không; Vec tơ hay tenxơ hạng nhất. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 2 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

  1. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NiỆM VỀ TENXƠ Là những đại lượng mà với một đơn vị đo đã chọn nó Đại lượng vô hướng được đặc trưng bằng một con số như: nhiệt độ, khối lượng, … Là đại lượng được đặc Đại lượng trưng bởi giá trị theo đơn vị trong toán học Đại lượng có hướng đo, phương và chiều trong và trong cơ không gian xác định, chẳng hạn: lực, vận tốc, gia tốc học của chất điểm, … Đặc trưng cho một trạng Đại lượng Tenxơ thái xác định nào đó của vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, …
  2. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục Ten xơ là một đại lượng tổng quát, mà các đại lượng vô hướng, đại lượng vec tơ là trường hợp riêng của nó. Các đại lượng ten xơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô tả chúng. 2.1.TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VUÔNG GÓC. 2.1.1 Hệ thống ký hiệu - Ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số là: ai , aij , aijk ,... - Qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh i,j, k lấy các giá trị 1, 2, 3. Do đó: ai biểu thị một trong ba phần tử a1 , a2 , a3 aij biểu thị một trong chín phần tử a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33 aIjk biểu thị một trong 27 phần tử a111 , a112 ,..., a333 Hệ thống các phần tử như ai chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống 2 hạng nhất, bao gồm 3 phần tử; aij là hệ thống hạng hai bao gồm 3 phần tử. n Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n chỉ số gồm 3 phần tử.
  3. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục 2.1.2 Quy ước các chỉ số Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 3. Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác. -Thí dụ: aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3 = akbk Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3. -Thí dụ, ai là hệ thống gồm a1, a2, a3 2.1.3 Hệ đối xứng, hệ phản xứng -Một hệ được gọi là đối xứng nếu: aibj =ajbi . Mở rộng ra cho các hệ thống nhiều chỉ số, chẳng hạn aijk = aikj thì hệ thống aijk đối xứng qua hai chỉ số j, k. Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ đối xứng. 1 với j=j δij =  0 với i#j
  4. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục Ký hiệu Levi-Chivita eijk là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như sau: 0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau  eijk =  1 khi hai chỉ số bất kỳ lập thành hoán vị chẵn 1, 2, 3 − 1 khi hai chỉ số bất kỳ lập thành hoán vị lẻ 1, 2, 3  2.2 Trường vô hướng hay tenxơ hạng không Trường vô hướng là một hàm vô hướng ϕ ( x1 , x2 , x3 , t ) của toạ độ các điểm trong miền không gian x1 , x2 , x3 xác định của hàm và t là tham số thời gian. ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ gradϕ = ∇ϕ = e1 + e2 + e3 = ei (2-1) ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi Với ei là vecto đơn vị trên trục oxi; Ký hiệu ∇ đọc là “nabla” Ý nghĩa hình học: gradϕ là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình ϕ = const . Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν của mặt này tại một điểm nào đó trên bề mặt sẽ là.
  5. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ e1 e2 e3 gradϕ ∂x1 ∂x2 ∂x3 v= = + + gradϕ gradϕ gradϕ gradϕ (2-2) 2 2 2  ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ  Trong đó: gradϕ =   +   +   (2-3)  ∂x1   ∂x2   ∂x3  Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử Laplace” hay Laplacien với: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∆ϕ = ∇∇ϕ = ∇ ϕ = 2 2 + 2 + 2 (2-4) ∂x1 ∂x2 ∂x3 Phương trình: ∇ ϕ = 0 gọi là phương trình điều hòa. Nghiệm của phương 2 trình điều hòa gọi là hàm điều hòa.
  6. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục Phương trình: ∇ ∇ ϕ = ∇ ϕ = 0 gọi là phương trình điều hòa kép. Nghiệm của 2 2 4 phương trình điều hòa gọi là hàm điều hòa kép. Ví dụ:2-1 Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) cho trước trong hệ tọa độ vuông góc như hình vẽ. Bài giải: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là: x y z + + =1 a b c Suy ra: x y z ϕ= + + a b c (Hình 2-1) 1 1 1 gradϕ = e1 + e2 + e3 a b c
  7. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục Do vậy: 1 1 1 e1 + e2 + e3 gradϕ a b c v= = gradϕ 2 2 1 1 1 2   +  +  a b c bc ca ab v= e1 + e2 + e3 a b +b c +c a 2 2 2 2 2 2 a b +b c +c a 2 2 2 2 2 2 a b +b c +c a 2 2 2 2 2 2 Trường hợp đặ biệt: a=b=c ( Mặt phẳng nghiêng đều) r ±1 uur ±1 uur ±1 uur v= e1 + e2 + e3 3 3 3
  8. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục 2.3 VEC TƠ HAY TENXƠ HẠNG NHẤT 2.3.1 Các thành phần vectơ Giả sử trong không gian thuộc hệ trục tọa độ Descartes vuông góc (Oxyz) có các vec tơ đơn vị là cho một vec tơ đặt tại điểm M .Gọi các hình chiếu của vec tơ trên các trục x,y,z tương ứng là ax, ay, az .Ta có thể viết: ur r ur ur a = ax.i + ay. j + az.k (2-5) y a = a x 2 + ay 2 + a z 2 (2-6) Các côsin chỉ phương của vec tơ a ký hiệu là l,m,n. a ax Ta có: r ur ur ur ur ur ay l = cos(i, a); m = cos( j, a); n = cos(k , a) az x l + m + n =1 2 2 2 z (2-7) (Hình 2-1)
  9. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục 2.3.2 Biến đổi các thành phần của vec tơ khi xoay hệ trục tọa độ: a,Bảng các cosin chỉ phương: Giả sử xoay hệ trục (Oxyz) quanh O trở thành hệ trục mới (Ox’y’z’) có các vec r ur ur tơ đơn vị tương ứng là: i, j, k như hình vẽ Ta có bảng cosin chỉ phương giữa hai hệ trục tọa độ như sau: z Bảng 2-1 z' x y Z a x’ l1 m1 n1 y' y’ l2 m2 n2 y z’ l3 m3 n3 x x' Hi`nh (1-2) (Hình 2-3) Trong đó là cosin góc hợp bởi các trục x’,y’,z’ với trục x,y,z.Từ điều kiện trực giao của các trục này ta có :
  10. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục * Đối với hệ trục mới(x’,y’,z’): (2-8) * Đối với hệ trục cũ (x,y,z): (2-9)
  11. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục b/ Sự thay đổi của các thành phần vec tơ: Gọi ( ) là hì nh chiếu của vec tơ trong hệ trục cũ (Oxyz);( ) là hì nh chiếu của vec tơ trong hệ trục mới (Ox’y’z’) thì ta có: Theo định nghĩ a ta lại có: Hay là: Suy ra: (2-10) Hệ thức biểu diễn các hì nh chiếu của vec tơ trong hệ tọa độ cũ (Oxyz).
  12. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục Một cách tương tự ta có thể tì m được các hì nh chiếu của vec tơ trong hệ tọa độ mới (Ox’y’z’) như sau: �� = ��′ . �1′ + ��′ . �1′ + ��′ . �1′ ൞�� = ��′ . �2′ + ��′ . �2′ + ��′ . �2′ (2-11) �� = ��′ . �3′ + ��′ . �3′ + ��′ . �3′ Các cosin chỉ phương lập thành một ma trận vuông cấp[3x3] gọi là ma trận biến đổi hệ trục tọa độ ,ký hiệu là (C):
  13. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục ' ' ' Các cosin li , mi , ni chỉ phương lập thành một ma trận vuông cấp[3x3] gọi là ma trận biến đổi hệ trục tọa độ,ký hiệu là (C’):  l1' m1' n1'  [ ]  C ' = l2' m2' n2'   l3' m3' n3'   Ma trận (C) và (C’) là hai ma trận trực giao. [C ] = [ C ] = [ C ] ' −1 T Khi hệ trục tọa độ O’x1x2x3 quay một góc θ ngược chiều kim đồng hồ quanh trục x3 tạo thành hệ trục tọa đồ mới O’x’1x’2x’3 lúc đó Ox3≡ Ox’3 lúc đấy ma trận biến Đổi hệ trục tọa độ có dạng:  cos θ sin θ 0 [ ] C = − sin θ cos θ 0  0 0 0 (Hình 2-4)
  14. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục Chú ý: khi biến đổi hệ trục tọa độ thì véctơ a không thay đổi chỉ có các thành phần của ve tơ a thay đổi. Bài tập chương II Bài 2.1 Xác định hàng cuối của ma trận cấp 3 (3x3) cho dưới đây để được một ma trận biến đổi hệ trục tọa độ: 3 4  5 − 0  5 0 0 1   c31 c32 c33    Bài 2.2 Cho ma trận biến đổi hệ trục tọa độ cij:  2 1 1 Và véc tơ b(1,2,3) , c(2,1,1) . Tìm véc các thành  −   2 2 2 phần của vecto tổng a = b + c trong phép biến  2 2 0 đổi hệ trục tọa độ  2 2   2 1 1  −   2 2 2 
  15. CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục HẾT CHƯƠNG II
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2