zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Kiến trúc - Xây dựng

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 4 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Chia sẻ: Tomcangnuongphomai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Báo xấu

35
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 4 Lý thuyết về chuyển vị và biến dạng cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm về chuyển vị; Quan hệ vi phân giữa vị trí và biến dạng bé; Quan hệ vi phân giữa các thành phần quay cứng với chuyển vị; Khái niệm về tenxơ biến dạng bé; Biến dạng chính, phương biến dạng chính;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 4 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG 4.1. KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN VỊ Xét một vật thể đàn hồi (S). Tại thời điểm ban đầu t =t0, vật thể chưa chịu lực có hình dáng nào đó . Giả sử lấy điểm M bất kì ∈ (S), trong hệ trục (Oxyz) có tọa độ là : M(x,y,z). Dưới tác dụng của ngoại lực vật (S) bị biến dạng . Điểm M chuyển đến vị trí mới là M 1(x’,y’,z’). Ta gọi véc tơ MM1 là véc tơ chuyển vị của điểm M khi biến dạng (Hình 4-1) Hình 4-1 Các thành phần hình chiếu của véc tơ MM 1 lên các trục tọa độ x,y,z tương ứng là u,v,w. � = �′ − � ൱� = � ′ − � (4.1) � = �′ − �
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục Các thành phần u,v,w gọi là những thành phần dịch chuyển của véc tơ MM 1 và chúng là hàm của các tọa độ x,y,z. Ta có: � = �1 (�, �, �) ൱ � = �2 (�, �, �) (4.2) � = �3 (�, �, �) Gọi δ là chuyển vị toàn phần của điểm M thì nó được xác định theo biểu thức sau : (4.3) Định nghĩa: Sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong môi trường khi môi trường chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác gọi là chuyển vị. Có mấy dạng chuyển vị? Có 2 dạng: - Chuyển vị cứng: môi trường chuyển động như vật thể cứng sang trạng thái mới, khoảng cách giữa các phần tử vật chất không thay đổi . - Chuyển vị gây biến dạng: khoảng cách giữa các phần tử vật chất thay đổi => chỉ nghiên cứu chuyển vị gây biến dạng
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục 4.2 Quan hệ vi phân giữa vị trí và biến dạng bé Phân tố MNPQ với các cạnh ban đầu là dx và dy sau biến dạng trở thành phân tố M1,N1 ,P1 ,Q1. Điểm M (x,y)có chuyển vị theo phương các trục tọa độ x,y tương ứng là: u(x,y); v(x,y). Điểm N (x+dx,y+dy) có các chuyển vị tương ứng là : dx; Biến dạng dài tỷ đối theo các phương x,y tương ứng là Biến dạng góc trong mặt phẳng (x,y) là . Từ hình vẽ ta có: =α+β; Với giả thiết biến dạng bé ta có thể coi rằng: │ε ,x │
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục Theo định nghĩa ta có (a) Trong đó :MN=dx; (b) Từ hình vẽ (3-4) ta thấy : (c) Thay vào (b),(c) ta được: (d) Tương tự ta nhận được: (e) Góc quay của cạnh MN sẽ là: α ~ tgα . (g) Trong biểu thức (g) ta đã bỏ qua lượng vô cùng bé│ε ,x │=│ │
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục Suy ra biến dạng góc γ ,xy trong mặt phẳng (x,y) sẽ là: 4.3 Quan hệ vi phân giữa các thành phần quay cứng với chuyển vị. Để có được đầy đủ chuyển động của phân tố trong mỗi mặt phẳng tọa độ,ta xét thêm sự thay đổi phương của các đường chéo phân tố gọi là các chuyển động quay.Ta xét góc quay của đường chéo phân tố hình hộp quay quanh các trục tọa độ x,y,z với giả thiết là: . Có 3 thành phần chuyển động quay kí hiệu tương ứng là : Xét hình chiếu của phân tố trên mặt phẳng (x,y).Góc quay của đường chéo phân tố quay trục z bằng góc quay của đường chéo MQ trong mặt phẳng (x,y)quanh điểm
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục M .Khi cạnh MN quay một góc nhỏ α như đã kí hiệu ở mục trên thì đường chéo MQ quay một góc ngược chiều kim đồng hồ là ; khi cạnh MP quay một góc nhỏ β thì đường chéo MQ quay một góc thuận chiều kim đồng hồ là . Hình 4-3 Góc quay của đường chéo MQ trong mặt phẳng (x,y) quanh điểm M sẽ bằng tổng đại số của hai góc quay thành phần là ω ,1 và ω ,2 :
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục Một cách tương tự ta cũng nhận được các biểu thức góc quay của đường chéo phân tố trong 2 mặt phẳng còn lại .Viết gộp lại ta được: Ví dụ 4-1: Cho trường hợp chuyển vị: u=ayz ; v=azx ; w=axy. Trong đó a=const. Hãy tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1). Bài giải : Theo công thức (4-4) ta có : ∂u ∂v ∂w *Các biến dạng dài: εx = =0 ,εy = =0 ,εz = =0 ∂x ∂y ∂z
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục ∂v ∂u *Các biến dạng góc: γxy = + =az +az=2az; ∂x ∂y ∂w ∂v γyz = + =ax +ax =2ax; ∂y ∂z ∂u ∂w γzx = + =ay +ay=2ay; ∂z ∂x Tại điểm M (1,1,1)các biến dạng sẽ là: εx = εy = εz =0; γxy = γyz = γzx =2a; Chú ý: Các công thức (4_4) và (4_5) cho thấy các hàm biến dạng εx, εy, εz , γx , γy , γz và góc quay cứng ωx ,ωy ,ωz được biểu diễn tuyến tính qua đạo hàm riêng bậc nhât của các hàm chuyển vị u,v,w.Các đạo hàm riêng này được viết dưới dạng ma trận là: 𝜕� 𝜕� 𝜕� 𝜕� 𝜕� 𝜕� ‫ەەۇ‬ 𝜕� 𝜕� 𝜕�‫ەەۊ‬ ‫ەەۈ‬ 𝜕� 𝜕� 𝜕�‫ەەۋ‬ (4-6) 𝜕� 𝜕� 𝜕� ‫ەەۉ‬ 𝜕� 𝜕� ‫ەەەەەەی‬ 𝜕�
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục Về mặt toán học ta có thể biểu diễn ma trận (3_6) dưới dạng tổng của hai ma trận như sau: 1 1 𝜕� 𝜕� 𝜕� �� ‫ەەۇ‬ 2 �� 2 ��‫�𝜕 ەەۇ ەەۊ‬ 𝜕� 𝜕�‫ەەۊ‬ 0 �12 −�31 1 ‫�� ەەۈ‬ 1 ‫�𝜕 ەەۈ‬ 𝜕� 𝜕�‫ەەۋ‬ �� ‫ەەۈ= ەەۋ‬ + ൭−�12 0 −�23 ൱ ‫ ەەۈ‬2 2 ‫�𝜕 ەەۈ ەەۋ‬ 𝜕� 𝜕�‫ەەۋۋ‬ ‫ەە‬ �31 �23 0 1 1 𝜕� 𝜕� 𝜕� ‫ ەەۉ‬2 �� 2 �� ‫ەەەەەەی‬ ‫�𝜕 ەەۉ‬ 𝜕� ‫ەەەەەەی‬ 𝜕� Ma trận ở vế trái là ma trận đối xứng biểu thị biến dạng thuần túy .Ma trận thứ hai ở vế phải biểu thị sự quay cứng (không biến dạng).
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục 4.4 Khái niệm về tenxơ biến dạng bé: Ta xét đoạn thẳng vô cùng bé MN = ds nằm theo phương υ nào đó có các côsin trong hệ trục tọa độ (x,y,z) là (l,m,n) . Ở trạng thái ban đầu tọa độ các điểm M và N tương ứng là : M ( x,y,z); N ( x+ dx, y+dy; z+dz). dx dy dz Côsin chỉ phương của đoạn thẳng là : l = ;m= ;n= (a) ds ds ds Sau khi biến dạng đoạn thẳng MN ở vị trí mới là M1N1 với các tọa độ tương ứng là : M1(x+u, y+v, z+w) ; N1(x+dx+u+du, y+dy+v=dv,z+dz+w+dw) Trong đó các thành phần vi phân của chuyển vị du, dv , dw là: 𝜕� 𝜕� 𝜕� ‫ �𝑑 �𝜕 = �𝑑ەەەەەۓ‬+ 𝜕� 𝑑� + 𝜕� 𝑑� ۖ 𝜕� 𝜕� 𝜕� 𝑑� = 𝑑� + 𝑑� + 𝑑� (b) ‫ەە۔‬ 𝜕� 𝜕� 𝜕� ۖ𝑑� = 𝜕� 𝑑� + 𝜕� 𝑑� + 𝜕� 𝑑� ‫ەەە‬ 𝜕� 𝜕� 𝜕�
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục Gọi chiều dài của đoạn thẳng sau biến dạng là ds1 = M1N1 và biến dạng tương đối theo phương υ là εv , theo định nghĩa ta có : Suy ra là : Ta nhận được hệ thức : (c) Trong hệ thức (c) nếu bỏ qua vô cùng bé bậc 2 ở vế phải (εv2 ) ta được : (d) Ta có : ds2 = dx2 + dy2 + dz2 ds12 = (dx+du)2 + (dy+dv)2+(dz+dw)2=(dx2 +dy2+dz2) + 2(dxdu+dydv+dzdw)+(du2 +dv2 + dw2) Suy ra là : ds12 - ds2 = 2(dxdu+dydv+dzdw)+(du2 +dv2 + dw2) (e)
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục Thay (e) vào (d) ta được : Thay (b) vào (g) và chú ý tới hệ thức (a) ta được : ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂w ∂w ∂w 1 ∂u ∂u ∂u εv =[( l+ m+ n)l+( l + m + n)m+( l+ m+ n)n] + [( l+ m+ ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z 2 ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ∂w ∂w ∂w n)2 +( l + m + n)2+ ( l+ m+ n)2] (h) ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z Với giả thiết biến dạng bé , đạo hàm của các chuyển vị u, v, w theo các tọa độ x,y,z là bé , ta có thể bỏ qua các số hạng chứa tích các đạo hàm này . Khi đó biểu thức (h)sẽ có dạng : ∂u ∂v ∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂u ∂w εv = l2 + m2+ n2+( + )lm+( + )mn+( + )nl (4-7) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục Dựa vào các liên hệ của Côsi ta viết lại biểu thức (4-7) dưới dạng : εv = εxl2 +εym2 +εzn2+2γxylm +2γyzmn +2γzxnl (4.8) Biểu thức (4-8) chứng tỏ rằng biến dạng theo phương υ bất kì tại một điểm được biểu diễn qua 9 thành phần biến dạng là ( εx , εy , εz, γxy ,γyz ,γzx ,γyx ,γzy ,γxz ). Nói cách khác là khi viết các thành phần của ma trận biến dạng : 1 1 �� 2 2 �� ‫ ەەۇ‬1 1 ‫ەەۊ‬ ‫ ەەۈ‬2 �� 2 ��‫ەەۋ‬ (4.9) 1 1 � � �� ‫ ەەۉ‬2 �� 2 �� ‫ەەەەەەی‬ Ta có thể tính được biến dạng theo phương υ bất kì .
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục 4.5. Biến dạng chính, phương biến dạng chính Do có sự tương quan toán học giữa tenxơ biến dạng và tenxơ ứng suất tại một điểm bất kì của môi trường , tại điểm này tồn tại 3 trục chính vuông góc với nhau (tương ứng có 3 mặt vuông góc với các trục chính trên đó không có biến dạng góc ). Các trục chính này gọi là phương biến dạng chính ε1 , ε2 , ε3 và quy ước là ε1 > ε2 > ε3 . Các biến dạng chính được xác định từ phương trình bậc 3 tương tự như phương trình xác định các ứng suất chính (3-20) là : 1 1 �� − � �� 2 2 �� ‫ەەۇ‬ 1 1 ‫ەەۊ‬ 𝑑𝑒�‫ەەۈ‬ � �� − � ��‫ەەۋ‬ =0 (4-10) 2 �� 2 1 1 � � �� − � ‫ەەۉ‬ 2 �� 2 �� ‫ەەەەەەی‬ Khai triển phương trình (4.10) ta được: ε3 - J1ε2 + J2ε - J3 = 0 (4.10’)
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục Trong đó : �1=�� + �� + �� ‫ەەەەەەەەەۓ‬ 1 1 1 ۖ �� ۖ� = ൱ 2 ൱+ ൱ 2 ൱+ ൱ 2 �� ൱ ۖ2 1 1 1 ۖ � �� 2 �� 2 2 �� 1 1 ‫ەە۔‬ �� 2 2 �� ۖ ൱1 1 ൱ ۖ �3= �� ۖ ൱2 2 ൱ ۖ 1 1 ‫ەەە‬ � � �� 2 �� 2 �� Phương trình (4-10’) bao giờ cũng tồn tại 3 nghiệm thực , đó là 3 biến dạng chính tương ứng ε1 , ε2 , ε3 . Ví dụ 3-2: Cho Tenxơ biến dạng 4 0 1 �� = ൭0 1 0൱ 1 0 4 Hãy xác định các biến dạng chính và phương biến dạng chính
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục Bài giải : *Phương trình xác định biến dạng chính là : ε3 - J1ε2 + J2ε - J3 = 0 (1) Tính J1 , J2, J3: �1= �� + �� + �� = 9 ‫ەەەەەۓ‬ 1 1 1 ۖ �� ۖ� = ൱ 2 ൱+ ൱ 2 ൱+ ൱ 2 ൱= 23 ۖ2 1 1 1 ۖ � �� 2 �� 2 �� 2 �� 1 1 ‫ەە۔‬ �� 2 2 �� ۖ ൱1 1 ൱ ۖ �3= �� = 15 ۖ ൱2 2 ൱ ۖ 1 1 ‫ەەە‬ � � �� 2 �� 2 �� Thay vào phương trình (1) ta được : ε3 - 9ε2 + 23ε - 15 = 0 (1’) Giải phương trình (1’) đối với ε ta được :ε1 =5, ε2 =3, ε3 =1
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục *Xác định phương trình biến dạng chính : Thay εi vào 2 trong 3 phương trình : 1 1 ‫ ��ەەەەەۓ‬− �� . � + �� . � + �� . � = 0 ൱ ൱ ۖ 2 2 1 1 ‫ �� ەە۔‬. � + ൫ �� − �� ൯. � + �� . � = 0 ۖ2 2 ‫ەەە‬ � 2 + � 2 + �2 = 1 - Phương chính thứ nhất tương ứng với : ε1 = 5: Thay ε1 = 5 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được hệ phương trình sau : (4-5)l +0.m +n = 0 -l+n=0 0.l +(1-5)m +0.n =0 Hay -4m =0 (4) l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục 2 2 Giải hệ phương trình (4) ta được : l1=± ; m1=0; n1=± 2 2 -Phương chính thứ 2 tương ứng với ε2 = 3: Thay ε2 = 3 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được hệ phương trình sau: (4-3)l+0.m+n =0 l+n=0 0.l +(l-3)m+0.n =0 Hay -2m=0 (5) l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1 2 2 Giải hệ phương trình (5) ta được : l2=± ; m2=0; n2=± 2 2 -Phương chính thứ 3 tương ứng với ε3 = 1 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được hệ phương trình sau: (4-1)l+0.m+n =0 3 l+n=0 0.l +(l-1)m+0.n =0 Hay 0m=0 (6) l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1 Giải hệ phương trình (6) ta được :
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục 4.6 Tenxơ lệch và tenxơ cầu biến dạng Ta có: (4-11) Trong đó: : Tenxơ lệch biến dạng : Tenxơ cầu biến dạng : Biến dạng dài trung bình
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Cơ học môi trường liên tục Như vậy trạng thái biến dạng được phân tích thành hai trạng thái: - Trạng thái thứ nhất tương ứng với tenxơ lệch biến dạng có biến dạng thể tích bằng không. - Trạng thái thứ hai tương ứng với tenxơ cầu biến dạng chỉ bao gồm các thành phần biến dạng dài theo 3 phương vuông góc nhau không có biến dạng góc nên phân tố chỉ có biến dạng thể tích. Ví dụ: Cho tenxơ biến dạng: Hãy xác định giá trị chính và phương chính của tenxơ lệch biến dạng.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.