intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 3 - TS. Phạm Văn Đạt

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST
Báo xấu
11
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 3 cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm chuyển vị; Khái niệm biến dạng; Quan hệ vi phân giữa chuyển vị và biến dạng bé; Quan hệ vi phân giữa các thành phần quay cứng với chuyển vị; Khái niệm về tenxơ biến dạng bé; Biến dạng chính, phương biến dạng chính. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 3 - TS. Phạm Văn Đạt

  1. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Chương 3: TR NG THÁI BI N D NG 3.1 Khái ni m chuy n v Xét m t v t th àn h i, t i th i i m ban u x2 M' t = t 0 , v t th chưa bi n d ng. Gi s t i m t u2 i m b t kỳ M trong v t th , trong h t a M ox1x 2 x3 là: M ( x1 , x 2 , x 3 ) . Dư i tác d ng c a u1 u3 0 x1 ngo i l c làm v t th b bi n d ng và i m M d ch chuy n sang v trí m i là M’ có t a x3 M ' ( x '1 , x '2 , x '3 ) . MM' ư c g i là chuy n v c a Hình 3.1 i m M. Ta có: MM ' = u1 + u 2 + u 3 76
  2. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T '  u 1 = x1 − x 1  ' trong ó: u 2 = x 2 − x 2 (3.1)  u = x' − x  3 3 3 Các thành ph n chuy n v u, v, w là các hàm t a c a i m:  u1 = f1 (x1 , x 2 , x 3 )  u 2 = f 2 (x1 , x 2 , x 3 ) (3.2)  u = f (x , x , x )  3 3 1 2 3 Chuy n v toàn ph n c a i m M: δ = u12 + u22 + u32 = F(x1 ,x2 ,x3 ) (3.3) 3.2 Khái ni m bi n d ng T i i m M trong v t th , tách m t phân t hình h p có các m t song song v i các m t t a (hình 3.2). Khi v t th bi n d ng thì phân t s chuy n sang v trí m i, n u gi 77
  3. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T thuy t phân t không bi n d ng, xác nh v trí m i c a phân t thì ch v i 3 thành ph n chuy n v t i i m M chưa vì hình h p ch nh t có th quay quanh c nh MN ( song song v i tr c x1 ) ho c c nh MP ( song song v i tr c x 2 ) ho c c nh MR ( song song v i tr c x 3 ) ho c tr c b t kỳ không song song v i các tr c t a , lúc ó c n ph i k n3 thành ph n góc xoay. Nh ng thành ph n này x2 ư c g i là các thành ph n xoay c ng, ký P' N' M' hi u ω23 ( quay quanh tr c x1 ); ω31( quay P R' M N R quanh tr c x 2 ); ω12 ( quay quanh tr c x 3 ). x1 Trư ng h p c bi t n u ω12 = ω23 = ω31 = 0 0 nghĩa là không có s quay t i i m kh o sát, x3 thư ng ư c g i là bi n d ng thu n túy. Hình 3.2 78
  4. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Khi phân t b bi n d ng thu n túy thì P các c nh b bi n d ng dài, góc vuông b thay 1 90 0 P' - N1 i g i là bi n d ng góc. Trên hình v 3.3 90 γx2x ° 1 N' x1 bi u di n hình chi u c a phân t trên m t P M v Ox1x 2 . V trí ban u là (MNP), sau khi M N bi n d ng thì v trí là (M1N1P1 ) . u Hình 3.3 3.3 Quan h vi phân gi a chuy n v và bi n d ng bé Xét phân t MNP sau khi bi n d ng tr thành phân t M1 N1P1 , t i i m M (x1 , x 2 ) chuy n v tương ng là: u1 (x1 , x 2 ); u 2 (x1 , x 2 ) . 79
  5. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T i m N(x1 + dx1 , x 2 ) có chuy n v tương x2 ∂u u+ u dx2 ng là: u1 (x1 , x 2 ) + 1 dx1 ; x2 ∂x1 P2 P v+ v dx2 1 ∂u 2 β N1 x2 u 2 (x1 , x 2 ) + dx1 . ∂x1 x1 1 v dx P α i m P (x1 , x 2 + dx 2 ) có chuy n v M1 N2 dx2 v+ v M N ∂u1 tương ng là: u1 (x1 , x 2 ) + dx 2 ; u+ u dx1 ∂x 2 u x1 dx1 ∂u 2 x1 u 2 (x1 , x 2 ) + dx 2 . ∂x 2 Hình 3.4 80
  6. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Bi n d ng dài t i theo các phương x1 ,x 2 l n lư t là: ε11; ε22 . Bi n d ng góc trong m t ph ng ox1x2 là: γ12 = α + β; Khi gi thuy t là bi n d ng bé nên có th coi r ng: ε11 1; ε 22 1; α 1; β 1; tgα ≈ sin α ≈ α;cosα ≈ 1; tgβ ≈ sin β ≈β;cosβ ≈ 1. M1 N1 − MN Theo nh nghĩa: ε11 = ; (3.4) MN M1 N 2 trong ó: MM = dx1; M1 N1 = = M1 N 2 (3.5) cosα   ∂u   ∂u  Theo hình (3.4): M1 N 2 =  dx1 +  u1 + 1 dx1   − u1 =  1 + 1  dx1 (3.6)   ∂x1   ∂x1  Thay (3.5), (3.6) vào (3.4) ta ư c: 81
  7. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T M1 N1 − MN M1 N 2 − MN ∂u1 ε11 = = = (3.7) MN MN ∂x1 tương t : M1P1 − MP M1P2 − MP ∂u 2 ε 22 = = = (3.8) MP MP ∂x 2 Góc quay c a c nh MN là:  ∂u  ∂u 2  u 2 + 2 dx1  − u 2 N1 N 2  ∂x1  ∂x1 ∂u α ≈ tgα = = = = 2 (3.9) M1 N 2  ∂u1   ∂u1  ∂x1 1+  ∂x  dx1 1 + ∂x   1  1 tương t : 82
  8. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T ∂u 1 φ ≈ tgβ = (3.10) ∂x 2 Suy ra bi n d ng góc trong m t ph ng ox1x2 là: ∂u 2 ∂u 1 γ12 = α + β = + (3.11) ∂x1 ∂x 2 Tương t b ng cách s d ng hoán v vòng tròn nh n ư c quan h gi a chuy n v và bi n d ng bé như sau:  ∂u ∂u ∂u  ε11 = 1 ; ε 22 = 2 ; ε33 = 3  ∂x1 ∂x 2 ∂x 3  (3.12)  γ = 2ε = ∂u1 + ∂u 2 ; γ = 2ε = ∂u 2 + ∂u 3 ; γ = 2ε = ∂u 3 + ∂u1 ;  12  12 ∂x 2 ∂x1 23 23 ∂x 3 ∂x 2 31 31 ∂x1 ∂x 3 ho c vi t dư i d ng t ng quát: 83
  9. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T 1  ∂u i ∂u j  εij =  +  (3.13) 2  ∂x j ∂x i  Công th c (3.13) bi u di n m i quan h tuy n tính gi a các thành ph n bi n d ng v i các thành ph n chuy n v ang xét t i th i i m t, các công th c này ư c thi t l p nh m i quan h hình h c. 3.4 Quan h vi phân gi a các thành ph n quay c ng v i chuy n v xét ư c y chuy n ng c a phân t trong m i m t ph ng t a ta c n xét thêm s thay i c a phương các ư ng chéo phân t g i là chuy n ng quay. Ta xét ư ng chéo phân t v i các gi thi t: ε11 = ε 22 = ε 33 = 0 . Có 3 thành ph n chuy n ng quay tương ng: ω12 ; ω23 ; ω31 . 84
  10. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T x2 x2 α= v x1 Q1 P P1 Q Q1 P Q β β β= u ω2=α/2 N1 ω1=β/2 x2 x1 x1 α= v M N M N x1 Hình 3.5 Góc quay c a ư ng chéo MQ trong m t ph ng ox1x2 là: 1  ∂u 2 ∂u1  ω12 = ω1 + ω2 =  − (3.14a) 2  ∂x1 ∂x 2   85
  11. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Tương t ta cũng vi t ư c góc quay c a các ư ng chéo phân t trong hai m t ph ng còn l i:  1  ∂u ∂u   ω12 =  2 − 1   2  ∂x1 ∂x 2    1  ∂u ∂u   ω23 =  3 − 2  (3.14b)  2  ∂x 2 ∂x 3   1  ∂u ∂u   ω31 =  1 − 3    2  ∂x 3 ∂x1  Chú ý: Các công th c (3.14b) cho th y các hàm bi n d ng và các góc quay c ng ư c bi u di n tuy n tính qua các o hàm riêng b c nh t c a các hàm chuy n v u1 , u 3 , u 3 . Các o hàm riêng này ư c vi t dư i d ng ma tr n: 86
  12. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T  ∂u1 ∂u1 ∂u1   ∂x ∂x 2 ∂x 3   1   ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2   ∂x (3.15) ∂x 2 ∂x 3   1   ∂u 3 ∂u 3 ∂u 3   ∂x ∂x 2 ∂x 3   1  V m t toán h c có th bi u di n (3.15) dư i d ng t ng c a hai ma tr n:  ∂u1 ∂u1 ∂u1   1 1   ∂x ∂x 2 ∂x 3   ε1 γ12 γ13   1   2 2   0 −ω12 ωx31   ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2   1 1    ∂x  =  2 γ 21 ε2 γ 23 + ω12 0 ω23  (3.16) ∂x 2 ∂x 3 2     1     −ω31 −ω23  0    ∂u 3 ∂u 3 ∂u 3   1 γ 1 γ 32 ε3   ∂x ∂x 2   2 31 ∂x 3  2   1 87
  13. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T Ma tr n th nh t c a v ph i là ma tr n i x ng bi u th bi n d ng thu n túy, ma tr n th hai c a v ph i bi u th s quay c ng. 3.5 Khái ni m v tenxơ bi n d ng bé Xét m t o n vô cùng bé b t kỳ MN=ds có cosin ch phương v là (l,m,n). T a c a các i m t i th i i m ban u: M(x1 ,x 2 ,x3 ); N(x1 + dx1 , x 2 + dx 2 , x3 + dx3 ). dx1 dx dx Cosin ch phương c a o n th ng: l = ;m = 2 ;n = 3 . ds ds ds T a c a các i m t i th i i m sau bi n d ng: M(x1 + u1 ,x 2 + u 2 ,x3 + u3 ); N(x1 + dx1 + u1 + du1 , x 2 + dx 2 + u 2 + du 2 , x 3 + dx3 + u 3 + du 3 ). Các thành ph n vi phân c a chuy n v du1 ,du 2 ,du 3 : 88
  14. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T ∂u1 ∂u ∂u du1 = dx1 + 1 dx 2 + 1 dx 3 ; ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 ∂u 2 ∂u ∂u du 2 = dx1 + 2 dx 2 + 2 dx 3 (3.17) ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 ∂u 3 ∂u ∂u du 3 = dx1 + 3 dx 2 + 3 dx 3 ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 G i chi u dài c a o n th ng sau khi bi n d ng là ds1 = M1N1 và bi n d ng tương i theo phương v là: ds1 − ds ds εv = = 1 −1 (3.18) ds ds 2 2 2  ds   ds  ( ε v + 1) =  1  → ( ε v 2 + 2ε v + 1) =  1  (3.19)  ds   ds  89
  15. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T 2  ds1  ds12 − ds 2 2 ε v + 2ε v =  −1 = (3.20)  ds  ds 2 N u b qua vô cùng b b c 2 c a bi n d ng thì (3.20) ư c vi t thành: ds12 − ds 2 εv = (3.21) 2ds 2 Nhưng:   ds 2 = du12 + du 2 2 + du 32  2 2 2 2 (3.22) ds1 = ( dx1 + du1 ) + ( dx 2 + du 2 ) + ( dx 3 + du 3 )  Sau khi thay ds ;ds1 (3.15) vào (3.14) và bi n i, k t qu bi n d ng tương i theo phương v là: ε v = ε11.l2 + ε 22 .m 2 + ε33 .n 2 + 2.ε12 .l.m + 2.ε23 .m.n + 2.ε31.n.l (3.23) 90
  16. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T ho c vi t g n l i: ε v = ε ij .li .l j (i, j = 1 ÷ 3) (3.24) Bi u th c (3.24) ch ng t khi bi t ư c 9 thành ph n bi n d ng ( ε11 ; ε 22 ; ε 33 ; γ 12 ; γ 21 ; γ 23 ; γ 32 ; γ 31 ; γ 13 ) thì có th tính ư c bi n d ng theo 1 phương b t kỳ. Nói cách khác, khi bi t các thành ph n c a ma tr n bi n d ng:  1 1   ε11 2 γ12 γ13 2  ε   11 ε12 ε13  1 γ ε 22 1   γ 23 = ε 21 ε 22 ε 23  (3.25)  2 21 2    1 1   ε31 ε32  ε33   γ 31 γ 32 ε33  2 2  ta có th tính ư c bi n d ng theo 1 phương b t kỳ. Ta g i các thành ph n bi n d ng ư c s p x p theo ma tr n (3.25) là tenxơ bi n d ng, ký hi u là Tε . Như v y tenxơ bi n d ng c trưng cho tr ng thái bi n d ng t i m t i m. 91
  17. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T 3.6 Bi n d ng chính, phương bi n d ng chính Do s tương quan v toán h c gi a tenxơ bi n d ng và tenxơ ng su t t i m t i m b t kỳ c a môi trư ng, t i i m này t n t i 3 tr c chính vuông góc nhau. Các tr c chính này ư c g i là phương c a bi n d ng chính, bi n d ng tương ng v i các phương c a các tr c này g i là bi n d ng chính và ký hi u là ε1; ε2 ; ε3 và quy ư c ε1 ≥ ε2 ≥ ε3 . Các bi n d ng chính này ư c xác nh t phương trình b c 3 tương t phương trình xác nh ng su t chính (2.19). (ε11 − ε) ε12 ε13  det  ε 21 (ε22 − ε) ε 23  = 0    ε31  ε32 (ε33 − ε)   hay: ε 3 − J1 .ε 2 + J 2 .ε − J 3 = 0 (3.26) 92
  18. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T trong ó: J1 = ε11 + ε 22 + ε 33 ε11 ε12 ε 22 ε 23 ε11 ε13 J2 = + + (3.27) ε 21 ε 22 ε32 ε 33 ε31 ε 33 ε11 ε12 ε13 J 3 = ε 21 ε 22 ε 23 ε31 ε32 ε 33 Phương trình (3.27) bao gi cũng t n t i 3 nghi m tương ng là bi n d ng chính: ε1; ε2 ; ε3 . Sau khi tìm ư c bi n d ng chính cũng tương t như phương pháp tìm phương chính c a ng su t chính chúng ta s tìm ư c phương c a bi n d ng chính. 93
  19. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T 3.7 Tenxơ l ch bi n d ng và tenxơ c u bi n d ng Tương t như tenxơ ng su t tenxơ bi n d ng Tε cũng có th ph n thành 2 thành ph n: tenxơ l ch bi n d ng D ε và tenxơ c u bi n d ng Toε . Tε = Dε + Toε (3.28) trong ó: (ε11 − ε tb ) ε12 ε13  Dε =  ε 21 (ε 22 − ε tb ) ε 23  ; (3.29)    ε31  ε32 (ε33 − ε tb )    ε tb 0 0 Toε =  0 ε tb 0 ; (3.30)   0  0 ε tb   94
  20. CƠ H C MÔI TRƯ NG LIÊN T C TS. PH M VĂN T ε11 + ε 22 + ε33 ε tb = . (3.31) 3 Như v y tr ng thái bi n d ng có th phân tích thành 2 thành ph n: Thành ph n tenxơ l ch bi n d ng có bi n d ng th tích b ng không (b t bi n th nh t b ng không), thành ph n tenxơ bi n d ng th 2 có bi n d ng dài theo ba phương b ng nhau và không có bi n d ng góc nên phân t ch có bi n d ng th tích. 3.8 Các phương trình liên t c c a bi n d ng i u ki n tương thích v bi n d ng là các bi n d ng và chuy n v c n m b o tính liên t c t i m này sang i m khác trong cùng m t v t th àn h i. N u khi cho 6 thành ph n bi n d ng tùy ý mà không th a mãn v i u ki n tương thích v bi n d ng thì trư c khi bi n d ng môi trư ng liên t c v m t bi n d ng, nhưng sau khi bi n d ng thì i u ki n liên t c c a các i m trong v t th không còn th a mãn n a. V m t toán h c i u ki n liên t c chính là i u ki n bài toán có nghi m duy nh t, t c là m i tr ng thái ng su t s tương ng v i m t tr ng thái bi n d ng và chuy n v duy nh t. 95
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2