zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Kiến trúc - Xây dựng

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 3 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Chia sẻ: Tomcangnuongphomai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Báo xấu

42
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 3 Lý thuyết về ứng suất cung cấp cho người học những kiến thức như: Định luật đối ứng của ứng suất tiếp; Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện cân bằng của phân tố loại 2); Ứng suất trên mặt cắt nghiêng; Trạng thái ứng suất và ten xơ ứng suất;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 3 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT 3.1 ĐỊNH NGHĨA Nội lực: Là độ tăng liên kết giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có ngoại lực tác dụng. (Hình 3-1) ∆P Ứng suất trung bình tại K: ptb = ∆A (3-1) ∆P Ứng suất tại điểm K: pv = lim ∆A→0 (3-2) ∆A
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Ta có thể phân ứng suất toàn phần theo 3 phương của hệ trục tọa độ xi. pv = pv1.e1 + pv 2 .e2 + pv 3 .e3 pv = ( pv1 ) 2 + ( pv 2 ) 2 + ( pv3 ) 2 (3-3) Thông thường tai lấy 1 trục tọa độ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt thì ứng suất toàn phần là: pv = pvv + pvn pv = ( pvv ) 2 + ( pvn ) 2 (3-4) Ứng suất tại 1 điểm phụ thuộc vào: + Tọa độ tại điểm. + Phương pháp tuyến của mặt cắt.
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Như vậy trên 3 mặt vuông góc với các trục tọa độ tại điểm M bất kì ta có 9 thành phần ứng suất : 3 thành phần ứng suất pháp σx , σy , σz và 6 thành phần ứng suất tiếp τyz , τzy ,τxy , τyx , τxz ,τzx  Qui ước chiều dương của ứng suất khi: - Đối với ứng suất pháp : Quy ước là dương nếu hướng theo pháp tuyến ngoài của mặt cắt - Đối với ứng suất tiếp : Quy ước là dương nếu pháp tuyến của mặt cắt ( chỉ số thứ 2) hướng theo chiều dương hay chiều âm của trục tương ứng. Ngược lại thì quy ước là âm. Hệ thống kí hiêu ứng suât Ngoài cách kí hiệu nêu trên (Bảng A) , người ta cũng dùng kí hiệu trong hệ trục x,y,z như sau: Xx = σx , Xx = σy , Zz = σz , Yz = τyz ,….(bảng B) và hệ thống kí hiệu ứng suất với 1 kí tự σ kèm 2 chỉ số tương ứng với hệ trục (xi) như sau : σ11, σ22 , σ33 , σ12 ,…(bảng C ) �� 11 �21 �31 ൞�� ൩ ൞�� ൞ ൞�12 �22 �32 ൩ �� 13 �23 �33 Bảng A Bảng B Bảng C
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục 3.2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG 3.2.1. Đặt vấn đề: Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm: Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường độ f * với hình chiếu lên 3 trục toạ độ x1 , x2 , x3 : f*i ( f *1 , f *2 , f *3 ). Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường độ f với hình chiếu lên 3 trục tọa độ x1, x2, x3 là f1, f2 , f3. - Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các mặt song song mặt phẳng toạ độ, nhận được các phân tố hình hộp chữ nhật (phân tố loại 1 - nằm bên trong S) và các phân tố hình tứ diện (phân tố loại 2 - nằm sát mặt ngoài S) (Hình 3-2)
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Tại điểm M(x,y,z) ta lấy 1 phân tố hình hộp có các cạnh là dx,dy,dz. Lực tác dụng lên phân tố gồm: Ngoại lực thể tích có hình chiếu trên các trục tọa độ là : X.dτ, Y.dτ ; Z.dτ Nội lực là ứng suất trên 6 mặt của phân tố . Các ứng suất này là các hàm số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z) và được biểu diễn trên hình. Ở mặt của phân tố vuông góc với trục x đi qua điểm (x+dx; y,z) ta có các ứng suất : ∂σx ∂τyx ∂τzx σx + dx , τyx + dx ; τzx + dx ∂x ∂x ∂x Ở mặt của phân tố vuông góc với trục y đi qua điểm (x; y+ dy,z) ta có các ứng suất τxy + ∂τxydy ; σy + ∂σydy ; τzy + ∂τzy dy ∂y ∂y ∂y
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Ở mặt của phân tố vuông góc với trục z đi qua điểm (x; y,z+ dz) ta có các ứng suất : τxz + ∂τxz dz ; τzy + ∂τzy dz ; σz + ∂σzdz ∂z ∂z ∂z (Hình 3-3)
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Xét cân bằng phân tố. Chẳng hạn phương trình chiếu lên trục x là: ΣX = (σx + ∂σxdx )dydz - σx dydz+(τxy + ∂τxydy )dxdz-τxy dxdz +(τxz + ∂τxz ∂x ∂y ∂z dz )dxdy-τxzdxdy + Xdxdydz =0 Sau khi rút gọn và chia cho dτ = dxdydz ta được : �� 2� ‫ ەەەەەۓ‬+ + + � = 0(= � ) ۖ �� ۖ �� 2 � + + + � = 0(= � ) (3-5) ‫ەە۔‬ �� ۖ ۖ �� 2 � + + + � = 0(= � ) ‫�� ەەە‬ �� Trong trường hợp cân bằng tĩnh : vế phải các phương trình sẽ bằng không Trong trường hợp cân bằng động ; vế phải các phương trình sẽ bằng các lượng trong ngoặc . trong đó u,v,w là các thành phần chuyển vị của điểm M theo 3 phương ,y,z,. các phương trình này gọi là phương trình cân bằng Navier-Cauchy
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục 3.2.3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp Ta viết 3 phương trình cân bằng mô men của phân tố, chẳng hạn phương trình Σmx =0 ta được : Σmx = (τyz dydz)dx -(τzy dxdy)dz =0 Suy ra là : τyz = τzy �� = �� Tương tự ta có: ൞�� = �� (3-6) �� = �� Hệ thức trên biểu thị định luật đối ứng của các ứng suất tiếp 3.2.4. Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện cân bằng của phân tố loại 2) (Hình 3-4)
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngoài ν với các cosin chỉ phương li = cos(ν, xi). Xét cân bằng phân tố tứ diện, phương trình tổng hình chiếu các lực tác dụng lên các trục tọa độ. σ 11l1 + σ 12l2 + σ 13l3 = f1*  σ l  21 1 + σ l 22 2 + σ l 23 3 = f 2 * (3-7) σ l + σ l + σ l = f *  31 1 32 2 33 3 3 Cơ học: Hệ phương trình (3.5) và (3.7) là điều kiện cân bằng của toàn thể môi trường Toán học: Hệ (3.5) là hệ phương trình vi phân với các ẩn số ứng suất, (3.7) là điều kiện biên để xác định các hằng số tích phân của phương trình vi phân. 3.3 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG Cân bằng phân tố tứ diện như ở hình 3-4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các thành phần ứng suất là pν1 , pν2 , pν3 . Pháp tuyến ν của mặt cắt nghiêng có các cosin chỉ phương là li.
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục 3.3.1.Ứng suất toàn phần σ 11l1 + σ 12l2 + σ 13l13 = pv1  σ 21l1 + σ 22l2 + σ 23l3 = pv 2 (3-8) σ l + σ l + σ l = p  31 1 32 2 33 3 v3 Hay viết dưới dạng ma trận: (Hình 3-5)  pv1  σ 11 σ 12 σ 13   l1      l  p = σ  v 2   21 σ 22 σ 23   2  (3-9)  pv 3  σ 31 σ 32 σ 33  l3    Ứng suất toàn phần: pv = (p ) +(p ) +(p ) v1 2 v2 2 v3 2 (3-10)
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục 3.3.2. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần pν1 , pν2 , pν3 lên pháp tuyến ν: σ vv = pv1.l1 + pv 2 .l2 + pv 3 .l3 (3-9) Thay (3-8) vào (3-9) ta có: (3-10) σ vv = p11.l1 + p22 .l2 + p33 .l3 + 2( p12 .l1.l2 + p23 .l2 .l3 + p31.l3 .l1 ) 2 2 2 Ứng suất tiếp: σ vη = pv2 − pvv2 (3-11) 3.4 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ TEN XƠ ỨNG SUẤT. 3.4.1. Trạng thái ứng suất - Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó. - Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí điểm đang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt. - Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đang xét. Như vậy trạng thái ứng suất đặc trưng cho tình trạng chịu lực tại các điểm khác nhau của môi trường.
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục 3.4.2. Ứng suất khi biến đổi hệ trục toạ độ. Hệ trục xi xoay quanh gốc tọa độ trở thành hệ trục xi’, các cosin chỉ phương của góc giữ trục mới xi’ và trục cũ xi là cij, ứng suất σ’ij trong hệ tọa độ mới là xi’ : σ’ij= cik cjl σkl (3-12) 3.4.3. Tenxơ ứng suất Trạng thái ứng suất đặc trưng bởi 9 thành phần ứng suất σij trên các mặt cắt vuông góc với các trục toạ độ là một ten xơ hạng hai và gọi là ten xơ ứng suất. σ 11 σ 12 σ 13  Tσ = σ 21 σ 22 σ 23  (3-13) σ 31 σ 32 σ 33  3.4.4. Tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất. Tσ= Dσ+ Tσ0 (3-14) Với: Dσ là tenxơ lệch ứng suất và Tσ0 tenxơ cầu ứng suất.
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục - Tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất. ( σ 11 − σ tb ) σ 12 σ 13  Dσ =  σ 21 (σ 22 − σ tb ) σ 23  (3-15)  σ 31 σ 32 (σ 33 − σ tb )  σ tb 0 0 Tσθ =  0 σ tb 0  (3-16)  0 0 σ tb  σtb = (σ11+σ22+σ33 ) /3 gọi là ứng suất pháp trung bình . Tenxơ cầu ứng suất chỉ gây nên biến dạng thể tích, trong khi ten xơ lệch ứng suất chỉ gây nên biến đổi hình dáng.
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục 3.5 PHƯƠNG CHÍNH, MẶT CHÍNH, ỨNG SUẤT CHÍNH - Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0. - Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính - Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính Giả sử phương chính ν có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, ứng suất chính là σ. Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pνcó phương trùng với pháp tuyến ν và có giá trị bằng σ , do đó hình chiếu pνi trên các trục của ứng suất toàn phần sẽ là: Pxv = σl; pyv = σm ; pzv =σn Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng. ൞�� − �൞. � + �� . � + �� . � = 0 ൞�� . � + ൫�� − �൯. � + �� . � = 0 (3-17) �� . � + �� . � + ൞�� − �൞. � = 0 Mặt khác: l2+ m2+n2 =1 (3-18)
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Điều kiện để (3.18) không có nghiệm tầm thường là: �� − � �� ȁ� ȁ = อ �� − � �� อ= 0 (3-19) �� − � khai triển (2.19) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính σ là : σ3 - I1σ2 +I2σ -I3=0 (3-20) Trong đó : I1 = (σx + σy + σz ) �� 2 = ൞� (3-21) �� ൞+ ൞�� ൞+ ൞ �� ൞ �� 3 = อ�� อ ��
Cơ học môi trường liên tục Phương trình (3.20) luôn có ba nghiệm là 3 ứng suất chính, theo qui ước σ1 > σ2 > σ3 . Lần lượt thay các ứng suất chính này vào hai trong ba phương trình (3.17), kết hợp với phương trình (3.18) ta nhận được các cosin chỉ phương của các ứng suất chính tương ứng. Chẳng hạn để tìm phương chính tương ứng với ứng suất chính σ1 ta phải giải hệ 3 trong 4 phương trình sau: ൞�� − �1 ൞. � + �� . � + �� . � = 0 ൞�� . � + ൫ �� − �1 ൯. � + �� . � = 0 (3-22) � 2 + � 2 + �2 = 1 Giải hệ (3-22) đối với l,m,n ta được các giá trị : l1 , m1 , n1 . đây là cô sin chỉ phương của phương chính thứ 1 tương ứng với ứng suất chinh σ1 Chú ý : *Người ta đã chứng minh được rằng 3 mặt chính tại điêm đang xét là vuông góc với nhau. * Ba hàm (S,H,A) không phụ thuộc vào việc lựa chọn trục tọa độ. Người ta gọi 3 hàm này là 3 bất biến của ten xơ ứng suất.
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục VD 3-1- Tìm các ứng suất chính và phương chính của trạng thái ứng suất cho bởi tenxo 4 2 1 �� = ൭2 0 2 2൞ (KN/cm ) 1 2 4 Bài giải: Tính các hệ số I1, I2 , I3 �1= �� + �� + �� ‫ەەەەەۓ‬ � �� ۖ�2 = ൞ � ൞+ ൞ ൞+ ൞ �� ൞ ‫ەە۔‬ �� ۖ �3= อ�� อ ‫ەەە‬ �� Xác định các ứng suất chính Phương trình xác địn ứng suất chính là: σ3 - 8σ2 + 7σ + 24 = 0 (a)
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Nghiệm của (a) là : σ1 = 6,275 kN/cm2 ; σ2 = 3,0kN/cm2 ; σ3 = 1,275 kN/cm2 Xác định các phương của ứng suất chính Phương trình thứ nhất ( tương ứng với σ1 = 6,275 kN/cm2) Thay σ1 vào hai phương trình đầu của (3-17) và kết hợp với (3-18) ta có : ൞4 − 6,275൞. � + 2. � + 1. � = 0 ൞2. � + ൞0 − 6,275൞. � + 2. � = 0 � 2 + �2 + �2 = 1 hay −2,275. � + 2. � + 1. � = 0 ൞ 2. � − 6,275. � + 2. � = 0 � 2 + �2 + �2 = 1
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Giải hệ phương trình (b) ta được : l1 = ± 0,645 ; m1 = ± 0,411 ; n1 = ± 0,645 Phương chính thứ hai ( tương ứng với σ2 = 3,0 kN/cm2) Thay σ2 vào hai phương trình đầu của (3-17) và kết hợp với (3-18) ta có : ൞4 − 3൞. � + 2. � + 1. � = 0 ൞2. � + ൞0 − 3൞. � + 2. � = 0 � 2 + �2 + �2 = 1 hay 1. � + 2. � + 1. � = 0 ൞2. � − 3. � + 2. � = 0 � 2 + �2 + �2 = 1 Giải hệ phương trình (b) ta được : l2 = ± 0,707 ; m2 = ± 0,000 ; n2 = ± 0,707
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Phương chính thứ 3 tương ứng với σ3 = -1,275 kN/cm2 Thay σ3 vào hai phương trình đầu của (2.11) và kết hợp với (2.12) ta có : ൞4 + 1,275 ൞. � + 2. � + 1. � = 0 5,275. � + 2. � + 1. � = 0 ൞2. � + ൞0 + 1,275 ൞. � + 2. � = 0 hay ൞2. � + 1,275. � + 2. � = 0 (b) � 2 + �2 + �2 = 1 � 2 + �2 + �2 = 1 Giải hệ phương trình (b) ta được : l3= ± 0,291 ; m3 = ± 0,911 ; n3 =± 0,291 2� 2 2�� 3 Ví dụ 2-2: Cho ten xơ ứng suất �� = ൞2�� 0 −2�൞ (kN /cm2) �3 −2� �2 Hãy tính ứng suất tại điểm P(2,2,1) trên mặt cắt cho bởi phương trình: 2x-y+2z =4 Bài giải : 8 8 1 Tại điểm P ten xơ ứng suất sẽ là : �� = ൭8 0 2 −2൞ (kN /cm ) 1 −2 4 Các cô sin chỉ phương của pháp tuyến v tại điểm P trên mặt phẳng cho bởi phương trình 2x-y+2z =4 sẽ là

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.