Bài giảng Cơ học vật rắn: Chương 6 - Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Cơ học vật rắn" – Chương 6: Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi giới thiệu về các nguyên lý cơ bản của lý thuyết đàn hồi trong các bài toán phẳng. Nội dung chủ yếu tập trung vào: Các giả thiết cơ bản trong lý thuyết đàn hồi; Phân tích ứng suất, biến dạng và quan hệ giữa chúng trong các kết cấu phẳng; Định lý Hooke và phương trình đàn hồi cho các vật liệu đàn hồi; Các phương pháp giải bài toán phẳng trong lý thuyết đàn hồi, bao gồm phương pháp phân tích bằng mô hình toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học vật rắn: Chương 6 - Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Chương 6 BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 6.1. BÀI TOÁN ỨNG SUẤT PHẲNG Caùc thaønh phaàn bieán daïng, chuyeån vò, öùng suaát laø haøm cuûa 2 bieán x, y. T     x  y  xy  T x     x  y  xy  T u  u v t z y Ñònh luaät Hooke (daïng ngöôïc):     D     1 C2  Tröôøng hôïp vaät lieäu ñaúng höôùng: 0    D   C1 C2 1 0  C  E ,C    1  C2  1 1   2 2 0 0   2  1
6.2. BÀI TOÁN BIẾN DẠNG PHẲNG Traïng thaùi bieán daïng cuûa moïi ñieåm laø phaúng: t T  z  0      x  y  xy  z Neáu boû qua söï khaùc bieät ñoái vôùi thaønh phaàn öùng suaát vaø bieán daïng theo phöông z thì caùc phöông trình cuûa 2 baøi toaùn naøy laø gioáng nhau. Söï khaùc bieät chæ ôû ma traän [D] trong ñònh luaät Hooke. Cuï theå, vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng: C1  1   E , C   1   1  2  2 1  6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.1. Các hàm dạng v k=q6 Vectô chuyeån vò nuùt phaàn töû: T qe  ui vi uj vj uk vk  k uk=q5 v j =q4  61 y v(x,y) uj =q3 u(x,y) j  Vectô caùc thoâng soá: v i =q2 e T a  a1 a2 a3 a4 a5 a6   61 i ui =q1 x a1  Tröôøng chuyeån vò cuûa phaàn töû: a   2 u  x, y    a1  a2 x  a3 y    u  x, y   1 x y 0 0 0  a3      ue       ue      v  x, y  e  a4  a5 x  a6 y    v  x, y  e    0 0 0 1 x y   a4   a5    a6    2
6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.1. Các hàm dạng Hay goïn hôn: ue   F  x, y  a     P  x, y   0  trong ñoù:  F  x, y          vôùi:  P  x, y    1 x y       0  P  x, y      Thöïc hieän ñoàng nhaát:  u       1 xi yi 0 0 0  v n  0 0 0 1 xi yi   i    F  xi , yi         u     1 x j yj 0 0 0 qe       F  x j , y j   a      a  v n j   0 0 0 1 xj yj      F  xk , yk       1 xk yk 0 0 0  u         v 0 0  0 1 xk yk      nk    qe   A a  61  61 6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.1. Các hàm dạng 1 1 Vì: a   A qe neân: ue   F  x, y    A   66   6 6  Hay: ue   N  x, y   qe    21  26   61  N i  x, y  0 N j  x, y  0 N k  x, y  0  Cuï theå:  N  x, y        26   0 N i  x, y  0 N j  x, y  0 N k  x, y    1  N i  x, y   2 A  ai  y jk x  xkj y   ai  x j yk  xk y j  1  xij  xi  x j   vôùi caùc haøm daïng:  N j  x, y   2A  a j  yki x  xik y    yij  yi  y j & a j  xk yi  xi yk     1 ak  xi y j  x j yi  N k  x, y   2 A  a j  yij x  x ji y   1 xi yi  j 1 1 A  det 1 x j  y j    x j yk  xk y j  xk yi  xi yk  xi y j  x j yi   2 2 i k 1 xk  yk  3
6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.1. Các hàm dạng Nhaän xeùt: 0 neáu i  j  Ni  xi , yi    1 neáu i  j  Toång caùc haøm daïng baèng 1 hay  N  x, y   1 i i , j ,k Ma traän tinh bieán daïng:  B       N  x, y      3 6  3 2   2 6   y jk 0  yik 0 yij 0     B   0  x jk 0 xik 0  xij   3 6     x jk y jk xik  yik  xij yij  Deã thaáy:  e   B qe vaø caû {} seõ coù giaù trò khoâng ñoåi trong phaàn töû. 6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.1. Các hàm dạng Nk Nj Ni 1 k k k 1 1 j j j i i i q5 =uk q6 =vk k u(x,y) k v(x,y) ui =q1 q3 =uj vi =q2 q4 =v j j j i i 4
6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.2. Ma trận độ cứng phần tử T T T  K e    B  D B  dV   B   D B  t  dA  tA B  D  B  66  Ve  63  33  36  A 6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.2. Ma trận độ cứng phần tử 5
6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.3. Vectơ tải phần tử  gx   Do löïc theå tích (haèng soá):  g    gy   Ni g x   g x   Pix  N g      T  i y At  g y   Piy  Pe    N  x, y   g  dV       tdA      61 Ve  6 2   21 A   3      Nk g y   g y   Pky       e At g 3 y gy At g 3 y At g j j 3 x k gx k At g At g 3 x 3 y At g i i 3 x 6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.3. Vectơ tải phần tử  px   Do löïc maët (haèng soá):  p    taùc duïng treân caïnh bieân ij cuûa phaàn töû.  py   N i px   px  N p  p   i y  y  N j px  tLij   T    px  Pe    N  x, y   p dS       tds  N j py     61 S  62   21 Lij  2  py  N p  0   k y    Nk py    0    Pjy px j j Pjx k Lij k Piy= tLij py 2 i i Pix = tLij px 2 py 6
6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.3. Vectơ tải phần tử  Do bieán thieân cuûa nhieät ñoä T: 1  T   T Pe    B   D  0  dV   B   D T 1  tA  61 Ve 0     tT T  C1 1  C2  2  y jk  x jk  yik xik yij  xij  6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.4. Ma trận tính ứng suất  x     e   y    D  e   D   B qe   S e qe    33  3 6   61  36   61  xy e  y jk C2 x jk  yik yij C2 xik C2 xij  C1   trong ñoù:  S e  C2 y jk  x jk C2 yik C2 yij xik  xij  2A    x jk  y jk  xik  xij  yik  yij    1  C2 vôùi:   2 7
6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.5. Ví dụ Ví duï: Tìm chuyeån vò taïi caùc ñænh vaø öùng suaát trong taám phaúng coù kích thöôùc vaø chòu taûi troïng nhö hình. Bieát vaät lieäu laø ñaúng höôùng coù moñun ñaøn hoài Young E=3106 kG/cm2, heä soá Poisson  =0.25. Taám coù beà daøy t=0.36cm. y y p=10 kG cm 3 p 4 j k k 2 b=160cm 1 i j x i x 1 a=120cm 2 q6 q0 q4 q0 q3 k q5 q4 k j k 2 e q3 j q2 q0 1 q2 i j i q1 q1 i q0 6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.5. Ví dụ Böôùc 1: Rôøi raïc hoùa keát caáu  ma traän chæ soá [b]: Böôùc 2: Thieát laäp caùc ma traän ñoä cöùng phaàn töû [K]e vaø vectô taûi phaàn töû: y y ab p Vôùi phaàn töû , tính saün: A  k(a,b) pb 2 2 vaø: k b  xij   a  yij  0   1 1 pb  x jk  0  y jk  b x i j 2 x    x jk  a  yik  b i(0,0) a j(a,0) 8
6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.5. Ví dụ  Ma traän ñoä cöùng phaàn töû : 0 0 1 2 3 4 b 0 2 b 2 C2ab C2 ab  0 0    b2  ab  b 2   ab 0  0 Ct  1  C2   K 1  1  b2   a 2  ab   a 2 C2 ab  1 2ab  2  2  a 2  b2  ab a2    3    0   ñx  a2   4 jk Treân caïnh ij vaø ki khoâng coù taûi troïng taùc duïng neân: Pe  Pe 0 0 1 2 3 4 jk pb T Pe  0 0 1 0 1 0 2 6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.5. Ví dụ  Ma traän phaàn töû : y  xij  a  yij  b k(0,b) j(a,b)    x jk  0  y jk  0   2  x jk  0  yik  b b x i(0,0) a 0 0 3 4 0 0  a 2 0 0  ab  a 2  ab  0    a2 C2 ab 0 C2 ab a 2  0 Ct  b2 0 b 2 C 2 ab   K 2  1   3 2ab   b2  ab   b2  4  1  C2      b 2  ab  0  2   ñx  a  b 2  2  0 T Do phaàn töû khoâng coù taûi troïng neân:  Pe  0 0 0 0 0 0 9
6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.5. Ví dụ Böôùc 3: Gheùp noái phaàn töû: Ma traän ñoä cöùng toång theå: 1 2 3 4 Chæ soá toång theå  2 1  C2   a  b2  ab b 2 C2 ab  1 C1t  2   2 ab    K *  a  b 2  ab  a2   2   3 a 2  b 2 0    4   a  b 2  2  1  1   pb  0  2  P *  2 1  3   0 4   Böôùc 4: Giaûi heä phöông trình:  K * q *  P *   93.0 36.0 16.2 14.4  q1  800   q1   11.28      72.0 21.6 43.2  q2   0   q2     4  1.97   10  4        10   cm  93.0 0  q3  800   q3   10.10     72.0  q4   0   q4         1.09    6.3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 6.3.5. Ví dụ  x    Böôùc 5: Tìm öùng suaát trong phaàn töû:  e   y    S e qe    xy  e 0  0    b 0 C2 a C2 a     24.49  C  q1        1  1     C 2b 0 a a     14.86  kG 2 2ab   q cm 0  2       a  a  b      3.12  q3    q4    0  0    b b       29.84  C  q3        2  1     C2b C2b        7.46  kG 2   q 2ab   0 a    4   0.82  cm      0   0    10
6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.1. Các hàm dạng y Vectô chuyeån vò nuùt phaàn töû: q8 q6 T l(0,b) q7 q5 qe  ui vi uj vj uk vk ul vl  k(a,b)  81 T e  q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8  b q2 q4 q1 q3 x i(0,0) j(a,0) a Hai chuyeån vò thaønh phaàn ñöôïc laáy xaáp xæ theo daïn g ña thöùc song tuyeán tính sau:  a1  u  x , y    a1  a2 x  a3 y  a4 xy   1 x y     xy 0 0 0 0   a2  ue         v  x, y    a5  a6 x  a7 y  a8 xy   0 0 0  0 1 x y xy     a8      P  x, y   0  Hay: ue   F  x, y   a        a    0  P  x, y      6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.1. Các hàm dạng Thöïc hieän ñoàng nhaát:  u    q1      1 0 0 0   a1     v  ni      q2   1 0 0 0   a2     q3   u     F  0, 0     1 a 0 0   a3         v   F a ,0       q4     n j     1 a 0 0   a4  qe         a   1   a5   q5   u     F  a , b       a b ab        q6   v  1 a b ab   a6        nk    F  0, b     1  a   q7   u   0 b 0   7 q      1 0 b 0   a8   8   v       nl  Hay : qe   A a 1  a   A qe 11
6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.1. Các hàm dạng  Tröôøng chuyeån vò ue cuûa phaàn töû ñöôïc noäi suy qua vectô chuyeån vò nuùt phaàn töû qe nhö sau: 1 ue   F  x, y    A qe   N  x, y   qe     1 N 0 Nj 0 Nk 0 Nl 0 trong ñoù: N  x, y    F  x, y    A   i   0 Ni 0 Nj 0 Nk 0 Nl     x  y  N i   1  a  1  b       x y  N j  1    a b vaø:  N  x y  k ab   N  y 1  x   l b a    6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.1. Các hàm dạng 1 1 l k l k l k l k 1 1 i j i j i j i j u(x,y) v(x,y) uk vk ul vl l k l k ui uj vj i j i j vi 12
6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.1. Các hàm dạng  Ma traän tính bieán daïng:  B       N  x, y      38   32   28     x 0   N 0 Nj 0 Nk 0 Nl 0  B  0   i y   0 Ni 0 Nj 0 Nk 0 Nl   38         x  y    b  y  0 b y 0 y 0 y 0  1    0   a  x 0 x 0 x a  x 0 ab    a  x   b  y   x b  y x  y a  x y   6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.2. Ma trận độ cứng phần tử T  K e    B   D  B  dV 88 Ve 83 33 38 Ma traän tính öùng suaát coù theå ñöôïc tính theo caùch ñôn giaûn hôn nhö sau:  B      N  x, y       F  x, y   A1   B A1     0 1 0 y 0 0 0 0 trong ñoù:  B      F  x , y    0 0 0 0 0 0 1 x      38  32  28   0 0 1  x 0 1 0 y  a b 1 T 1 T   Vaø:  K e    A 88 Ve    B  D  B A T 83 33 38 1 88  dV   A      B D  Btdxdy   A 0 0 T 1 88   k11 k12 k13 k14 k15 k16 k17 k18   k22 k23 k24 k25 k 26 k 27 k 28     k33 k34 k35 k36 k37 k38    Ct k44 k45 k 46 k 47 k 48  [ K ]e  1  ab  k55 k56 k57 k58     k 66 k 67 k 68   ñx k 77 k 78      k88  13
6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.2. Ma trận độ cứng phần tử trong ñoù caùc kij ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: b 2  a 2   C2 a 2  2b 2 k11  k12  ab k13  3 4 6   C2 b 2  a 2   C2 k14   ab k15   k16   ab 4 6 4 b 2  2 a 2   C2 k17  k18  ab 6 4 a 2  b 2 a 2  2 b 2 k 22  k 23  k18 k 24  3 6 a 2  b 2 k 25  k16 k 26   k 27  k14 6 b 2  2 a 2 k 28  6 6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.2. Ma trận độ cứng phần tử k33  k11 k 34  k16 k 35  k17 k36  k14 k 37  k15 k 38  k12 k 44  k 22 k 45  k18 k 46  k 28 k 47  k12 k 48  k 26 k 55  k11 k 56  k12 k 57  k13 k 58  k14 k 66  k 22 k 67  k18 k 68  k 24 k 77  k11 k 78  k16 k88  k 22 14
6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.3. Vectơ tải phần tử Söû duïng caùc coâng thöùc ñaõ coù, ta ñöôïc: T  Do löïc theå tích:  g   g x gy  khoâng ñoåi   gx    T tab  g y  Pe    N  x, y    g dV      81 Ve 4   gy    y y gy gx tab g 4 y tab g x 4 x x 6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.3. Vectơ tải phần tử  Do löïc maët: (ví duï nhö hình veõ sau)  0   0  y p2 a   y p p2 a  p1b  2 2 2  2 p1 b  0      l gy k l k 2 Pe   p1b   2 gx p1 {P}e  p2 a  p1 b  2 i j x i j 2 x    0  y p2 a  p2 a  y p2 a   2  2 2 p1 b l k 2 l k jk kl {P}e {P}e p1 b i j 2 x i j x 15
6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.4. Ứng suất trong phần tử  x     e   y    D  B qe   S e qe    xy e vôùi:  S e   D  B   38  33 38 Hay cuï theå [S]e nhö sau:   (b  y )  C 2 ( a  x) b y  C2 x y C2 x y C 2 ( a  x)  C1  S e   C 2 (b  y )  (a  x) C 2 (b  y ) x C2 y x  C2 y ax  ab      (a  x )   (b  y )   x  (b  y )  x  y  ( a  x )  y   6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.4. Ví dụ Ví duï: Giaûi laïi ví duï ôû 4.2 vôùi 2 phaàn töû hình chöõ nhaät. y y y p=10 kG q0 q8 q6 q8 q6 cm q5 q5 6 q05 q7 4 l q 7 k 6 E=3.10 kG cm b=160cm 1 2 t=0,36cm 1 2 e  q0 q2 q4 q2 q4 x x x 60 60 1 q0 2 q1 3 q3 i q1 j q3 a=120cm Chæ soá cuïc boä Nuùt i Nuùt j Nuùt k Nuùt l Phaàn töû q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8  0 0 1 2 7 8 0 0  1 2 3 4 5 6 7 8 16
6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.4. Ví dụ Deã thaáy raèng ma traän ñoä cöùng [K]e cuûa 2 phaàn töû laø nhö nhau [K]1 = [K]2 : Vôùi kích thöôùc cuûa phaàn töû: a = 60 cm, b = 160 cm, t = 0.36 cm y  E 6 kG C1  1  2  3, 2.10 cm2 l k  C2    0, 25  1  C2 b=160cm e    0,375  2 1 2 3 4 5 6 7 8 2 0 0 1 2 7 8 0 0 i j x 1 8983 1500 8308 300 4492 1500 3817 300  0 1 a=60cm  4400 300 3600 1500 2200 300 400  0 2    8983 1500 3817 300 4492 1500  1 3  K 1   K 2  120    4400 300 400 1500 2200 2 4  8983 1500 8308 300  7 5    4400 300 2600 8 6  8983 1500 0 7    ñx  4400   0 8 6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.4. Ví dụ y y p pb l kl k l k l k 2 b=160cm 1 2 1 2 pb i ji j x i ji j 2 x Vì treân phaàn töû  coù taûi troïng phaân boá ñeàu treân caïnh jk neân vectô taûi phaàn töû {P}2 laø: 1 2 3 4 5 6 7 8 T P2  0 0 800 0 800 0 0 0  Cuõng deã thaáy laø trong baøi toaùn naøy, vectô taûi P * coù kích thöôùc laø (48) laø T baèng {P}2 : P *  P  0 2 0 800 0 800 0 0 0 17
6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.4. Ví dụ Söû duïng ma traän chæ soá vaø phöông phaùp soá maõ, töø [K]1 vaø [K]2 ta cuõng deã daøng xaây döïng ñöôïc ma traän  K * coù kích thöôùc (88).   Cuoái cuøng, ta nhaän ñöôïc heä phöông trình ñeå giaûi tìm caùc baäc töï do chöa bieát q * : 179.7 0 83.1 3 44.9 15 76.3 0  q1  0     88 3 26 15 22 0 8   q2  0       89.8 15 38.2 3 44.9 15  q3  1       44 3 4 15 22  q4  0  1, 2.10 4     800    89.8 15 83.1 3  q5    1   44 3 26   q6  0   dx 179.7  q  0  7     0  q  88   8       0  6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.4. Ví dụ Giaûi heä phöông trình naøy, ta nhaän ñöôïc caùc chuyeån vò nuùt coøn laïi: q1  u2   5, 37  q  v   1, 73   2  2    q3  u3  10,91       q  v   1,83  q *   4    3   104   cm q5  u4  10,91 q6  v4   1,83       q7  u5   5, 37  q  v  1, 73  8  5   18
6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.4. Ví dụ Bieán daïng cuûa taám cho ôû hình beân.   Nhaän xeùt raèng: keát quaû treân ñaûm baûo tính  ñoái xöùng cuûa baøi toaùn. Vaø so vôùi vieäc duøng phaàn töû daïng tam giaùc, trong baøi toaùn naøy, phaàn töû daïng hình chöõ nhaät cho keát quaû hôïp lyù vaø chính xaùc hôn. A Ñeå so saùnh keát quaû tính treân, thí duï naøy ñaõ ñöôïc giaûi baèng maùy tính vôùi phaàn meàm RDM, vôùi löôùi phöông trình chöõ nhaät 4 nuùt mòn hôn. Keát quaû cho trong baûng döôùi B  ñaây vaø laø chuyeån vò taïi caùc ñieåm A, B ,C. C  6.4. PHẦN TỬ CHỮ NHẬT 6.4.4. Ví dụ Chuyeån vò theo phöông x Chuyeån vò theo phöông y Soá nuùt uA uB uC vA vB vC 6 – 10.77 5.81 – 1.81 1.71 9 10.57 10.87 5.641 0 1.98 1.67 25 10.62 10.94 5.58 0 1.97 1.64 19