Tài liệu Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kết cấu

TRẦN CÔNG NGHỊ<br /> <br /> HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP<br /> <br /> LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI<br /> VÀ<br /> <br /> CƠ HỌC KẾT CẤU<br /> (TÀI LIỆU HỌC TẬP DÀNH CHO SINH VIÊN<br /> KHOA ĐÓNG TÀU VÀ CÔNG TRÌNH NỔI)<br /> <br /> THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 6 – 2009<br /> ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Trang này để trống<br /> <br /> 3<br /> <br /> Chương 1<br /> LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI<br /> Tóm tắt<br /> Phương trình cân bằng:<br /> ⎫<br /> ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz<br /> +<br /> + X = 0⎪<br /> +<br /> ∂y<br /> ∂z<br /> ∂x<br /> ⎪<br /> ∂σ y ∂τ yx ∂τ yz<br /> ⎪<br /> + Y = 0⎬<br /> +<br /> +<br /> ∂z<br /> ∂x<br /> ∂y<br /> ⎪<br /> ∂<br /> τ<br /> ∂σ z ∂τ zx<br /> ⎪<br /> yz<br /> + Z = 0⎪<br /> +<br /> +<br /> ∂y<br /> ∂z<br /> ∂x<br /> ⎭<br /> <br /> (1.1)<br /> <br /> trong đó X, Y, Z – lực khối.<br /> <br /> ∂u<br /> ⎫<br /> ⎪<br /> ∂x<br /> ⎪<br /> ∂v<br /> ⎪<br /> εy =<br /> ∂y<br /> ⎪<br /> ⎪<br /> ∂w<br /> εz =<br /> ⎪<br /> ∂z<br /> ⎪<br /> Phương trình biến dạng:<br /> ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎬<br /> γ xy = ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎪<br /> ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎪<br /> ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎪<br /> γ yz = ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎪<br /> ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎪<br /> ⎛ ∂u ∂w ⎞ ⎪<br /> γ zx = ⎜ + ⎟⎪<br /> ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎭<br /> εx =<br /> <br /> (1.2)<br /> <br /> Điều kiện tương hợp (liên tục):<br /> 2<br /> 2<br /> ∂ 2ε x<br /> ∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞⎫<br /> ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy ⎫<br /> ⎟⎪<br /> = ⎜⎜ −<br /> +<br /> +<br /> 2<br /> =<br /> +<br /> ⎪<br /> 2<br /> 2<br /> ∂y∂z ∂x ⎝ ∂x<br /> ∂y<br /> ∂z ⎟⎠⎪<br /> ∂x∂y ⎪<br /> ∂x<br /> ∂y<br /> ∂ 2ε y<br /> ∂ 2 ε y ∂ 2 ε z ∂ 2γ yz ⎪⎪<br /> ∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞ ⎪⎪<br /> ⎜<br /> ⎟⎬<br /> =<br /> −<br /> +<br /> +<br /> =<br /> 2<br /> và<br /> ⎬<br /> ∂x∂z ∂y ⎜⎝ ∂x<br /> ∂y<br /> ∂z ⎟⎠ ⎪<br /> ∂y∂z ⎪<br /> ∂z 2<br /> ∂y 2<br /> ∂ 2 ε z ∂ 2 ε x ∂ 2γ xz ⎪<br /> ∂ 2ε z<br /> ∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞ ⎪<br /> +<br /> =<br /> ⎟⎟ ⎪<br /> = ⎜⎜<br /> +<br /> −<br /> 2<br /> ⎪<br /> 2<br /> 2<br /> ∂x∂z ⎪<br /> ∂x<br /> ∂z<br /> x<br /> y<br /> z<br /> x<br /> y<br /> z<br /> ∂<br /> ∂<br /> ∂<br /> ∂<br /> ∂<br /> ∂<br /> ⎝<br /> ⎠ ⎪⎭<br /> ⎭<br /> <br /> (1.3)<br /> <br /> Công thức chuyển của tensor ứng suất. Nếu ký hiệu ma trận các cosin góc giữa hai hệ trục là<br /> [c], tensor ứng suất điểm trong hệ tọa độ Oxyz là [σ], tensor ứng suất trong hệ tọa độ mới [σ∗] tính<br /> theo công thức:<br /> <br /> [σ ] = [c][σ ][c]<br /> *<br /> <br /> T<br /> <br /> (1.4)<br /> <br /> 4<br /> <br /> ⎡c xx*<br /> ⎢<br /> với [c ] = ⎢c yx*<br /> ⎢ c zx*<br /> ⎣<br /> <br /> c xz* ⎤<br /> ⎥<br /> c yz* ⎥;<br /> c zz* ⎥⎦<br /> <br /> c xy*<br /> c yy*<br /> c zy*<br /> <br /> ⎡σ x τ xy τ xz ⎤<br /> [σ ] = ⎢⎢τ xy σ y τ yz ⎥⎥<br /> ⎢τ xz τ yz σ z ⎥<br /> ⎣<br /> ⎦<br /> <br /> Ứng suất chính xác định từ phương trình:<br /> <br /> (σ x − σ )k + τ yx l + τ zx m = 0⎫<br /> ⎪<br /> τ xy k + (σ y − σ )l + τ zy m = 0⎬<br /> τ xz k + τ yz l + (σ z − σ )m = 0 ⎪⎭<br /> <br /> (1.5)<br /> <br /> hoặc dưới dạng ma trận:<br /> ⎡σ x − σ<br /> ⎢<br /> ⎢ τ yx<br /> ⎢ τ zx<br /> ⎣<br /> <br /> τ xy<br /> <br /> τ xz ⎤ ⎧ k ⎫<br /> ⎥⎪ ⎪<br /> σ y −σ<br /> τ yz ⎥ ⎨ l ⎬ = {0}<br /> τ zy<br /> σ z − σ ⎥⎦ ⎪⎩m⎪⎭<br /> <br /> (1.6)<br /> <br /> trong đó tổng bình phương các cosin bằng đơn vị k2 + l 2 + m2 = 1. Lời giải hệ phương<br /> trình:<br /> σ3 - σ2J1 + σJ2 – J3 = 0.<br /> <br /> (1.7)<br /> <br /> trong đó J1 = σx + σy + σz<br /> J2 = σyσz + σzσx + σxσy - τyx2 - τzx2 - τxy2<br /> <br /> (1.8)<br /> <br /> J3 = σxσyσz + 2τxyτyzτxz - τxy2σz - τyz2σx - τzx2σy<br /> <br /> (1.9)<br /> <br /> Các đại lượng J1, J2, J3 được gọi bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai, và bất biến thứ ba của<br /> tenso ứng suất.<br /> Trường hợp ứng suất phẳng, trong hệ tọa độ xOy ứng suất chính tính theo công thức:<br /> <br /> σ 1, 2 =<br /> <br /> σ x +σ y<br /> 2<br /> <br /> ±<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> (σ x − σ y ) 2 + τ xy2<br /> <br /> (1.10)<br /> <br /> Hướng trục ứng suất chính tính từ công thức:<br /> tg 2θ n =<br /> <br /> 2τ xy<br /> <br /> (1.11)<br /> <br /> σ x −σ y<br /> <br /> Ứng suất cắt lớn nhất:<br /> <br /> τ max,min = ±<br /> tg 2θ s = 2<br /> <br /> σ1 −σ 2<br /> <br /> (1.12)<br /> <br /> 2<br /> <br /> σ x −σ y<br /> τ xy<br /> <br /> (1.13)<br /> <br /> Vòng tròn Mohr xây dựng từ phương trình:<br /> <br /> 5<br /> <br /> σ +σ y<br /> ⎛<br /> ⎜⎜ σ − x<br /> 2<br /> ⎝<br /> <br /> 2<br /> <br /> ⎛σ −σ y<br /> ⎞<br /> ⎟⎟ + τ 2 = ⎜⎜ x<br /> 2<br /> ⎝<br /> ⎠<br /> <br /> ⎞<br /> ⎟⎟<br /> ⎠<br /> <br /> 2<br /> <br /> (1.14)<br /> <br /> Định luật Hooke áp dụng cho vật liệu đẳng hướng với mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson ν.<br /> <br /> [<br /> [<br /> [<br /> <br /> ]<br /> ]<br /> ]<br /> <br /> 1<br /> ⎫<br /> σ x − ν (σ y + σ z ) ⎪<br /> E<br /> ⎪⎪<br /> 1<br /> ε y = σ y − ν (σ x + σ z ) ⎬ và<br /> E<br /> ⎪<br /> 1<br /> ε z = σ z − ν (σ x + σ y ) ⎪<br /> ⎪⎭<br /> E<br /> <br /> εx =<br /> <br /> trong đó G =<br /> <br /> 1<br /> ⎫<br /> τ xy ⎪<br /> G<br /> ⎪⎪<br /> 1<br /> = τ yz ⎬<br /> G ⎪<br /> 1<br /> = τ zx ⎪<br /> G ⎪⎭<br /> <br /> γ xy =<br /> γ yz<br /> γ zx<br /> <br /> (1.15)<br /> <br /> E<br /> 2(1 + ν )<br /> <br /> (1.16)<br /> <br /> Nếu ký hiệu: e = ε x + ε y + ε z có thể viết:<br /> <br /> νE<br /> <br /> ⎫<br /> E<br /> εx ⎪<br /> (1 + ν )(1 − 2ν ) 1 + ν ⎪<br /> E<br /> νE<br /> ⎪<br /> e+<br /> σy =<br /> εy⎬<br /> (1 + ν )(1 − 2ν ) 1 + ν ⎪<br /> E<br /> νE<br /> e+<br /> σz =<br /> ε ⎪<br /> (1 + ν )(1 − 2ν ) 1 + ν z ⎪⎭<br /> <br /> (1.17)<br /> <br /> σ x = λe + 2Gε x ⎫<br /> ⎪<br /> σ y = λe + 2Gε y ⎬<br /> σ z = λe + 2Gε z ⎪⎭<br /> <br /> (1.18)<br /> <br /> σx =<br /> <br /> trong đó λ =<br /> <br /> e+<br /> <br /> νE<br /> <br /> (1 + ν )(1 − 2ν )<br /> <br /> mang tên gọi hằng số Lamé.<br /> <br /> Hàm ứng suất Airy Φ(x,y) : ∇4Φ(x,y) = 0.<br /> <br /> σx =<br /> <br /> ∂ 2Φ<br /> ;<br /> ∂x 2<br /> <br /> σy =<br /> <br /> ∂ 2Φ<br /> ;<br /> ∂y 2<br /> <br /> τ xy = −<br /> <br /> ∂ 2Φ<br /> ;<br /> ∂x∂y<br /> <br /> Ví dụ 1: Thành lập hàm ứng suất cho dầm dài L, hình 1.1, mặt cắt ngang hình chữ nhật cạnh đứng 2c,<br /> chiều rộng b, chịu tác động tải phân bố đều q = const.<br /> Điều kiện biên như sau:<br /> a) Tại x = 0:<br /> <br /> q<br /> <br /> σx = 0; τxy = 0.<br /> b) Tại x = L:<br /> Hình 1.1<br /> <br /> 6<br /> <br />