Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
348
TƯƠNG TÁC ĐIỆN YẾU THEO MÔ HÌNH CHUẨN
Phạm Thị Thanh Nga, Đặng Thị Minh Huệ
Trường Đại học Thủy lợi, email: nga_ptt@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Sự kiện thực nghiệm phát hiện ra neutrino
và phản hạt positron năm 1931 cùng với các
nghiên cứu về mặt trời đã chứng minh sự tồn
tại của lực tương tác yếu. Trong lòng mặt trời
liên tục xảy ra các phản ứng nhiệt hạch, nhờ
đó tạo ra năng lượng mặt trời [3]. Tức là
tương tác trong lõi mặt trời là tương tác hạt
nhân yếu. Lực hạt nhân yếu là nguyên nhân
gây ra phóng xạ phân rã beta. Như vậy, tương
tác yếu gồm có tương tác điện từ yếu và
tương tác hạt nhân yếu. Gần đây, các nhà vật
lý hạt đã tìm thấy ba loại neutrino gồm νe, νμ
và ντ và các phản hạt tương ứng của chúng.
Ấn tượng hơn, thực nghiệm chứng minh rằng
neutrino có khối lượng. Điều này hoàn toàn
trái ngược với giả thuyết neutrino không có
khối lượng theo mô hình chuẩn (SM). Tuy
nhiên, khối lượng chính xác của neutrino vẫn
chưa được xác nhận. Đặc biệt, các nghiên
cứu thực nghiệm cho thấy các phản hạt của
neutrino có khối lượng khác với khối lượng
của neutrino tương ứng. Mâu thuẫn này vẫn
chưa được giải quyết nên SM vẫn đang được
áp dụng đối với tương tác yếu [5, 1].
Về mặt lý thuyết thì tất cả các loại tương
tác yếu được mô tả trong khuôn khổ cơ học
lượng tử và lý thuyết trường lượng tử tương
đối tính. Lý thuyết “Gauge” (hay là lý thuyết
chuẩn) là một loại lý thuyết trường trong đó
Lagrangian của hệ bất biến dưới các phép biến
đổi pha hay Lagrangian thỏa mãn các nhóm
đối xứng. Đặc biệt, tính đối xứng chuẩn thể
hiện qua sự bất biến của Lagrangian dưới
phép quay các bậc tự do nội tại của hạt nhưng
với góc quay phụ thuộc vào điểm không-thời
gian. Lý thuyết đối xứng chuẩn ở mức tái
chuẩn hóa được xác định hoàn toàn dựa trên
nhóm đối xứng và sự biểu diễn của các trường
tương tác [6]. Điều đáng chú ý là tất cả các
loại tương tác giữa các hạt đều tuân theo
nguyên lý bất biến “Gauge”. Hơn nữa, SM
thực chất là lý thuyết chuẩn dựa trên nhóm đối
xứng SU(3) x SU(2) x U(1) [2,6].
Theo SM, tương tác yếu là những trao đổi
trong phạm vi rất ngắn giữa các fermion.
Các fermion cơ bản là các quark và lepton
[2]. Mỗi loại quark có một màu đặc trưng và
mang một điện tích xác định. Ví dụ, quark up
có điện tích +2/3 và quark down có điện tích
−1/3. Ở phân rã beta trừ, quark down bên
trong neutron trở thành quark up. Nhưng, các
lepton không có màu và chúng cũng tương
tác yếu với nhau cho dù đó là các lepton
mang điện bằng -1 như e−, μ− và τ− hay
không mang điện như các lepton neutrino.
Các quark và lepton được nhóm thành ba thế
hệ với số lượng tử bằng nhau nhưng khối
lượng khác nhau [1, 4, 7].
Cho đến nay, các nhà vật lý hạt khẳng định
rằng có sáu loại quark và sáu loại lepton khác
nhau, chúng liên kết được với nhau thông qua
các boson Gauge (boson chuẩn). Cơ chế của
tương tác yếu được sáng tỏ nhờ việc phát
hiện ra các hạt truyền tương tác yếu, đó là các
hạt boson gauge W+, W- và Z. Ví dụ, sự phân
rã phóng xạ xảy ra khi một proton trong hạt
nhân biến đổi thành neutron bằng cách bắt
giữ một electron. Việc đó được thực hiện
bằng cách trao đổi một boson W [1, 7]. Tuy
nhiên, các nghiên cứu về tương tác giữa các
fermion dựa trên SM cho thấy các quark là
chủ thể cho mọi tương tác SM [1, 4, 7]. Các
nghiên cứu này chưa tính đến sự kết cặp của
các fermion tạo thành các hạt boson mới. Do
đó, nghiên cứu tương tác giữa các fermion
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
349
khi tính đến đóng góp của các boson mới vẫn
đang là vấn đề thú vị, được quan tâm của vật
lý hạt hiện đại.
Ở bài báo này, chúng tôi nghiên cứu tương
tác trong hệ fermion dựa trên hình thức luận
lí thuyết chuẩn thỏa mãn SM với mục đích
tìm ra biểu thức biểu diễn thế tương tác kết
cặp của các fecmion trong tương tác yếu và
vai trò của tính liên kết giữa chúng trong
tương tác điện yếu.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chúng tôi sử dụng mô hình chuẩn kết hợp
với biểu diễn nhóm đối xứng SU(2) và hình
thức luận lí thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn
trong gần đúng Born để nghiên cứu tương tác
giữa các fermion. Bắt đầu bằng mật độ
Lagrangian của hệ fermion:
3
1
11
44
AA
A
L
FF B B
iD iD
 


 


, (1)
trong đó: ,
là các hàm trường mô tả
trường fecmion, A là chỉ số biểu diễn các thế
hệ của quark và lepton;
3
1
W
AA
A
Digt





, (2)
WW WW,
AAA CB
ABC
Fg
BBB



 (3)
là các tensor phản đối xứng chuẩn được xây
dựng từ trường chuẩn Bμ liên quan đến nhóm
đối xứng U (1) và WA
tương ứng với nhóm
sinh SU(2); ABC
là hằng số cấu trúc nhóm; t,
g là hằng số tái chuẩn hóa nhóm SU(2);
là
các ma trận Dirac của trường fecmion.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Trước tiên, chúng tôi mô tả trường
fecmion qua toán tử trường trái, phải:
,5 , 5
1/2; 1/2
LR LR


 
 
(4)
với 2
51
. Khi đó (2) trở thành:
3,
/
,, ,
1
W2
LR
AA
LR LR LR
A
Y
DigtigB





(5)
trong đó: g/ là hằng số tái chuẩn hóa nhóm
U(1) của các boson chuẩn trong hệ;
A
L
t,
A
R
t,
,
A
LR
tlà bộ các tham số tạo ra sự tái chuẩn hóa
của nhóm đối xứng SU(2), được xác định bởi
,
A
BC
LL ABCL
tt i t

 , ,
A
BC
R
RABCR
tt i t

 ,
,, ,
,
A
BC
LR LR ABC LR
tt i t

 . (6)
Sử dụng (6) trong biểu diễn cơ bản của
SU(2), chúng tôi thu được biểu thức của hằng
số nhóm biểu diễn điện tích Q của hệ:
33
/2 /2
RR LL
Qt Y t Y , (7)
YR,YL là siêu tích của cặp fermion tương
tác. Lưu ý rằng, 0
i
RR
t
đối với các fermion.
Tiếp theo, chúng tôi biểu diễn hằng số tái
chuẩn hóa g trong (2) và (5) theo toán tử
1,2
W
như sau:


11 2 2
12 1 2
WW (W)/2.
( )/2W W/2 .
g
tt gt hc
g
tit i hc







, (8)
trong đó:
12 1 2
;W W W / 2ttit i

 . (9)
Bằng cách áp dụng (8), (9) cho các fermion
riêng biệt, thu được biểu thức thế tương tác
fermion (biểu diễn các đỉnh tương tác):
,,W 5
5
(t / 2)(1 ) / 2 W
(t / 2)(1 ) / 2 W .
L
R
Vg
g
hc











. (10)
Theo mô hình chuẩn thì 0
R
tđối với mọi
loại fermion [2]. Sau đây, để tìm hiểu rõ hơn
cơ chế tương tác trong các cặp fermion qua
các hạt truyền tương tác là các boson chuẩn
W, Z, chúng tôi thực hiện phép biến đổi
gauge theo góc w
biểu diễn sự pha trộn yếu
của hệ fermion: 3
WW
os + sin WAc B


,
3
WW
sin + os WZBc


 . (11)
Suy ra:
3
WW
Wsin os
A
cZ



WW
os sin
B
cA Z

, (12)
với
A
mô tả các boson chuẩn mang điện và
Z
mô tả các boson chuẩn trung hòa.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
350
Thay (11),(12) vào (8), thu được biểu thức
biểu diễn hằng số g, g/ theo toán tử trường
3
W
, Bμ như sau:
33 / 3 /
ww
/3 3 / 3
ww w
W/2sin s
ss()sin
g
tgYgt AgQcoA
g
tco A gtco Z g Q t Z







. (13)
Đối với tương tác điện yếu, hạt boson
chuẩn truyền tương tác giữa fermion trái,
phải trong cặp chính là hạt photon. Do đó:
/
/
WW W
sin os
g
ggcetg
g

. (14)
Lúc này, theo lý thuyết Gauge thì biểu
thức thế tương tác (10) trở thành:
33
,,W 5 5
w
2
w
w
t(1 ) t(1 )
2cos
2sin
2cos
LR
g
VZ
gQZ









(15)
Để các kết quả trên về tương tác fermion
thỏa mãn mô hình chuẩn thì:
33
0, 1/ 2
RL
tt. (16)
Do đó, thế tương tác (15) biểu diễn sự kết
cặp fermion thông qua boson Z có dạng:
,,W 5
w
)
2cos
ff
fAf
g
VggZ





, (17)
với 31
g= t 2
ff
AL
 áp dụng cho fermion up và
fermion down;
2
w
g14 sin
g
f
f
f
A
Q
 . (18)
Áp dụng quy tác Feyman trong gần đúng
Born, từ (10) và (17) ta có giản đồ Feyman
cho tương tác điện yếu như hình 1.
Hình 1. Giản đồ Feyman trong
gần đúng Born cho tương tác điện yếu
Như vậy, biểu thức (10), (17) kết hợp với
giản đồ Feyman ở hình 1 chứng tỏ rằng
trường điện tích được mô tả bởi 1,2
W
,
A
mô
tả photon và boson chuẩn trung hòa yếu Zμ
thu được là do sự kết hợp của 3
W
và Bμ.
4. KẾT LUẬN
Nghiên cứu lý thuyết về tương tác điện
yếu theo mô hình chuẩn trong gần đúng
Born, thu được các kết quả chính như sau:
1. Tìm được biểu thức biểu diễn thế tương
tác kết cặp fermion (17) và biểu thức góc
quay của phép biến đổi chuẩn mô tả tương
tác điện yếu (18).
2. Kết quả nghiên cứu cho thấy boson
chuẩn trung hòa yếu Zμ thu được là do sự kết
hợp của 3
W
và Bμ. Đây là kết quả mới của
bài báo này.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Anil Kumar et.al (2021), From oscillation
dip to oscillation valley in atmospheric
neutrinoexperiments, Eur. Phys. J. 81:190,
https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-021 .
[2] J.F.Donoghue, E. Golowich and B. Holstein
(1992), Dynamics of the standard model,
Cambridge Univ. Press.
[3] Peter D. MacD. Parker (2008), Thermonuclear
Reactions in the solar interior, Physics of
the Sun, Vol. I, pp. 15-32. D. Reidel
Publishing Company.
[4] R. Kanishka et.al (2023), Simulation analysis
with rock muons from atmospheric neutrino
interactions in the ICAL detector at the India-
based Neutrino Observatory. Eur. Phys. J. C,
https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-023-12133-2.
[5] T. Kajita, A. McDonald (2015), The nobel
prize in Physics, https://www.nobelprizes.org/
prizes/physics/2015/summary.
[6] Ta-Pei Cheng and Ling-Fong Li (1988),
Gauge theory of elementary particle physics,
Oxford Univ. Press,
[7] The ATLAS Collaboration (2023), Observation
of gauge boson joint-polarisation states in
W±Z production from p p collisions at s1/2=13
TeV with the ATLAS detector. Phys. Lett.
B843137895.Doi:10.1016/j.physletb.2023.137895.