Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
98
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU K-HESSIAN
Nguyễn Hữu Thọ
Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Báo cáo này dành cho việc bày về sự tồn
tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán
Dirichlet đối với phương trình kiểu k - Hessian
trong miền bị chặn với dữ kiện không nhất
thiết trơn, đây là một mở rộng của các kết
quả trong [2], [3].
2. NỘI DUNG BÁO CÁO
2.1. Đặt vấn đề
Xét n
 là miền mở, bị chặn, n
là tập các ma trận đối xứng cỡ nn
với
chuẩn được cho bởi max ij
X
x. Ta hiểu
,,
n
X
YXY nghĩa là:
, 1,2,...,
ii
in

trong đó 12 n

 và 12 n

 là
các giá trị riêng tương ứng của ,
X
Yvà I là
ma trận đơn vị cấp n.
Xét bài toán Dirichlet cho phương trình
kHessian dạng sau, (
1, 2, ,kn):

1
2
((,,))
(,, ) 0, (1)
() (), (2)
k
kDv xvDv
fxvDv x
vx x x






ở đây :nn
  và :n
f 
là các hàm liên tục,
1
0, ( ) , n
fX


là các giá trị riêng của n
X
 và:
1
1
1
1
(,, ) k
k
kn ii
iin



là các đa thức đối xứng cơ bản bậc k;
là
hàm liên tục cho trước xác định trên
.
Dấu ()
trong vế trái của (1) để đảm bảo tính
elliptic suy biến của phương trình. Một số
vấn đề cơ bản về nghiệm nhớt, về hàm tiếp
xúc từ phía trên, tiếp xúc từ bên dưới được
trích dẫn từ [1], [2].
Đặt:

1
11
(, ) (, )
k
knkn
H
 

và:

22
(,, , ) ( (,, ))
,, .
kk
F
xvDvDv H Dv xvDv
fxvDv


Khi đó phương trình (1) trở thành:
2
(,, , ) 0, .
k
FxvDvDv x

Xét bài toán Dirichlet sau:
2
(,, , ) 0,
() (), ,
k
FxvDvDv x
vx x x


(3)
ở đây
là hàm liên tục cho trước xác định
trên ;
:nn
F
  là hàm thực
liên tục và thỏa mãn:
(,, , ) (,, , ),
F
xt p X F xt pY X Y
 (4)
(điều kiện này cho ta tính elliptic suy biến
của
F
) và:
(,, , ) (,, , ),
(, , ) , .
nn
FxtpX FxspX
x
pX t s
  (5)
(đây là tính tăng theo biến thứ hai).
Một điều kiện đủ của (5) là: với mỗi
0R
, tồn tại hằng số 0
R
Csao cho:
(,, , ) (,, , ) ( ),
R
FxtpX FxspX C t s
(6)
với mọi ,, , ,
n
xy R t s R p .
n
X
Với mỗi 0R
, tồn tại hàm thực không
giảm
R
thỏa mãn () 0
R
khi 0
sao
cho:

(,, , ) (,, , ) (1 )
R
FxtpX FytpX x y p

(7)
với ,,, , .
nn
xy t R p X

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
99
Ta nói rằng hàm
tiếp xúc với hàm v từ
phía trên (t.ư. từ bên dưới) tại 0
x
nếu
v
đạt cực đại (t.ư. cực tiểu) tại 0
x
và
00
() ().vx x
Các tác giả trong [4] đã đạt được kết quả
quan trọng sau đối với bài toán (3):
Định lý 1.1([4]) Giả sử F thỏa mãn các
điều kiện (4), (6) và (7). Nếu phương trình
(3) có có nghiệm nhớt dưới 1
v và nghiệm
nhớt trên 2
v là các hàm liên tục Lipschitz địa
phương trong , 12
vv
 trên
thì khi
đó tồn tại duy nhất một nghiệm nhớt của bài
toán (3).
2.2. Kết quả chính
Mục này sẽ trình bày kết quả chính của
báo cáo. Ta đặt:
:()0,1,2,...,.
n
kj
j
k


Dễ thấy
: 0, 1,2,... ,
,.
n
nj
ij
jn
ij


 
Toán tử kHessian

2
()
H
Dv
là elliptic
suy biến trên k
. Để đạt được tính ellipctic
suy biến của hàm k
F
chúng ta cần xét hàm
thử 2()C
sao cho:

2() (, (), ()) .
k
Dx xxDx


Chính điều này nên chúng ta cần mở rộng
tính k lồi thành tính (,)k
lồi như dưới
đây, khái niệm này là một mở rộng khái kiệm
tính klồi trong [2], [3].
Định nghĩa 2.1: Cho trước cặp (,)k
.
Hàm ()vC được gọi là (,)k
lồi trên
nếu với mỗi hàm 2()C
,
tiếp xúc v từ
bên dưới tại 0
x, ta có:

2
000 0
() (,(), ()) .
k
Dx x xDx


Dễ thấy rằng, nếu 2()vC và v là
(,)k
lồi trên thì

2() (,(), ()) , ,
k
Dvx xvx Dvx x


và với hàm thuộc lớp 2
C, tính (0, )n
lồi
chính là tính lồi thông thường.
Một số điều kiện sau được áp lên
và
f
,
đây là các điều kiện quan trọng nhằm đạt
được kết quả mong đợi của báo cáo này.
(H1) Với mọi 0R, tồn tại hàm liên tục,
không giảm ,
R
sao cho:
,
(,,) (,,) (1 ) ,
R
x
tp ytp x y p I


với ,,, .
n
xy t R p
(H2) (,,) (,,)
x
tp xsp
với (,, ),(,, ) ,
nn
x
tp xsp t s
  .
(H3) Tồn tại hằng số dương ,
f
R
C và tồn
tại hàm số thực không tăng *
,
f
R
liên tục phải
tại 0 sao cho:
,
(,,) (,,) ( )
fR
f
xt p f xs p C t s
với ,,
n
xRtsRp .
(H4)
*
,
(,, ) (,, ) (1 )
fR
f
xt p f yt p x y p

với ,,, .
n
xy t R p
Để ý rằng: các điều kiện (H1)-(H4) sẽ thỏa
mãn nếu
(), , (), ()
x
If fx x fx

 là
các hàm thực, liên tục Lipschitz và dương
trên ,() ()1.xfx
 Điều này chứng tỏ
rằng các điều kiện (H1)-(H4) là hiện hữu.
Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm
nhớt của bài toán (1)-(2) được phát biểu
trong định lý sau:
Định lý 2.1 Cho
f
là một hàm dương, liên
tục. Giả sử các điều kiện (H1)-(H4) được
thỏa mãn. Nếu phương trình (1) có nghiệm
nhớt dưới 1
v và nghiệm nhớt trên 2
v là các
hàm liên tục Lipschitz địa phương trong ,
khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm nhớt
(,)k
lồi của bài toán (1)-(2).
Chứng minh. Chúng ta sẽ trình bày các
bước biến đổi chính trong chứng minh, các
tính toán trung gian dành cho bạn đọc. Tính
elliptic suy biến được khẳng định như ở trên.
Còn lại, ta chỉ cần kiểm tra các điều kiện (6)
và (7), khi đó kết quả sẽ được suy ra từ Định
lý 1.1. Thật vậy, từ (H2), tính elliptic suy
biến của k
H và (H3) ta có:
,
(,, , ) (,, , ) ( )
kk fR
F
xt p X F xs p X C t s
.
Hơn nữa, với:
0,,,,,
nn
RxytRp X

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
100
Từ (H4) ta có:


,,
(,, , ) (,, , )
(1 ) .
kk
k
nR fR
FxtpX FytpX
Cxyp


Bằng cách sử dụng tính lồi, tính thuần nhất
của k
H
, (H1) và:


,
(,,) (,,)
1 R
X xtp X ytp
x
ypI


Suy ra:

,
( (,, )) ( ( ,, ))
(1 ) .
kk
k
nR
H
XxtpHXytp
Cxyp
 


Đặt ,,
k
R
nR fR
C

 ta sẽ được:

(,, , ) (,, , )
(1 ) .
kk
R
FxtpX FytpX
x
yp

Như vậy định lý được chứng minh.
3. KẾT LUẬN
Báo cáo này nghiên cứu về bài toán
Dirichlet đối với phương trình kiểu
kHessian, ở đây khái niệm k
lồi trong
những nghiên cứu trước đó được mở rộng
thành (,)k
lồi, và từ đó đạt được kết quả
về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm
nhớt cho bài toán được xét.
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M.G. Crandall, H. Ishii và P.L.Lions, (1992),
User’s guide to viscosity solutions of secon
order partial differential equations, Bull. Am.
Math. Soc, Vol 27, No. 1, pp. 1-67.
[2] A. Colesanti, P. Salani, (1999), Hessian
equations in non-smooth domain, Nonlinear
Anal., Vol. 38, No. 6, Ser.A: Theory
Methods, pp. 803-812.
[3] F. Jiang, N.S. Trudinger and X.P. Yang,
(2015), On the Dirichlet problem for a class
of augmented Hessian equations. J. Differ.
Equ. Vol. 258, pp. 1548-1576.
[4] H. Ishii and P.L. Lions, (1990), Viscosity
solution of full nonlinear second-order
elliptic PDEs, Vol. 83, No. 1, J. of
Differential equations, pp. 26-78.