kú thi thö ®¹i häc n¨m 2011
Trêng thpt t©y thôy anh . Môn Toán : Thêi gian lµm bµi 180 phót.
A /phÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh. ( 8 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ).
Cho hàm số y = x3 + ( 1 – 2m)x2 + (2 – m )x + m + 2 . (Cm)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1.
Câu II : ( 2 điểm ).
1. Giải phương trình:
sin 2 2 2(sinx+cosx)=5
x.
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2
2 3 .
x mx x
Câu III : ( 2 điểm ).
1. Tính tích phân sau :
22
3
1
1
.
x
I dx
x x
2. Cho hệ phương trình :
3 3
( )
1
x y m x y
x y
Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x1;y1);(x2;y2);(x3;y3) sao cho x1;x2;x3 lập thành cấp số cộng
0
d
.Đồng thời có hai số xi thỏa mãn
i
x
> 1
Câu IV : ( 2 điểm ).
Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d1 :
1 1 2
x y z
; d2
1 2
1
x t
y t
z t
và điểm M(1;2;3).
1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M và d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2.
2.Tìm
1 2
;
A d B d
sao cho AB ngắn nhất .
B. PHẦN TỰ CHỌN: ( 2 điểm ).
( Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu Va hoặc Vb sau đây.)
Câu Va.
1. Trong mặt phẳng oxy cho
ABC
có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0
.Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình
x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích
ABC
.
2.Tìm hệ số x6 trong khai triển 3
1
n
x
x
biết tổng các hệ số khai triển
bằng 1024.
Câu Vb.
1. Giải bất phương trình :
2 2
1 1
5 5
x x
> 24.
2.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’đáy ABC là tam giác đều cạnh a. .A’ cách đều các điểm A,B,C. Cạnh bên
AA’ tạo với đáy góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ.
______________ Hết ____________
kú thi thö ®¹i häc n¨m 2011
Trêng thpt t©y thôy anh . Môn Toán : Thêi gian lµm bµi 180 phót.
ĐÁP ÁN
Câ
u Ý Nội dung Điể
m
I . 200
1
.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 1,00
Với m = 2 ta được y = x3 – 3x2 + 4
a ;Tập xác định : D = R. 0,25
b ; Sự biến thiên.
Tính đơn điệu ……
Nhánh vô cực……
j
o
4+
-
++
-0
0
2
0+
-
y
y'
x
0,25
c ; Đồ thị :
+ Lấy thêm điểm .
+ Vẽ đúng hướng lõm và vẽ bằng mực cùng màu mực với phần trình bầy
0,25
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15
-10
-5
5
10
15
0,25
2
. Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ
hơn 1. 1,00
Hàm số có cực trị theo yêu cầu đầu bài khi và chỉ khi thỏa mãn 2
ĐK sau :
+ y’ =0 có 2 nghiệm pbiệt x1 < x2
' 2
4 5 0
m m
f
m < - 1 hoặc m >
5
4
0,25
0,25
+ x1 < x2 < 1 ( Vì hệ số của x2 của y’ mang dấu dương )
….
'
4 2
m
p
…..
21
15
mp
0,25
Kết hợp 2 ĐK trên ta được… Đáp số
; 1
m

5 7
;
4 5
0,25
II 2,00
1
1.Giải phương trình:
sin 2 2 2(sinx+cosx)=5
x. ( I )
1,00
Đặt sinx + cosx = t (
2
t).
sin2x = t2 - 1
( I ) 0,25
2
2 2 6 0
t t
2
t
) 0,25
+Giải được phương trình sinx + cosx =
2
…
os( ) 1
4
c x
+ Lấy nghiệm 0,25
Kết luận : 5
2
4
x k
( k
Z
) hoặc dưới dạng đúng khác . 0,25
2
Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2
2 3 .
x mx x
1,00
hệ 2 2
2x x 9 6x
3
m x
x
có nghiệm duy nhất 0,25
x2 + 6x – 9 = -mx (1)
+; Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm. 0,25
+ ; Với x
0 (1)
26x 9x
m
x
. Xét hàm số :
f(x) = 2
6x 9
x
x
trên
;3 \ 0
 có f’(x) = 2
2
9
x
x
> 0
0
x
0,25
+ , x = 3
f(3) = 6 , có nghiệm duy nhất khi – m > 6
m < - 6 0,25
III 2,00
1
1. Tính tích phân sau :
22
3
1
1
.
x
I dx
x x
22
3
1
1
.
x
I dx
x x
=
22
1
1
1
x
1
x
d
x
x
=
2
1
1
( )
1
d x
x
x
x
= -
1
2
1
ln( )
x
x
=
…. =
4
ln
5
( Hoặc
22
3
1
1
.
x
I dx
x x
= 2
2
1
1 2x
x
1
d
x x
=……)
1,00
0,25
0,50
0,25
2.Cho hệ phương trình :
3 3
( )
1
x y m x y
x y
------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x1;y1);(x2;y2);(x3;y3) sao cho x1;x2;x3
lập thành cấp số cộng
0
d
.Đồng thời có hai số xi thỏa mãn
i
x
> 1
3 3
( )
1
x y m x y
x y
2 2
( )( ) 0
1
x y x y xy m
x y
2
1
2
1
( ) 1 0
x y
y x
x x x m
Trước hết
( )
x
phải có 2 nghiệm pbiệt x1 ; x2
3
4 3 0
4
m m
f f
1,00
------
0,25
0,25
2
Có thể xảy ra ba trường hợp sau đây theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
+Trường hợp 1 :
1
2
; x1 ; x2
+Trường hợp 2 : x1 ; x2 ;
1
2
+Trường hợp 3 : x1 ;
1
2
; x2
0,25
Xét thấy Trường hợp 1 ;2 không thỏa mãn. Trường hợp 3 ta có
1 2
1 2
1
1
x x
x x m

đúng với mọi m >
3
4
Đồng thời có hai số xi thỏa mãn
i
x
> 1 ta cần có thêm điều kiện sau
21 4 3
1 4 3 3 3
2
m
x m m
f f f
Đáp số : m > 3
0,25
Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d1 :
1 1 2
x y z
; d2
1 2
1
x t
y t
z t
và điểm M(1;2;3).
1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M và d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua
d2.
.
+ Phương trình mặt phẳng chứa M và d1 …. Là (P) x + y – z = 0
+ Mp(Q) qua M và vuông góc với d2 có pt 2x – y - z + 3 = 0
2,00
0,25
0,25
+ Tìm được giao của d2 với mp(Q) là H(-1 ;0 ;1)
…
Điểm đối xứng M’ của M qua d2 là M’(-3 ;-2 ;-1)
0,25
0,25
2.Tìm
1 2
;
A d B d
sao cho AB ngắn nhất .
Gọi A(t;t;2t) và B(-1-2t1 ;-t1 ;1+t1) AB ngắn nhất khi nó là đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng d1 và d2 .
0,50
IV
1
2
. 0
. 0
AB v
AB v
uuur ur
uuur uur …….
tọa độ của
336
; ;
35 35 35
A
và
1 17 18
; ;
35 35 35
B
0,50
Va 2,00
1
1. Trong mặt phẳng oxy cho
ABC
có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B
có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương
trình
x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C .
M
C
B
H
A
+AC qua A và vuông góc với BH do đó có VTPT là
(3;1)
n
r
AC có
phương trình 3x + y - 7 = 0
+ Tọa độ C là nghiệm của hệ
AC
CM
……
C(4;- 5)
+ 2 1
;
2 2
B B
M M
x y
x y
; M thuộc CM ta được 2 1
1 0
2 2
B B
x y