JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Interdisciplinary Science, 2013, Vol. 58, No. 1, pp. 23-28
This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn
VẬN DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM LÀO
Nguyễn Anh Tuấn1, Jab Vongthavy2
1Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội,
2Trường Cao đẳng Sư phạm Luông Nặm Thà
Tóm tắt. Bài báo đặt ra và giải quyết vấn đề vận dụng phần mềm Maple để hỗ trợ
dạy học Toán cao cấp cho sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm Lào (thể hiện qua
một số nội dung của môn Giải tích), thực hiện đổi mới phương pháp dạy học Toán
theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo
giáo viên Toán ở Nước Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào (LPDR).
Từ khóa: Phần mềm Maple, giải tích toán học, tích cực hóa hoạt động học tập.
1. Mở đầu
Cùng với sự phát triển vượt bậc của công nghệ thông tin và truyền thông, những
phần mềm toán học như Maple, Mathematica, G.Sketchpad, G. Cabri, GeoGebra, Matlab,
Mathcad,... ngày càng góp phần hỗ trợ tốt hơn việc nghiên cứu, giảng dạy và học tập
môn Toán. Trong chương trình đào tạo giáo viên Toán, có nhiều nội dung Toán cao cấp
khá trừu tượng đối với người học. Vì vậy, để giảm bớt khó khăn trong dạy và học Toán cao
cấp nói chung và dạy, học môn Giải tích nói riêng, giảng viên có thể khai thác các phần
mềm trên như một công cụ hỗ trợ, giúp minh họa cho những kiến thức Toán học.
Phần mềm Maple là kết quả của nhóm các nhà khoa học trường Đại học Waterloo
- Canada và là một trong những bộ phần mềm toán học được sử dụng rộng rãi hiện nay.
Trong bài viết này, chúng tôi không trình bày tổng thể ứng dụng của Maple mà chỉ tập
trung vào những khả năng sử dụng Maple hỗ trợ dạy học một số nội dung Toán học ở
trường Cao đẳng Sư phạm (CĐSP) Lào: hàm số, khảo sát hàm số, đạo hàm, nguyên hàm
tích phân, giới hạn, đại số tuyến tính và một số đường, mặt, hình khối hình học.
Received August 6, 2011. Accepted Aipril 26, 2012.
Contact Nguyen Anh Tuan, e-mail address: tuandhsphn@gmail.com
23
Nguyễn Anh Tuấn và Jab Vongthavy
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Maple hỗ trợ dạy và học khái niệm đặc biệt là những khái niệm khó,
trừu tượng
Nhờ khả năng biểu diễn trực quan của Maple, giảng viên có thể giúp cho sinh viên
(SV) hiểu rõ bản chất của những khái niệm toán học trừu tượng: ánh xạ, hàm số, giới hạn,
đạo hàm, nguyên hàm, tích phân,...
2.1.1. Maple hỗ trợ khâu hình thành khái niệm
Bằng cách sử dụng khả năng của Maple, GV minh họa trực quan, nhanh chóng tạo
ra những đối tượng đa dạng, từ đó so sánh, khái quát hóa và rút ra định nghĩa.
Ví dụ 1: Dạy học khái niệm hàm số.
Chủ đề "Hàm số và đồ thị" giữ vị trí trung tâm, xuyên suốt chương trình môn Toán
cả ở CĐSP và phổ thông, trong đó "Hàm số" là khái niệm then chốt. Tuy nhiên, đây cũng
là một khái niệm trừu tượng, khó hiểu. Khi dạy, sau khi đưa ra định nghĩa khá trừu tượng
“hàm số là một quy tắc cho tương ứngvới mỗi số x(thuộc miền xác định) với một số y
(trong miền giá trị)...”, giáo viên thường đưa ra một vài ví dụ hàm số cho dưới dạng công
thức (là các đa thức, phân thức với biến x,...) để minh hoạ. HS thường không phân biệt
được một cách bản chất giữa các khái niệm "hàm số", "biểu thức xác định giá trị tương
ứng y",... Sử dụng Maple, ta có thể giúp cho HS có được cái nhìn bản chất hơn về hàm số,
thấy được bản chất của hàm số nằm ở chỗ quy tắc cho tương ứng (mà thực chất là một ánh
xạ) chứ không phải có hay không có biểu thức f(x).
2.1.2. Hỗ trợ dạy học thể hiện khái niệm
GV khai thác khả năng mô phỏng trực quan quá trình dựng, vẽ, tạo ra đối tượng
thỏa mãn định nghĩa khái niệm, nhất là đối với những khái niệm khó tưởng tượng.
Ví dụ 2: Dạy học khái niệm tích phân xác định.
Dùng Maple, để tính tích phân của hàm số f(x)với cận là [a, b], ta chỉ cần dùng
một câu lệnh [> int(f(x), x =a..b). Tuy nhiên, với Maple, ta còn có thể biểu diễn sự
phân hoạch của hàm số f(x)trên đoạn [a, b]. Khả năng này của Maple giúp cho GV dễ
dàng hơn trong việc giải thích bản chất nguyên hàm, tích phân cho SV, làm cho SV hiểu
khái niệm một cách rõ ràng, chính xác hơn; đồng thời thấy được mối quan hệ và phân biệt
được giữa "nguyên hàm" và "tích phân xác định".
Khi dạy học nguyên hàm, tích phân, thông thường cả GV và SV đều theo xu hướng
tính tích phân thông qua nguyên hàm (thực tế thì [1] dành cho SV CĐSP Lào cũng định
nghĩa nguyên hàm theo công thức Niuton – Leibnitz). Gần như đó là phương pháp duy
nhất để tìm ra tích phân xác định. Tuy nhiên, với sự hỗ trợ của máy tính, mà ở đây là phần
mềm Maple điều ngược lại có thể xảy ra. Tức là ta có thể tính nguyên hàm thông qua tính
phân xác định, hoặc ít nhất là cũng cho ta hình dung được nguyên hàm của một hàm số
bất kỳ nào đó “như thế nào” (kể cả các hàm số mà chúng ta vẫn nói là không tìm được
24
Vận dụng phần mềm Maple trong dạy học Toán...
nguyên hàm). Thật vậy, ta biết rằng mọi hàm số f(x)liên tục trên đoạn [a, b]đều có tích
phân xác định trên mọi đoạn con của [a, b], nghĩa là có thể tính được F(x) =
x
R
a
f(t)dt,
từ đó cho thấy nguyên hàm của hàm f(x)trên mọi đoạn là xác định.
Chẳng hạn với hàm số y=sinx
x, nhiều người vẫn cho rằng không tìm được nguyên
hàm hay không tính được tích phân. Tuy nhiên với sự hỗ trợ của Maple ta hoàn toàn “thấy”
được nguyên hàm của hàm số trên như thế nào, thông qua việc vẽ đồ thị của nó. Công việc
đó được Maple thực hiện chỉ bằng một số lệnh.
Ví dụ 3: Minh họa trực quan tốt cho những khái niệm về hình khối không gian.
Chẳng hạn như khối tứ diện, các khối tròn xoay: mặt cầu, mặt trụ, mặt nón... Trong
quá trình dạy học (với việc sử dụng giáo án điện tử), GV có thể khai thác hình ảnh từ
Maple để minh họa. Đặc biệt có thể liên kết hoặc minh họa trực tiếp trên giao diện làm
việc của Maple, khi đó có thể khai thác thêm khả năng xoay các khối hình của Maple.
Giúp SV dễ hình dung và hình ảnh trở lên sinh động, đồng thời GV cũng giảm bớt được
thời lượng vẽ hình (tất nhiên vẫn phải hướng dẫn SV các vẽ hình).
Ví dụ 4: Maple hỗ trợ vẽ và minh họa bản chất và cách vẽ đồ thị.
Với Maple, việc biểu diễn một tập hợp điểm trên mặt phẳng tọa độ tuy rất đơn giản
về mặt ý tưởng và thuật toán, nhưng lại rất hữu hiệu khi trợ giúp vẽ đồ thị hàm số. Bởi xét
cho cùng, phương pháp chung nhất để vẽ mọi đường cong là xác định một số điểm (đủ
nhiều) rồi nối chúng lại với nhau. Vì vậy, sử dụng Maple, GV có thể thực hiện những ý
tưởng về dạy học vẽ đồ thị, không những giúp cho HS nắm được bản chất, cách vẽ đồ thị;
mà còn bồi dưỡng phát triển tư duy hàm cho các em (ứng với mỗi giá trị của đối số là một
giá trị của hàm số).
Chẳng hạn, GV sử dụng các câu lệnh pointplot để vẽ tập hợp điểm; lệnh plot f(x)
để vẽ đồ thị hàm số, hoặc đường biểu diễn quan hệ |f(x)|=y, ... (trong trường hợp
hàm đa trị):
2.1.3. Maple hỗ trợ dạy học tính chất, định lí
Sử dụng Maple, ta có thể giúp cho SV phát hiện mối quan hệ có tính quy luật giữa
các yếu tố toán học, rút ra dự đoán về một tính chất mới, từ đó tìm cách khẳng định hoặc
bác bỏ... và cuối cùng phát biểu định lý.
2.2. Maple hỗ trợ dạy và học giải một số dạng toán khó
Sử dụng Maple, ta có thể giúp cho SV dự đoán kết quả, từ đó xác định hướng giải
bài toán.
Trong quá trình học Toán, việc kiểm tra tính đúng đắn của một phép toán, một bài
toán hay một quỹ tích... là rất quan trọng. Song có phải lúc nào ta cũng có thể dễ dàng làm
được công việc đó. Với những phép tính cồng kềnh, với những bài toán tính đạo hàm hay
tích phân phức tạp... sau khi đã làm xong một cách rất vất vả, nếu muốn kiểm tra lại thì
25
Nguyễn Anh Tuấn và Jab Vongthavy
quả là khó. Nhưng với sự hỗ trợ của Maple thì công việc kiểm tra kết quả thật dễ dàng (chỉ
với một câu lệnh).
Cũng từ khả năng cho kết quả một cách nhanh chóng và chính xác của Maple ta
thấy rằng có thể dùng Maple để dự đoán kết quả trong nhiều trường hợp.
Chẳng hạn khi giải những phương trình khó, nếu dùng Maple để dự đoán được
nghiệm của nó thì có thể tìm ra cách biến đổi để đưa về phương trình đơn giản hơn, từ đó
giải được phương trình ban đầu. Với bài toán quỹ tích, nhờ khai thác Maple, chúng ta có
thể trợ giúp HS phát hiện được mối quan hệ ràng buộc giữa điểm M với các yếu tố đã cho
và dự đoán được "quỹ đạo" của điểm M, từ đó tiếp tục chứng minh và giải quyết bài toán.
Thực tế khi dạy học đạo hàm, ở trường CĐSP Lào hiện nay, chủ yếu GV cũng chỉ
hướng dẫn SV tính thành thạo đạo hàm những hàm số cơ bản phục vụ cho bài toán khảo
sát hàm số (và thường cũng là những hàm số có thể dễ dàng tính đạo hàm). Việc làm
này đã hạn chế rất nhiều trong việc tìm tòi, khám phá của SV. Với công cụ là phần mềm
Maple, cả GV và SV sẽ không còn phải “ngại” những hàm số được coi là khó khảo sát
hoặc tính đạo hàm nữa.
Quả thật, với những bài toán khó, nhất là những bài đòi hỏi tính toán phức tạp, biết
sử dụng phần mềm một cách hợp lý sẽ giúp cho việc dạy và học toán trở nên thuận lợi và
thú vị hơn.
2.3. Khai thác khả năng tính toán phức tạp của Maple để trợ giúp kiểm
tra kết quả giải toán
2.3.1. Maple hỗ trợ giảng viên thiết kế nội dung câu hỏi và bài tập
Maple trợ giúp GV tạo ra ngân hàng câu hỏi, bài tập.
Trong quá trình dạy học, việc tạo ra những bài toán cùng loại là rất quan trọng. Đối
với từng học sinh, việc có các bài toán cùng loại sẽ giúp các em có điều kiện rèn luyện,
từ việc làm quen với nội dung mới, dần tiến đến hình thành kỹ năng và kỹ xảo giải toán.
Như vậy, nội dung kiến thức đó sẽ luôn được các em học sinh ghi nhớ. Đó cũng là cơ sở
để học các nội dung sau hiệu quả hơn.
Trong quá trình kiểm tra đánh giá, việc tạo ra các bài toán cùng loại sẽ giúp cho
giáo viên đánh giá lực học của học sinh một cách công bằng hơn. Từ đó không những
phát hiện ra những em có khả năng mà còn thấy được những học sinh yếu kém cũng như
sự chênh lệch về học lực trong lớp học (nếu có) để tìm phương pháp dạy học sao cho phù
hợp hơn.
Tóm lại, việc xây dựng hệ thống câu hỏi hay các bài toán cùng loại là rất quan trọng.
Trong khi đó, sử dụng sự hỗ trợ của Maple để làm công việc này không khó.
Giảng viên có thể dùng chức năng tính toán (đạo hàm, nguyên hàm,...) để nhanh
chóng tạo ra những bài toán đa dạng cho SV luyện tập trên lớp và ở nhà.
Ví dụ 5: Khi muốn tạo ra nhiều bài toán cùng loại để SV luyện tập kỹ năng tìm
26
Vận dụng phần mềm Maple trong dạy học Toán...
nguyên hàm.
Đầu tiên, giảng viên dùng Maple để tạo ra nhiều hàm số (bằng cách khai báo hàm
số chứa tham số →cho tham số thay đổi) →dùng Maple để tính đạo hàm của chúng →
kết quả thu được nhiều hàm số →giảng viên lấy đó làm cơ sở để yêu cầu SV tìm nguyên
hàm →giảng viên lại có thể đối chiếu với hàm số ban đầu để kiểm tra kết quả của SV.
Đối với các dạng toán trong chương trình đào tạo giáo viên Toán ở CĐSP Lào,
Maple cho kết quả rất tốt, đây là cơ sở giúp GV xây dựng được một cách thuận lợi ngân
hàng đề kiểm tra trắc nghiệm gồm những câu hỏi, bài tập khác nhau nhưng tương đương
với nhau. Đồng thời, GV cũng có thể sử dụng Maple như một công cụ hỗ trợ trong việc
kiểm tra, đánh giá kết quả một cách chính xác, nhanh chóng.
2.4. Maple hỗ trợ khi biên soạn, trình bày giáo án dạy Toán
2.4.1. Hỗ trợ giảng viên khi thiết kế và thực hiện giáo án giảng dạy Giải tích ở CĐSP
Trong môn Giải tích, SV học những dạng hàm số khá phức tạp, không dễ dàng vẽ
được đồ thị... Vì vậy, việc dùng Maple có thể giúp cho giảng viên vẽ khá chính xác những
đồ thị đó làm cho việc dạy học khảo sát hàm số khá hiệu quả.
Cụ thể, sau khi xây dựng hàm số xong, Maple cho phép làm hầu hết các công việc
liên quan đến hàm số đó, chẳng hạn như tính giá trị của hàm số tại các điểm nào đó, tính
đạo hàm, nguyên hàm và tích phân, tính giới hạn, xét tính liên tục, khảo sát và vẽ đồ thị,
tìm giao điểm của nó với trục tọa độ, với đồ thị của hàm số khác, vẽ được tiếp tuyến của
đồ thị hàm số đó tại một điểm bất kỳ trên đồ thị, tìm min và max của hàm số trong đó một
miền nào đó...
Giảng viên sử dụng Maple để vẽ đồ thị khi soạn thảo giáo án cũng như giảng dạy
trên lớp.
2.4.2. Hỗ trợ sinh viên khi biên soạn, trình bày giáo án thực tập giảng dạy Toán
ở THCS
SV sử dụng Maple để vẽ hình, vẽ đồ thị, dạy học quỹ tích khi dạy Toán cho
HS THCS.
Việc nghiên cứu một hàm số, nói riêng là bài toán khảo sát hàm số, là yêu cầu phổ
biến trong học Toán, được quan tâm đưa vào (cho dù ở dạng đơn giản) ngay từ THCS. Vì
vậy, trong quá trình học Giải tích cũng như học phương pháp giảng dạy Toán ở CĐSP, với
các lệnh của Maple, SV có thể sử dụng để hỗ trợ cho việc giải và trình bày bài toán khảo
sát hàm số.
Lập trình đơn giản với Maple, ta có thể trợ giúp khảo sát một lớp hàm số khá rộng,
mà nếu như không sử dụng phần mềm hỗ trợ thì nhiều khi gặp khó khăn, ngay cả với
những hàm số quen thuộc như hàm số dạng phân thức với mẫu là đa thức bậc cao, một
số hàm số vô tỷ (chứa căn) và hàm số lượng giác,... Tuỳ thuộc từng giáo án, SV có thể sử
dụng hợp lý công cụ Maple.
27