VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT
CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN
I. Hai bài toán cực trị công suất.
Xét mạch điện có điện trở R >0 nối tiếp cùng các thành phần C, L.
Bài toán cực trị số 1.
Mạch điện với R , U là hằng số. Công suất tiêu thụ toàn mạch là:
PR = RI2
Khi đó PR MAX ⟺ I MAX
Bài toán 1.1. L biến thiên để P MAX ⟺ L biến thiên đê I MAX ⟺Cộng hưởng điện.
Bài toán 1.2. C biến thiên để P MAX ⟺ C biến thiên đê I MAX ⟺Cộng hưởng điện.
Bài toán 1.3. f biến thiên để P MAX ⟺ f biến thiên đê I MAX ⟺Cộng hưởng điện.
Kết luận: Cho dù L ↑↓, C ↑↓ hay f ↑↓ để P MAX thì công suất đạt giá trị cực đại 𝑈2
𝑅
đạt được khi hiện tượng cổng hưởng xảy ra, tức ZL = ZC
Lưu ý. Nếu trong mạch có r thì công suất toàn mạch cực đại là
PTM_MAX = 𝑼𝟐
𝑹+𝒓
Bài toán cực trị số 2. Mạch RLC nối tiếp, đặt vào 2 đầu đoạn mạch điện áp U =
const. Khi R↑↓, xác định giá trị R để công suất tiêu thụ trên R đạt giá trị MAX.
P = R.𝑼𝟐
𝒁𝟐=𝐑. 𝑼𝟐
𝑹𝟐+ (𝒁𝑳−𝒁𝑪)𝟐= 𝑼𝟐
𝑹 + (𝒁𝑳−𝒁𝑪)𝟐
𝑹
Nhận xét. P MAX ⟺ 𝑅 + (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2
𝑅 𝑀𝐼𝑁 ( Do tử số là U = hằng số)
Bổ đề: Bất đẳng thức COSI cho 2 số không âm a, b ≥0
a + b ≥2√𝑎.𝑏
Dấu bằng xảy ra khi a = b
VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT
Do R, (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2
𝑅 > 0 nên áp dụng bất đẳng thức COSI cho 2 số a = R và b=
(𝑍𝐿−𝑍𝐶)2
𝑅 ta được 𝑅 + (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2
𝑅≥2√𝑅.(𝑍𝐿−𝑍𝐶)2
𝑅 = 2|𝑍𝐿− 𝑍𝐶|
Dấu bằng xảy ra khi R = (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2
𝑅 ⟺𝑅 = |𝑍𝐿− 𝑍𝐶| (1)
Khi đó PMAX = 𝑼𝟐
𝟐𝑹 và cos𝝋 = 𝟏
√𝟐
Kết luận. R ↑↓ để PMAX thì PMAX = 𝑼𝟐
𝟐𝑹 = 𝑼𝟐
𝟐|𝒁𝑳−𝒁𝑪|
Trong trường hợp cuộn không thuần cảm tức là r ≠ 0. Khi đó kết quả bài toán sẽ
có 1 chút khác biệt. Bạn có thể tham khảo tại chuyên đề “Cuộn dây không thuần
cảm”.
Bài toán cực trị công suất 2. Mạch RrLC nối tiếp, R biến thiên.
Khi đó ta có 2 khái niệm công suất:
a) Công suất trên điện trở R, PR = R. 𝑈2
𝑍2= R. 𝑈2
(𝑅+𝑟)2+ (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2 = 𝑈2
𝑅 + (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2+𝑟2
𝑅+2𝑟
Với việc áp dụng bất đẳng thức COSI cho 2 số 𝑅 , (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2+𝑟2
𝑅 ta được kết luận:
R + (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2+𝑟2
𝑅 ≥2√R. (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2+𝑟2
𝑅 =2√(𝑍𝐿−𝑍𝐶)2+𝑟2
Dấu bằng xảy ra khi R = √(𝑍𝐿−𝑍𝐶)2+𝑟2
PR_MAX = 𝑈2
2𝑅 +2𝑟 = 𝑈2
2(𝑅+𝑟)
b) Công suất toàn mạch
Khi đó bạn chỉ việc coi mạch gồm R’ = (R + r) và áp dụng hệ quả của bài toán khi
mạch R’LC với R’ biến thiên.
II. Một số ví dụ minh họa
Câu 1. Cho mạch RLC nối tiếp. Biết L = H, C = F ,uAB = 200cos100t(V).
R bằng bao nhiêu để công suất toả nhiệt trên R là lớn nhất? Tính công suất đó.
1
4
10.2
VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT
Bài giải
Mạch RLC nối tiếp, R biến thiên để PR MAX - Bài toán cực trị công suất thứ 2.
PMAX = 𝑈2
2|𝑍𝐿−𝑍𝐶|= (100√2)2
2|100−50|= 200 (W).
Câu 2. Một mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh có R=100
, L=
2
H, tụ
điện có điện dung C thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp
xoay chiều uAB = 200√2cos (100𝜋𝑡+ 𝜋
4 ). Giá trị của C và công suất tiêu thụ
của mạch khi điện áp giữa hai đầu R cùng pha với điện áp hai đầu đoạn mạch
nhận cặp giá trị nào?
Bài giải
Điện áp hai đầu đoạn mạch cùng pha với điện áp 2 đầu điện trở R tức là xảy ra
hiện tượng cộng hưởng điện.
Khi đó C = 1
4𝜋2𝑓2𝐿 và P = 𝑈2
𝑅 – đó chính là nội dung của ”Bài toán công suất 1.2”
Câu 3. Mạch điện xoay chiều gồm một cuộn dây có điện trở r = 30, độ tự cảm
L=0,4
𝜋 H mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C. Điện áp tức thời giữa hai đầu
đoạn mạch là:
120cos100ut
(V). Với giá trị nào của C thì công suất tiêu thụ
của mạch có giá trị cực đại và giá trị công suất cực đại bằng bao nhiêu?
Bài giải
Mạch rLC nối tiếp. Vai trò của r ở đây giống với R trong câu 2. Bạn cần phân biệt
trong trường hợp mạch có cả R khi đó công thức tính PMAX sẽ có chút khác biệt.
Trở lại với câu 3, giá trị C = 1
𝜔2.𝐿 = 1
(100𝜋)2.0,4
𝜋 = 10−3
4𝜋 (F).
Và giá trị P TM_MAX = 𝑈2
𝑟 = (60√2)2
30 = 240(W)
Lưu ý: Khi mạch xuất hiện r thì có hai khái niệm cần quan tâm là công suất trên
toàn mạch và công suất trên cuộn dây. Trong ví dụ này, do khuyết R nên công suất
VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT
trên toàn mạch cũng chính là công suất trên cuộn dây. Đó cũng chính là lý do mà ta
có quyền áp dụng công thức cho ở ” Bài toán 1.2”.
Câu 4. Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó cuộn dây có điện trở thuần r = 90 ,
có độ tự cảm L =1,2
𝜋 H, R là một biến trở. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện
áp xoay chiều ổn định uAB = 200√2 cos100t (V).
Xác Định giá trị của biến trở R để công suất toả
nhiệt trên biến trở đạt giá trị cực đại. Tính công suất cực đại đó
Bài giải
Mạch RrL nối tiếp.
R biến thiên để PR_MAX = 𝑈2
2(𝑅+𝑟) =𝑈2
2(√𝑍𝐿2+ 𝑟2+𝑟) = 2002
2(√1202+ 902+90) = 83.3(W)
khi R = √𝑍𝐿2+ 𝑟2 =150.
Bài có thể mở rộng cho thêm có ZC , khi đó thay về R = √𝑍𝐿2+ 𝑟2 thì bạn
thay bằng R = √(𝑍𝐿−𝑍𝐶)2+ 𝑟2 .
Câu 5. Cho đoạn mạch không phân nhánh RLC, R = 80Ω cuộn dây có điện trở
trong 20Ω có độ tự cảm L = 0,318H, tụ điện có điện dung 15,9μF. Đặt vào hai
đầu mạch điện một dòng điện xoay chiều có tần số f thay đổi được có hiệu điện
thế hiệu dụng là 200V. Khi công suất trên toàn mạch đạt giá trị cực đại thì giá
trị của f và P?
Bài giải
Mạch RrLC nối tiếp , f biến thiên để P TM_MAX
Áp dụng hệ quả bài toán 1.3 thì ta có PTM_MAX khi f = f0 = 1
2𝜋√𝐿𝐶 =
1
2𝜋√0,318 .15,9.10−6 = 70.8(Hz)
VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT
Và giá trị PTM_MAX = 𝑈2
𝑅+𝑟 = 2002
80+20 = 400(W)
Câu 6. Cho một đoạn mạch điện xoay chiều gồm R, L, C mắc nối tiếp có R = 200.
Đặt vào hai đầu đoạn mạch này một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu
dụng 220V và tần số thay đổi được. Khi thay đổi tần số, công suất tiêu thụ có
thể đạt giá trị cực đại bằng?
Bài giải
Mạch RLC nối tiếp, f biến thiên để PMAX thì hiện tượng cộng hưởng điện xảy ra
và PMAX = 𝑈2
𝑅 = 2202
200 = 242(W).
Câu 7. Cho mạch xoay chiều RLC nối tiếp có C thay đổi .Khi C= 4.10−5
𝜋 𝐹hoặc C=
2.10−5
𝜋 𝐹 thì công suất tiêu thụ của mạch có giá trị như nhau.Hỏi với giá trị nào
của C thì hệ số công suất đạt cực đại.
Bài giải
Mạch RLC nối tiếp, C biến thiên.
Có 2 giá trị C cho cùng 1 giá trị công suất – Bài toán cùng trị công suất.
P = R 𝑈2
𝑅2+(𝑍𝐿−𝑍𝐶)2
C1 = 4.10−5
𝜋 𝐹 ta có ZC1 , C2 = 2.10−5
𝜋 𝐹 ta có ZC2
P(Khi ZC1) = P(Khi ZC2) ⟺ R 𝑈2
𝑅2+(𝑍𝐿−𝑍𝐶1)2= R 𝑈2
𝑅2+(𝑍𝐿−𝑍𝐶2)2 (1)
Triệu tiêu giá trị R, U2 ta được 1
𝑅2+(𝑍𝐿−𝑍𝐶1)2= 1
𝑅2+(𝑍𝐿−𝑍𝐶2)2
Khi đó chọn ta có 3 ẩn là R, L , 𝜔 và có 1 phương trình(1) nên ta được chọn 2
giá trị. R = 1, 𝜔 = 1 thế vào (1) ta được ZL = 3𝜋
8.10−5