Về nghiệm của hệ các luật bảo toàn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Về nghiệm của hệ các luật bảo toàn nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán giá trị ban đầu đối với hệ 2 luật bảo toàn. Đối với hệ được xét, báo cáo sẽ đưa ra một tiêu chuẩn để chọn nghiệm entropy cho bài toán Riemann

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về nghiệm của hệ các luật bảo toàn

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 VỀ NGHIỆM CỦA HỆ CÁC LUẬT BẢO TOÀN Nguyễn Hữu Thọ Bộ môn Toán học - Khoa CNTT - Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG ở đây y  y0 (x, t) là điểm cực tiểu: Báo cáo này sẽ nghiên cứu một trường hợp y  x  y  đặc biệt của bài toán giá trị ban đầu đối với min   u 0 (z)dz  tf *   ,  y     t   hệ 2 luật bảo toàn. Đối với hệ được xét, báo cáo sẽ đưa ra một tiêu chuẩn để chọn nghiệm và f * là liên hợp lồi của f (u) , M( ¡ ) là entropy cho bài toán Riemann. Chúng tôi sẽ không gian độ đo bị chặn trên ¡ . xét dạng ma trận của bài toán và sử dụng sơ Đối với bài toán Riemann, tức là khi dữ đồ sai phân hữu hạn của Lax [1] đối với bài toán giá trị ban đầu để xây dựng công thức kiện ban đầu (2) có dạng hiện cho nghiệm xấp xỉ, và khi đó giới hạn (u , v ), x  0 của nghiệm xấp xỉ sẽ cho ta nghiệm của bài  u(x,0), v(x,0)    L L (3) (u R , v R ), x  0 toán ta đang xét. Lefloch đã chỉ ra rằng, bài toán sẽ có nhiều 2. NỘI DUNG BÁO CÁO hơn một nghiệm trong trường hợp u L  u R . Bây giờ chúng ta xét hệ 2 luật bảo toàn: 2.1. Đặt vấn đề Trong bài báo [2] của mình năm 1990,    u t  log(aeu  be u )  0 x Lefloch đã xét hệ các luật bảo toàn dạng  u  ae  be  u  (4) u t   f (u)  x  0  v t   u u  v   0, t  0, x  ¡  (1)   ae  be x  v t   a(u)v  x  0 , t  0, x  ¡ với điều kiện ban đầu: với điều kiện ban đầu: (u , v ), x  0 u(x;0)  u 0 (x), v(x,0)  v0 (x) , (2)  u(x,0), v(x,0)    L L (5) (u R , v R ), x  0 trong đó a(u)  f (u) và f : ¡  ¡ là hàm lồi ở đây a, b, uL, uR là các hằng số đã biết, ngặt. Khi các dữ kiện ban đầu u  u(x, t), v  v(x, t) là các ẩn hàm, và sẽ đề u 0  L1 ( ¡ )  BV( ¡ ) xuất một cách chọn duy nhất nghiệm. Chúng và: v0  L ( ¡ )  L1 ( ¡ ) , ta sẽ sử dụng sơ đồ xấp xỉ mà Lax [1] đã sử Lefloch đã chỉ ra rằng, bài toán (1) - (2) có dụng khi chọn nghiệm entropy đối với luật ít nhất một nghiệm: bảo toàn vô hướng. (u, v)  L ( ¡  , BV( ¡ ))  L ( ¡  , M( ¡ )) Trước hết chúng ta viết lại (5) dưới dạng được xác định bởi: ma trận:   x  y0 (x, t)  A t  log(aeA  be A )   0 , (6) u(x, t)  (f *)  t  x     ở đây:  y0 (x,t)   v(x, t)    v (z)dz  u 0  x    0  A . (7)    v u 154
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 Xét x và t là cỡ lưới không gian và thời gian, đặt   lim u  (x, t), v  (x, t)   u(x, t), v(x, t)  0 A nk ; A  kx, nt  , tồn tại theo nghĩa phân bố và  u(x, t), v(x, t)  (8) được cho dưới dạng hiện với công thức sau: k  0, 1, 2,..., n  0,1, 2,... (i) Khi u L  u R , thì và theo Lax, chúng ta sẽ nhận được sơ đồ sai phân:  u(x, t), v(x, t)   A nk  A nk 1   {u L  (u R  u L )H(x  st), t  (9) v L  (vR  v L )H(x  st)  R *t x st }  x      g A nk 11 , A nk 1  g A kn 1, A kn 11   trong đó H(x) là hàm Heaviside. trong đó: (ii) Khi uL < uR, thì g  A, B   log[aeA  be  A ] . (10) a)  u(x, t), v(x, t)   (u L , v L ) Ở đây ta có thể lấy x  t   , vì tốc độ  aeu L  be  u L  đặc trưng của các giá trị riêng Nếu x   u t ae L  be  u L  ae u  be u   1   2  u ae  ae  u 1 b tx  b)  u(x, t), v(x, t)    log  .  ,0  của (5) là nhỏ hơn theo modul. Khi đó ta có 2 a tx  thể viết lại (9) và (10) như sau: Nếu:  A n 1  A n 1   aeu L  be u L   aeu R  be  u R  A nk  A nk 1  log ae k 1  be k      u L  t  x   aeu R  be  u R  t uL  (11)  ae  be     Ank 1  A n 1  c)  u(x, t), v(x, t)   (u R , vR )  log ae  be k 1     ae u R  be u R  với điều kiện ban đầu: Nếu x   u R uR   t.  u0 0   ae  be  A 0k   k . (12) (iii) Khi u L  u R  u , thì  v0 u 0   k k (u, v L ), x  a(u)t Đặt:  u(x, t), v(x, t)    . s (u, v R ), x  a(u)t log aeu R  be  u R   log ae u L  be u L  (13) Và định lý sau cho ta cách xác định duy nhất nghiệm hiện của bài toán (4) – (5). uR  uL Định lý 2. Với các dữ kiện ban đầu u 0 (x) và: và u 0 (x) thuộc lớp hàm L ( ¡ )  L1 ( ¡ ) . Khi ae u R  be  u R R*  s(vR  v L )  u vR  ae R  be  u R (14)   đó u  (x, t), v  (x, t) xác định bởi (11) – (12) ae u L  be  u L sẽ hội tụ tới  u(x, t), v(x, t)  theo nghĩa phân  vL aeu L  be  u L bố và  u(x, t), v(x, t)  được cho bởi công thức chúng ta sẽ nhận được các kết quả sau. hiện: 2.2. Kết quả  1  b t  x  y 0 (x, t)  u(x, t)  log  .  Sau đây là một số kết quả đạt được (xin  2  a t  x  y 0 (x, t)  không trình bày chứng minh cụ thể).  ,      v(x, t)    v 0 (z)dz   Định lý 1. Giả sử u  (x, t), v  (x, t) là    x  y (x,t)    0  nghiệm xấp xỉ của bài toán (4) - (5) xác định bởi (11) - (12), khi đó giới hạn trong đó y  y0 (x, t) là điểm cực đại 155
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3  4. TÀI LIỆU THAM KHẢO  x  y  min   u 0 (z)dz tf *   . x  t  y x  t   t   [1] Lax, P.D. , (1957), Hyperbolic systems of y conservation laws II, Commun. Pure Appl. Ở đây f * () là hàm liên hợp lồi của Math. 10 , 537-566. [2] Lefloch, P., (1990), An existence and f (u)  log[ae u  be u ] , uniqueness result for two nonstrictly và xác định bởi: hyperbolic systems, Nonlinear Evolution 1  f * ( )  log (1   )1 (1   )1  2  Equations that change type, IMA (Springer - Verlag), Vol. 13, 126-138. 1 [3] Tran Duc Van, Mai Duc Thanh and 2   log 4a1 b1 .  Nguyen Huu Tho, (2002), On Lax- Oleinik type formulas for weak solutions 3. KẾT LUẬN to scalar conservation laws, Vietnam. J. Math., 195-200. Báo cáo trình bày kết quả về tiêu chuẩn [4] Trần Đức Vân, (2005), Lý thuyết Phương chọn duy nhất nghiệm entropy cho bài toán trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Riemann đối với hệ 2 luật bảo toàn, kết quả Hà Nội. này là một mở rộng kết quả của các bài báo [2] và [3], kiến thức về luật bảo toàn vô hướng và hệ các luật bảo toàn trình bày trong báo cáo được tham khảo chính trong [1] và [4]. 156