Luận văn: HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I

Chia sẻ: Carol123 Carol123 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

107
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái,..... dẫn đến việc giải các bài toán mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổi nhỏ của các dữ kiện (sai một ly) của các dữ kiện có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn (đi một dặm) của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở lên vô nghiệm hoặc vô định. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh (ill-posed)....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC –––––––––––––––––––– MAI THỊ NGỌC HÀ HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -----------  ---------- MAI THỊ NGỌC HÀ HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học: Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Phản biện 1: ............................................... Phản biện 2: ............................................... L uận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận v ăn họp tại: Trường Đại học K hoa h ọc - Đ HTN năm 2009 Ngày tháng Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
non 1
Môc lôc Më ®Çu 4 Ch¬ng 1. Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n 7 1.1 Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cña gi¶i tÝch hµm . . . . . . . . . . 7 1.1.1. Kh«ng gian mªtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Kh«ng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3. Kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4. Sù héi tô trong c¸c kh«ng gian . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5. To¸n tö trong c¸c kh«ng gian . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt chØnh vµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 13 1.3 Kh¸i niÖm vÒ thuËt to¸n hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Sù tån t¹i to¸n tö hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 X©y dùng thuËt to¸n hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ch¬ng 2. HiÖu chØnh cho ph¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh lo¹i I 24 2.1 NghiÖm hiÖu chØnh cña ph¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh lo¹i I 24 2.1.1. C¬ së lý thuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2. ThuËt to¸n hiÖu chØnh trªn m¸y tÝnh . . . . . . . . . . . 35 2.1.3. Rêi r¹c ho¸ bµi to¸n ®Ó t×m nghiÖm xÊp xØ . . . . . . . . 38 2
2.2 Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh cho ph¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh lo¹i I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 KÕt qu¶ tÝnh to¸n cô thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 KÕt luËn 47 Tµi liÖu tham kh¶o 48 3
Më ®Çu NhiÒu vÊn ®Ò khoa häc, c«ng nghÖ, kinh tÕ, sinh th¸i,..... dÉn ®Õn viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n mµ nghiÖm cña chóng kh«ng æn ®Þnh theo d÷ kiÖn ban ®Çu, tøc lµ mét thay ®æi nhá cña c¸c d÷ kiÖn (sai mét ly) cña c¸c d÷ kiÖn cã thÓ dÉn ®Õn sù sai kh¸c rÊt lín (®i mét dÆm) cña nghiÖm, thËm chÝ lµm cho bµi to¸n trë lªn v« nghiÖm hoÆc v« ®Þnh. Ngêi ta nãi nh÷ng bµi to¸n (ill-posed). ®ã ®Æt kh«ng chØnh Do c¸c sè liÖu thêng ®îc thu thËp b»ng thùc nghiÖm (®o ®¹c, quan tr¾c...) vµ sau ®ã l¹i ®îc xö lý trªn m¸y tÝnh nªn chóng kh«ng tr¸nh khái sai sè. ChÝnh v× thÕ, yªu cÇu ®Æt ra lµ ph¶i cã nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, sao cho khi sai sè cña d÷ liÖu cµng nhá th× nghiÖm xÊp xØ t×m ®îc cµng gÇn víi nghiÖm ®óng cña bµi to¸n xuÊt ph¸t. Nh÷ng ngêi cã c«ng ®Æt nÒn mãng cho lý thuyÕt bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh lµ Tikhonov A. N., Lavrent'ev M. M, Lions J. J., Ivanov V. K.... Trong khu«n khæ cña b¶n luËn v¨n nµy, chóng t«i sÏ ®Ò cËp ®Õn mét bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh mµ nã cã øng dông lín trong c¸c bµi to¸n ph¸t sinh tõ kÜ thuËt. §ã lµ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh Fredholm lo¹i I: b K (t, s)x(s)ds = f0 (t), t ∈ [c, d], a −∞ < a < b < +∞, −∞ < c < d < +∞ x0 (s), f0 (t) ë ®©y nghiÖm lµ mét hµm vÕ ph¶i lµ mét hµm sè cho tríc vµ K (t, s) cña tÝch ph©n cïng víi ∂K/∂t ®îc gi¶ thiÕt lµ c¸c hµm nh©n (h¹ch) liªn tôc cho tríc. LuËn v¨n sÏ nghiªn cøu ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh vµ tèc ®é héi tô cña 4
nghiÖm hiÖu chØnh vµ nghiÖm hiÖu chØnh khi ®· ®îc xÊp xØ h÷u h¹n chiÒu cho nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh lo¹i I trªn sau ®ã ®a ra kÕt qu¶ sè minh häa. Néi dung luËn v¨n gåm 2 ch¬ng, phÇn kÕt luËn vµ cuèi cïng lµ phÇn tµi liÖu tham kh¶o. Ch¬ng I sau khi ®· tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n cña gi¶i tÝch hµm, chóng t«i tr×nh bµy kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh vµ chØ ra r»ng bµi to¸n t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tÝch ph©n Fredholm lo¹i I lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. Cuèi cïng chóng t«i tr×nh bµy tãm t¾t viÖc x©y dùng ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh tæng qu¸t ®Ó gi¶i bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. Ch¬ng II tr×nh bµy vÒ nghiÖm hiÖu chØnh cña ph¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh lo¹i I, tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh, xÊp xØ h÷u h¹n chiÒu vµ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh h÷u h¹n chiÒu ®ång thêi chØ ra khi nµo tèc ®é héi tô lµ tèt nhÊt. Cuèi cïng chóng t«i ®a ra mét sè kÕt qu¶ b»ng sè minh häa. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt tíi PGS. TS NguyÔn Bêng, ngêi ®· tËn t×nh chØ b¶o, t¹o ®iÒu kiÖn vµ gióp ®ì t«i cã thªm nhiÒu kiÕn thøc, kh¶ n¨ng nghiªn cøu, tæng hîp tµi liÖu, nhê ®ã mµ t«i cã thÓ hoµn thµnh ®îc b¶n luËn v¨n nµy. T«i còng xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh tíi TS. NguyÔn ThÞ Thu Thuû, Khoa To¸n - Tin, Trêng §¹i häc Khoa häc ®· nhiÖt t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi tÊt c¶ c¸c thÇy c« gi¸o ®· trùc tiÕp gi¶ng d¹y vµ trang bÞ cho t«i nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n trong suèt qu¸ tr×nh t«i häc tËp t¹i trêng, c¸c thÇy c« gi¸o trong bé m«n To¸n - Lý, vµ c¸c thÇy c« trong Khoa Khoa häc C¬ b¶n trêng §¹i häc N«ng l©m Th¸i Nguyªn ®· t¹o nhiÒu ®iÒu kiÖn thuËn lîi, gióp ®ì, ®éng viªn t«i trong suèt qu¸ tr×nh 5
häc tËp vµ c«ng t¸c. Nh÷ng lêi c¶m ¬n cuèi cïng t«i muèn göi tíi nh÷ng ngêi th©n yªu nhÊt trong gia ®×nh t«i ®· gióp ®ì, chia sÎ, còng nh ®éng viªn t«i rÊt nhiÒu ®Ó t«i vît qua khã kh¨n vµ ®¹t ®îc kÕt qu¶ trong häc tËp vµ c«ng t¸c. 10 n¨m 2009 Th¸i Nguyªn, th¸ng T¸c gi¶ Mai ThÞ Ngäc Hµ 6
Ch¬ng 1 Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n 1.1 Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cña gi¶i tÝch hµm C¸c kh¸i niÖm, ®Þnh lý, vÝ dô vµ c¸c kÕt qu¶ trong môc nµy ®îc tham [1] [2] kh¶o ë tµi liÖu vµ . 1.1.1. Kh«ng gian mªtric ρ §Þnh nghÜa 1.1.1. Kh«ng gian mªtric lµ mét cÆp (X, ), trong ®ã X lµ mét ρ : X ×X → R X ×X tËp hîp, lµ mét hµm x¸c ®Þnh trªn tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: ∀x, y ∈ X ρ(x, y ) ≥ 0, ρ(x, y ) = 0 ⇔ x = y 1) Víi : , ∀x, y ∈ X ρ(x, y ) = ρ(y, x) 2) Víi : , ρ(x, y ) ≤ ρ(x, z ) + ρ(z, y ), ∀x, y, z ∈ X 3) ρ X Hµm ®îc gäi lµ mét mªtric cña kh«ng gian X. Mçi phÇn tö cña ®îc ρ(x, y ) gäi lµ mét ®iÓm cña kh«ng gian X, sè ®îc gäi lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm x vµ y. ∞ xn §Þnh nghÜa 1.1.2. Ta nãi d·y nh÷ng phÇn tö cña kh«ng gian mªtric n=1 x0 ∈ X ρ (X, ) héi tô ®Õn phÇn tö nÕu: lim ρ(xn , x0 ) = 0, n→∞ lim xn = x0 . kÝ hiÖu lµ n→∞ ∞ ⊂X xn §Þnh nghÜa 1.1.3. D·y ®îc gäi lµ d·y c«si hay d·y c¬ b¶n n=1 nÕu: ∀ > 0, ∃n0 ∈ N ∀i, j ≥ n0 ρ(xi , xj ) < sao cho lu«n cã . 7
(X, ρ) Kh«ng gian mªtric ®îc gäi lµ kh«ng gian ®Çy ®ñ nÕu mäi d·y X X c«si trong ®Òu héi tô ®Õn mét phÇn tö thuéc . M X §Þnh nghÜa 1.1.4. Mét tËp con trong kh«ng gian mªtric ®îc gäi lµ ∞ ∞ ⊂M xn n=1 xnk tËp compac nÕu mäi d·y ®Òu cã chøa mét d·y con k =1 M héi tô ®Õn mét ®iÓm thuéc . C[a,b] M Trong kh«ng gian mét tËp lµ compac nÕu tho¶ m·n ®Þnh lý sau: §Þnh lý 1.1.1. (§Þnh lý Arsela - Ascoli) (xem [3]) M ⊂ C[a,b] TËp lµ compac khi vµ chØ khi nã giíi néi ®Òu vµ liªn tôc ®ång bËc. 1.1.2. Kh«ng gian Banach X §Þnh nghÜa 1.1.5. R Gi¶ sö K lµ trêng sè thùc . TËp hîp kh¸c rçng cïng víi hai ¸nh x¹ (gäi lµ phÐp céng vµ phÐp nh©n v« híng): PhÐp céng, kÝ hiÖu: + X ×X →X (x, y ) → x + y . PhÐp nh©n v« híng, kÝ hiÖu: R×X →X (α, x) → α.x R gäi lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn (hoÆc kh«ng gian vÐc t¬ thùc) nÕu hai phÐp to¸n céng vµ nh©n v« híng tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau: ∀x, y ∈ X, x + y = y + x 1) ; ∀x, y, z ∈ X, x + (y + z ) = (x + y ) + z 2) ; 0∈X ∀x ∈ X, x + 0 = 0 + x 3) Víi phÇn tö ta cã: ; x∈X −x ∈ X : x + (−x) = 0 4) Víi mçi , tån t¹i phÇn tö ; 8
∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X : α.(β.x) = (α.β ).x 5) ; ∀x ∈ X : 1.x = x 6) ; ∀α, β ∈ R, x ∈ X (α + β ).x = α.x + β.x 7) ta cã: ; ∀β ∈ R, x, y ∈ X : β.(x + y ) = β.x + β.y 8) . §Þnh nghÜa 1.1.6. R Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn . Hµm sè: X→R . X : ®îc gäi lµ mét chuÈn trªn nÕu nã tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: x ≥ 0, ∀x ∈ X ; x = 0 ⇔ x = 0 1) ; ∀x, y ∈ X : x + y ≤ x + y 2) ; ∀β ∈ R; ∀x ∈ X : β .x = |β |. x 3) . X Mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh cïng víi mét chuÈn trªn nã. ρ(x, y ) = x − y (X, ρ) NhËn xÐt 1.1.1. NÕu ®Æt: th× trë thµnh kh«ng gian mªtric. §Þnh nghÜa 1.1.7. Kh«ng gian Bannach lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®Çy ®ñ. 1.1.3. Kh«ng gian Hilbert X §Þnh nghÜa 1.1.8. R Cho lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn . Mét tÝch v« ., . : X × X → R X híng trong lµ mét ¸nh x¹ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0 1) ; x, y = y , x , ∀x, y ∈ X 2) ; αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R 3) ; x + y, z = x, z + y , z , ∀x, y, z ∈ X 4) . X ., . Kh«ng gian tuyÕn tÝnh cïng víi tÝch v« híng ®îc gäi lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert. 9
x= x, x NhËn xÐt 1.1.2. Víi hµm th× X trë thµnh kh«ng gian ®Þnh chuÈn. §Þnh nghÜa 1.1.9. Kh«ng gian tiÒn Hilbert ®Çy ®ñ ®îc gäi lµ kh«ng gian Hilbert. Lp [a, b] VÝ dô 1.1.1. 1) Kh«ng gian c¸c hµm trong ®ã mçi phÇn tö lµ c¸c xp (s) hµm ®o ®îc x(s) cã kh¶ tÝch víi chuÈn ®îc x¸c ®Þnh nh sau: 1/p b p |x(s)| ds < +∞ x = (1.1) Lp a lµ kh«ng gian Bannach, víi p =2 ta cã kh«ng gian Hilbert. 1 f ∈ L2 [a, b] W2 §Æc biÖt, kh«ng gian Sobolev gåm nh÷ng hµm sao cho f ∈ L2 [a, b] , víi chuÈn 2 2 2
Tõ héi tô m¹nh suy ra héi tô yÕu, ngîc l¹i tõ héi tô yÕu suy ra héi tô xn ⊂ M m¹nh chØ khi X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu hoÆc víi M lµ mét tËp compac trong X. 1.1.5. To¸n tö trong c¸c kh«ng gian §Þnh nghÜa 1.1.12. Cho X vµ Y lµ hai kh«ng gian tuyÕn tÝnh bÊt k×. To¸n A:X→Y tö gäi lµ tuyÕn tÝnh nÕu: ∀x, y ∈ X A(x + y ) = Ax + Ay 1) víi ; ∀x ∈ X, ∀α ∈ R A(αx) = αAx 2) víi . f:X→R f NÕu lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh th× ta nãi lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh. §Þnh nghÜa 1.1.13. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai kh«ng gian ®Þnh chuÈn, mét to¸n A:X→Y xn → x0 tö tuyÕn tÝnh gäi lµ liªn tôc nÕu tõ lu«n lu«n kÐo theo Axn → Ax0 . §Þnh nghÜa 1.1.14. To¸n tö tuyÕn tÝnh A gäi lµ bÞ chÆn (giíi néi) nÕu cã K>0 mét h»ng sè ®Ó cho (∀x ∈ X ), Ax ≤ K x Mét to¸n tö tuyÕn tÝnh A bÞ chÆn th× liªn tôc vµ ngîc l¹i. A:X→Y X Y §Þnh nghÜa 1.1.15. To¸n tö tuyÕn tÝnh víi vµ lµ c¸c kh«ng gian ®Þnh chuÈn, ®îc gäi lµ to¸n tö hoµn toµn liªn tôc (to¸n tö compact), nÕu nã biÕn mçi tËp ®ãng bÞ chÆn thµnh tËp compact nghÜa lµ xn ≤ K (n = 1, 2, ....) Axnk nÕu kÐo theo sù tån t¹i mét d·y héi tô. K (X, Y ) KÝ hiÖu lµ tËp tÊt c¶ c¸c to¸n tö hoµn toµn liªn tôc tõ X vµo Y. K (X, Y ) ⊂ B (X, Y ) B (X, Y ) DÔ nhËn thÊy , ë ®©y lµ tËp tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ X vµo Y. Trong kh«ng gian v« h¹n chiÒu, nÕu A lµ mét to¸n tö hoµn toµn liªn tôc 11
A−1 th× kh«ng liªn tôc. Bæ ®Ò 1.1.1. Bæ ®Ò Tikhonov) ( (xem [1] vµ c¸c tµi liÖu dÉn) A:X→Y Cho X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Bannach. Cho to¸n tö ®a tËp X0 ⊆ X Y0 = A(X0 ). NÕu A lµ mét song ¸nh, liªn tôc vµ X0 lªn lµ mét tËp X , th× A−1 Y0 X0 . compact cña còng lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc tõ lªn f (x) §Þnh nghÜa 1.1.16. Bµi to¸n t×m cùc tiÓu phiÕm hµm trªn kh«ng gian x0 ∈ X X Bannach nh sau: T×m phÇn tö sao cho f (x0 ) = inf f (x). (1.3) x∈X xn D·y ®îc gäi lµ d·y cùc tiÓu ho¸ cho bµi to¸n cùc tiÓu trªn (cña phiÕm hµm f), nÕu lim f (xn ) = f (x0 ) n→∞ §iÒu nµy t¬ng ®¬ng víi: ∀ > 0, ∃N ( ) : ∀n > N ( ), f (x0 ) − ≤ f (xn ) ≤ f (x0 ) + . 1.1.6. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh §Ó t×m nghiÖm mét hÖ ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh, tån t¹i nhiÒu ph¬ng ph¸p sè kh¸c nhau.Tuú ®Æc ®iÓm cña tõng ma trËn hÖ sè, ta cã thÓ chän ph¬ng ph¸p nµo cho cã lîi h¬n c¶. Khi t×m nghiÖm hiÖu chØnh ®· ®îc rêi r¹c ho¸ cña bµi to¸n kh«ng chØnh, ta thêng sö dông tÝnh ®èi xøng vµ tÝnh kh«ng ©m cña ma trËn hÖ sè. Trong môc nµy, chóng t«i giíi thiÖu ph¬ng ph¸p c¨n bËc 2, c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c cã thÓ xem trong [2]. • Ph¬ng ph¸p c¨n bËc 2 Ax = b Cho hÖ ph¬ng tr×nh ®¹i sè víi A lµ mét ma trËn vu«ng cÊp n aij ®èi xøng vµ x¸c ®Þnh d¬ng. C¸c thµnh phÇn cña A ®îc kÝ hiÖu lµ vµ b = (b1 , b2 , ...., bn )T lµ chuyÓn vÞ cña vÐct¬ hµng. Ta cã thÓ biÓu diÔn ma 12
A = U ∗U trËn víi   u11 u12 u13 . . . u1n    0 u22 u23 . . . u2n    U =  0 0 u33 . . . u3n  .     . . . . ... . . . .   . . . .   000 . . . unn U∗ U uij vµ lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña . C¸c thµnh phÇn ®îc x¸c ®Þnh lÇn lît theo c«ng thøc sau √ a1 j u11 = a11 , u1j = , j = 2, 3, ...n; u11 i−1 u2 , i = 2, 3, ...., n; aii − uii = ki k =1 i−1 1 (aij − uij = uki ukj ), i < j ; uij = 0, i > j. uii k =1 U ∗y = b Ax = b Do ®ã hÖ ph¬ng tr×nh ®îc chia lµm hai hÖ ph¬ng tr×nh Ux = y vµ . LÇn lît gi¶i hai hÖ ph¬ng tr×nh ®¹i sè víi ma trËn tam gi¸c ta cã nghiÖm x. 1.2 Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt chØnh vµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt chØnh ®îc J. Hadamard ®a ra khi nghiªn cøu vÒ ¶nh hëng cña c¸c ®iÒu kiÖn biªn lªn nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh [6] elliptic còng nh parabolic (xem ). §Þnh nghÜa 1.2.1. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai kh«ng gian metric víi c¸c ®é ®o ρX (x1 , x2 ) ρY (f1 , f2 ) t¬ng øng lµ ; vµ A lµ to¸n tö tõ X vµo Y XÐt ph¬ng . tr×nh: Ax = f, f ∈ Y, (1.4) 13
x∈X f ∈Y Bµi to¸n t×m nghiÖm theo d÷ kiÖn ®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt (X, Y ) chØnh trªn cÆp kh«ng gian mªtric nÕu: ∀f ∈ Y, ∃xf ∈ X : A(xf ) = f 1) ; xf 2) ®îc x¸c ®Þnh mét c¸ch duy nhÊt; xf 3) phô thuéc liªn tôc vµo f. §Þnh nghÜa 1.2.2. NÕu mét trong ba ®iÒu kiÖn trªn kh«ng tho¶ m·n th× bµi to¸n ®· cho gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. Chó ý 1.1.1. i) §èi víi c¸c bµi to¸n phi tuyÕn th× ®iÒu kiÖn thø hai hÇu nh kh«ng tho¶ m·n. Do vËy hÇu hÕt c¸c bµi to¸n phi tuyÕn ®Òu lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. x f x = R(f ) ii) Bµi to¸n t×m nghiÖm phô thuéc vµo d÷ kiÖn , nghÜa lµ , (X, Y ) ε>0 ®îc gäi lµ æn ®Þnh trªn cÆp kh«ng gian nÕu víi mçi tån t¹i ρY (f1 , f2 ) ≤ δ (ε) ρX (x1 , x2 ) ≤ ε δ (ε) > 0 mét sè sao cho tõ cho ta , ë ®©y xi ∈ X, fi ∈ Y, xi = R(fi ), i = 1, 2. iii) Mét bµi to¸n cã thÓ ®Æt chØnh trªn cÆp kh«ng gian nµy nhng l¹i ®Æt kh«ng chØnh trªn cÆp kh«ng gian kh¸c. Trong nhiÒu øng dông th× vÕ ph¶i cña (1.4) thêng ®îc cho bëi ®o f fδ ®¹c, nghÜa lµ thay cho gi¸ trÞ chÝnh x¸c , ta chØ biÕt xÊp xØ cña nã tho¶ fδ − f ≤ δ xδ f fδ m·n . Gi¶ sö lµ nghiÖm cña (1.4) víi thay bëi (gi¶ δ→0 fδ → f thiÕt r»ng nghiÖm tån t¹i). Khi th× nhng víi bµi to¸n ®Æt xδ x kh«ng chØnh th× nãi chung kh«ng héi tô ®Õn . VÝ dô 1.2.1. Bµi to¸n t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tÝch ph©n Fredholm lo¹i I lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. 14
XÐt ph¬ng tr×nh Fredholm lo¹i I: b K (t, s)x(s)ds = f0 (t), t ∈ [a, b], (1.5) a −∞ < a < b < +∞ x0 (s) f0 (t) ë ®©y nghiÖm lµ mét hµm , vÕ ph¶i lµ mét hµm sè cho tríc vµ K (t, s) ∂K/∂t nh©n (h¹ch) cña tÝch ph©n cïng víi ®îc gi¶ thiÕt lµ c¸c hµm liªn tôc cho tríc. Ta xÐt hai trêng hîp sau: • Trêng hîp 1 C [a, b] → L2 [a, b] A: b x(s) → f0 (t) = K (t, s)x(s)ds. a L2 [a, b] Sù thay ®æi vÕ ph¶i ®îc ®o b»ng ®é lÖch trong kh«ng gian , tøc lµ f1 (t) f2 (t) L2 [a, b] kho¶ng c¸ch gi÷a hai hµm vµ trong ®îc x¸c ®Þnh bëi 1/2 b 2 |f1 (t) − f2 (t)| dt ρL2 [a,b] (f1 , f2 ) = . a (1.5) x0 (s) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã nghiÖm . Khi ®ã víi vÕ ph¶i b f1 (t) = f0 (t) + N K (t, s)sin(ω.s)ds a (1.5) x1 (s) = x0 (s) + N sin(ω.s) N Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm . Víi bÊt k×, ω f0 , f1 L2 [a, b] ®ñ lín th× kho¶ng c¸ch gi÷a hai hµm trong lµ: 2 1/2 b b ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |N | K (t, s)sin(ω.s)ds dt a a cã thÓ lµm nhá tuú ý. ThËt vËy, ®Æt: |K (t, s)| Kmax = max s∈[a,b] t∈[a,b] Ta tÝnh ®îc 2 1/2 b |N |.Kmax .c0 1 Kmax . .cos(ω.s) |b ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) ≤ |N | ≤ dt . a ω ω a 15
N c0 N ω ë ®©y lµ mét h»ng sè d¬ng. Ta chän vµ lín tuú ý nhng l¹i nhá. ω Khi ®ã: ρC [a,b] (x0 , x1 ) = max |x0 (s) − x1 (s)| = |N | s∈[a,b] cã thÓ lín bÊt k×. • Trêng hîp 2 L2 [a, b] → L2 [a, b] A: b x(s) → f0 (t) = K (t, s)x(s)ds, a x0 , x1 L2 [a, b] Kho¶ng c¸ch gi÷a hai nghiÖm trong còng cã thÓ lín bÊt k×. ThËt vËy, 1/2 1/2 b b 2 2 |x0 (s) − x1 (s)| ds = |N | ρL2 [a,b] (x0 , x1 ) = sin (ω.s)ds a a b−a 1 = |N | − sin(ω (b − a)).cos(ω (b + a)). 2 2ω N ω ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) DÔ dµng nhËn thÊy hai sè vµ cã thÓ chän sao cho rÊt ρL2 [a,b] (x0 , x1 ) nhá nhng vÉn cho kÕt qu¶ rÊt lín. Nh vËy sù thay ®æi nhá cña d÷ kiÖn ban ®Çu dÉn ®Õn sù thay ®æi lín vÒ nghiÖm. Do ®ã bµi to¸n t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tÝch ph©n Fredholm lo¹i I lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. 1.3 Kh¸i niÖm vÒ thuËt to¸n hiÖu chØnh XÐt bµi to¸n Ax = f0 , (1.6) A X trong ®ã lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian metric vµo kh«ng gian mªtric f0 ∈ Y Y (1.6) vµ . §Ó t×m nghiÖm xÊp xØ cña trong trêng hîp tæng qu¸t A.N. Tikhonov ®· ®a ra mét kh¸i niÖm míi. §ã lµ ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh 16
dùa trªn viÖc x©y dùng to¸n tö hiÖu chØnh vµ c¸ch chän mét gi¸ trÞ cña mét [4] − [5] tham sè míi ®a vµo (xem ). A−1 fδ : |fδ − f0 | ≤ δ → 0 f0 Gi¶ sö kh«ng liªn tôc vµ thay cho ta biÕt . (A, fδ ) δ Bµi to¸n ®Æt ra lµ dùa vµo th«ng tin vÒ vµ møc sai sè , t×m mét x0 phÇn tö xÊp xØ nghiÖm chÝnh x¸c . Râ rµng lµ kh«ng thÓ x¸c ®Þnh phÇn xδ = A−1 .fδ A−1 xδ tö xÊp xØ theo quy t¾c , v× thø nhÊt lµ cã thÓ kh«ng x¸c A−1 A−1 fδ f ∈Y ®Þnh víi , thø hai lµ kh«ng liªn tôc nªn nÕu tån t¹i, còng A−1 f cha ch¾c ®· xÊp xØ . δ (1.6) Tham sè chØ cho ta møc ®é sai sè vÕ ph¶i cña . V× vËy vÊn ®Ò ®Æt ra lµ cã thÓ x©y dùng phÇn tö xÊp xØ phô thuéc vµo mét tham sè nµo ®ã δ→0 δ vµ tham sè nµy ®îc chän t¬ng thÝch víi sao cho khi th× phÇn tö x0 xÊp xØ nµy héi tô tíi nghiÖm chÝnh x¸c . Y Nh vËy, tån t¹i mét to¸n tö t¸c ®éng tõ kh«ng gian vµo kh«ng gian fδ ∈ Y X X theo quy t¾c víi mçi ta cã phÇn tö xÊp xØ thuéc . R(f, α) α Y §Þnh nghÜa 1.3.1. To¸n tö , phô thuéc tham sè , t¸c ®éng tõ X (1.6) vµo ®îc gäi lµ mét to¸n tö hiÖu chØnh cho ph¬ng tr×nh nÕu: δ1 α1 R(f, α) 1) Tån t¹i hai sè d¬ng vµ sao cho to¸n tö x¸c ®Þnh víi α ∈ (0, α1 ) f ∈ Y : ρY (f, f0 ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ) mäi vµ víi mäi ; ∀ > 0 ∃δ ( ) ≤ δ1 : α = α(f, δ ) 2) Tån t¹i mét sù phô thuéc sao cho , ∀f ∈ Y, ρY (f, f0 ) ≤ δ ≤ δ1 =⇒ ρY (xα , x0 ) ≤ xα ∈ R(f, α(f, δ )) , ë ®©y . Chó ý 1.1.2. R(f, α) i) Trong ®Þnh nghÜa nµy kh«ng ®ßi hái tÝnh ®¬n trÞ cña to¸n tö . xα ∈ R(fδ , α) ii) PhÇn tö ®îc gäi lµ nghiÖm hiÖu chØnh cña ph¬ng (1.6) α = α(fδ , δ ) = α(δ ) tr×nh , ë ®©y ®îc gäi lµ tham sè hiÖu chØnh. DÔ dµng nhËn thÊy tõ ®Þnh nghÜa trªn nghiÖm hiÖu chØnh æn ®Þnh víi d÷ kiÖn ban ®Çu. 17