Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian Banach

Chia sẻ: Tri Lễ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu đã giới thiệu khái niệm về không gian Banach, toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, toán tử liên tục, khả vị Eréchet trong không gian Banach cùng một số tính chất; định nghĩa và ví dụ về bài toán ngược đặt không chỉnh; trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder Tikhonov hiệu chính phương trình toán tử đơn điệu.... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian Banach

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o H VN DÜ PH×ÌNG PHP HIU CHNH H PH×ÌNG TRNH TON TÛ TRONG KHÆNG GIAN BANACH LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, 10/2018
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o H VN DÜ PH×ÌNG PHP HIU CHNH H PH×ÌNG TRNH TON TÛ TRONG KHÆNG GIAN BANACH Chuy¶n ng nh: To¡n ùng döng M¢ sè: 8460112 LUN VN THC S TON HÅC GIO VIN H×ÎNG DN PGS.TS. NGUYN THÀ THU THÕY THI NGUYN, 10/2018
iii Möc löc B£ng kþ hi»u 1 Mð ¦u 2 Ch÷ìng 1. B i to¡n °t khæng ch¿nh v ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov 4 1.1 B i to¡n °t khæng ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Khæng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 To¡n tû trong khæng gian Banach . . . . . . . . . . 7 1.1.3 B i to¡n °t khæng ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.4 V½ dö v· b i to¡n °t khæng ch¿nh . . . . . . . . . 16 1.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 To¡n tû hi»u ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov . . . . 19 Ch÷ìng 2. Hi»u ch¿nh h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh 21 2.1 H» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû °t khæng ch¿nh . . . . . . . . . . 21 2.1.1 H» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Mët sè b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Hi»u ch¿nh h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh 24 2.2.1 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.3 X§p x¿ húu h¤n chi·u . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
iv K¸t luªn 35 T i li»u tham kh£o 36
1 B£ng kþ hi»u H khæng gian Hilbert thüc X khæng gian Banach X∗ khæng gian èi ng¨u cõa X SX m°t c¦u ìn và cõa X R tªp c¡c sè thüc Rn khæng gian Euclid n chi·u ∀x vîi måi x D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A A−1 to¡n tû ng÷ñc cõa to¡n tû A I to¡n tû çng nh§t L(X, Y ) tªp t§t c£ c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc tø khæng gian Banach X v o khæng gian Banach Y C[a, b] khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n o¤n [a, b] lp khæng gian c¡c d¢y sè kh£ têng bªc p Lp [a, b] khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p tr¶n o¤n [a, b] d(x, C) kho£ng c¡ch tø ph¦n tû x ¸n tªp hñp C lim supn→∞ xn giîi h¤n tr¶n cõa d¢y sè {xn } lim inf n→∞ xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn } xn → x0 d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· x0 xn * x0 d¢y {xn } hëi tö y¸u v· x0 Js ¡nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t J ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc Fix(T ) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T
2 Mð ¦u Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh ÷ñc nh To¡n håc Jacques Hadamard ng÷íi Ph¡p ÷a ra v o n«m 1932 khi nghi¶n cùu £nh h÷ðng cõa b i to¡n gi¡ trà bi¶n vîi ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. Æng l ng÷íi ¢ ch¿ ra nhúng b i to¡n khæng ên ành l "b i to¡n °t khæng ch¿nh" (xem wikipedia.org/wiki/Jacques Hadamard). X²t b i to¡n ng÷ñc: t¼m mët ¤i l÷ñng vªt lþ x ∈ X ch÷a bi¸t tø bë dú ki»n (f0 , f1 , . . . , fN ) ∈ Y N +1 , ð ¥y X v Y l c¡c khæng gian Banach, N ≥ 0. Tr¶n thüc t¸, c¡c dú ki»n n y th÷íng khæng ÷ñc bi¸t ch½nh x¡c, m ch¿ ÷ñc bi¸t x§p x¿ bði fiδ ∈ Y thäa m¢n kfiδ − fi k ≤ δi , i = 0, 1, . . . , N, (1) vîi δi > 0 (sai sè cho tr÷îc). Bë húu h¤n dú ki»n fiδ ∈ Y , i = 0, 1, . . . , N nhªn ÷ñc b¬ng vi»c o ¤c trüc ti¸p tr¶n c¡c tham sè. B i to¡n n y ÷ñc mæ h¼nh hâa to¡n håc bði Ai (x) = fi , i = 0, 1, . . . , N, (2) ð ¥y Ai : D(Ai ) ⊆ X → Y v D(Ai ) l kþ hi»u mi·n x¡c ành cõa to¡n tû Ai t÷ìng ùng. B i to¡n (2), nâi chung, l mët b i to¡n °t khæng ch¿nh theo ngh¾a nghi»m khæng duy nh§t v nghi»m cõa b i to¡n khæng phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n ban ¦u. Do â, ng÷íi ta ph£i sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i ên ành b i to¡n n y. Mët trong c¡c ph÷ìng ph¡p ÷ñc sû döng kh¡ rëng r¢i v hi»u qu£ l ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov. Möc ti¶u cõa luªn v«n l tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov
3 hi»u ch¿nh h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû (2) trong tr÷íng hñp to¡n tû A0 ìn i»u, hemi-li¶n töc, cán c¡c to¡n tû Ai , i = 1, . . . , N câ t½nh ch§t ng÷ñc ìn i»u m¤nh trong khæng gian Banach thüc ph£n x¤ X trong b i b¡o [9] cæng bè n«m 2018. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 giîi thi»u kh¡i ni»m v· khæng gian Banach, to¡n tû ìn i»u, ìn i»u cüc ¤i, to¡n tû li¶n töc, kh£ vi Fr²chet trong khæng gian Banach còng mët sè t½nh ch§t; ành ngh¾a v v½ dö v· b i to¡n ng÷ñc °t khæng ch¿nh; tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov hi»u ch¿nh ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u. Ch÷ìng 2 giîi thi»u v· h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû °t khæng ch¿nh, tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh v x§p x¿ húu h¤n chi·u nghi»m nghi»m ch¿nh trong khæng gian Banach còng c¡c ành lþ hëi tö m¤nh. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n n y, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ håc tªp, nghi¶n cùu. T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n c¡c th¦y, cæ trong khoa To¡n - Tin, trong Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. °c bi»t, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi PGS.TS. Nguy¹n Thà Thu Thõy - Ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡c gi£ ho n th nh luªn v«n n y. T¡c gi£ công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn tîi Ban gi¡m hi»u Tr÷íng PTDTBT THCS Trung H , x¢ Trung H , huy»n Chi¶m Hâa, t¿nh Tuy¶n Quang ¢ luæn t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho t¡c gi£ ho n th nh khâa håc. Ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, çng nghi»p, b¤n b± ¢ luæn cê vô, ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu./. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2018 T¡c gi£ luªn v«n H V«n Dü
4 Ch÷ìng 1 B i to¡n °t khæng ch¿nh v ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov Ch÷ìng n y giîi thi»u v· b i to¡n °t khæng ch¿nh trong khæng gian Banach; tr¼nh b y v½ dö v· b i to¡n °t khæng ch¿nh v ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov hi»u ch¿nh b i to¡n n y. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc têng hñp tø c¡c t i li»u [1], [3], [4] v [5]. 1.1 B i to¡n °t khæng ch¿nh Möc n y tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v·: khæng gian Banach, b i to¡n ng÷ñc °t khæng ch¿nh v v½ dö v· b i to¡n ng÷ñc °t khæng ch¿nh. 1.1.1 Khæng gian Banach Tr÷îc h¸t ta nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m v· khæng gian ành chu©n v khæng gian Banach (xem [3]). ành ngh¾a 1.1.1 Cho X l mët khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng sè thüc R. nh x¤ k.k : X → R ÷ñc gåi l mët chu©n tr¶n X n¸u nâ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) ||x|| ≥ 0 vîi måi x ∈ X ; ||x|| = 0 khi v ch¿ khi x = 0;
5 (ii) ||kx|| = |k|||x|| vîi måi x ∈ X , vîi måi k ∈ R; (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| vîi måi x, y ∈ X. Khæng gian tuy¸n t½nh X còng vîi chu©n k.k x¡c ành nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l khæng gian ành chu©n, kþ hi»u l (X, ||.||). ành ngh¾a 1.1.2 D¢y {xn } trong khæng gian ành chu©n X ÷ñc gåi l hëi tö y¸u tîi ph¦n tû x0 ∈ X , kþ hi»u l xn * x0 , n¸u vîi måi f ∈ X ∗ , khæng gian li¶n hñp cõa X , ta câ f (xn ) → f (x0 ) khi n → ∞. Nhªn x²t 1.1.3 Mët d¢y hëi tö m¤nh th¼ hëi tö y¸u, nh÷ng i·u ng÷ñc l¤i khæng óng. V½ dö, trong khæng gian Hilbert l2 ta l§y d¢y (e1 , e2 , . . . , en , . . . ) sao cho   1, khi i = j hei , ej i =  0, khi i 6= j. Khi â, vîi måi ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , . . . ) ∈ l2 ta câ hej , ϕi = ϕj . V¼ ϕ ∈ l2 n¶n lim ϕj = 0, tùc l d¢y (e1 , e2 , . . . , en , . . . ) hëi tö y¸u ¸n j→∞ √ ph¦n tû 0. Nh÷ng d¢y n y khæng hëi tö m¤nh v¼ kei − ej k = 2 vîi måi i kh¡c j , n¶n d¢y (e1 , e2 , . . . , en , . . . ) khæng ph£i l d¢y Cauchy trong l2 . Chó þ 1.1.4 Trong khæng gian ành chu©n X n¸u d¢y {xn } hëi tö m¤nh ¸n x0 th¼ xn * x0 v kxn k → kx0 k. ành ngh¾a 1.1.5 Khæng gian ành chu©n ¦y õ ÷ñc gåi l khæng gian Banach. Sau ¥y ta dòng kþ hi»u k.k cho chu©n trong X v X ∗ v vi¸t t½ch èi ng¨u hx∗ , xi thay cho gi¡ trà cõa phi¸m h m tuy¸n t½nh x∗ ∈ X ∗ t¤i iºm x ∈ X , tùc l hx∗ , xi = x∗ (x). V½ dö 1.1.6 C¡c khæng gian sau ¥y l khæng gian Banach: (i) khæng gian húu h¤n chi·u Rn vîi chu©n x¡c ành bði: n X 1 2 2 ||x||2 = |xi | , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ; i=1
6 (ii) khæng gian C[a, b] c¡c h m li¶n töc tr¶n o¤n [a, b] vîi chu©n x¡c ành bði: ||f || = sup {|f (x)|} , f ∈ C[a, b]. x∈[a,b] ành ngh¾a 1.1.7 Khæng gian Banach X ÷ñc gåi l ph£n x¤ n¸u vîi måi ph¦n tû x∗∗ ∈ X ∗∗ , khæng gian li¶n hñp thù hai cõa X , ·u tçn t¤i ph¦n tû x ∈ X sao cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ X ∗ . V½ dö 1.1.8 (i) Khæng gian Rn , khæng gian Hilbert H , khæng gian lp v Lp [a, b] vîi 1 < p < ∞ l c¡c khæng gian ph£n x¤. (ii) C¡c khæng gian l1 , L1 khæng ph£n x¤. ành lþ sau ¥y ÷ñc dòng cho chùng minh sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh ð Ch÷ìng 2. ành lþ 1.1.9 (xem [4]) Gi£ sû X l khæng gian Banach. Khi â, c¡c m»nh · sau l t÷ìng ÷ìng: (i) X l khæng gian ph£n x¤. (ii) Måi d¢y bà ch°n trong X ·u câ d¢y con hëi tö y¸u. ành ngh¾a 1.1.10 Khæng gian Banach X ÷ñc gåi l (i) lçi ch°t n¸u vîi måi x, y thuëc m°t c¦u ìn và SX cõa khæng gian Banach X , SX := x ∈ X : kxk = 1 , x 6= y , th¼ k(1 − λ)x + λyk < 1, λ ∈ (0, 1); (ii) lçi ·u n¸u vîi måi 0 < ε ≤ 2, kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 v kx − yk ≥ ε th¼ tçn t¤i δ = δ(ε) > 0 sao cho x + y 2 < 1 − δ. V½ dö 1.1.11 (i) Khæng gian Rn , n ≥ 2 vîi chu©n kxk2 ÷ñc x¡c ành nh÷ V½ dö 1.1.6(i) l khæng gian lçi ch°t.
7 (ii) Khæng gian Rn , n ≥ 2 vîi chu©n kxk1 x¡c ành bði kxk1 = |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , khæng ph£i l khæng gian lçi ch°t. (iii) Khæng gian lp , Lp [a, b] vîi 1 < p < ∞ l c¡c khæng gian lçi ·u. (iv) C¡c khæng gian l1 , L1 [a, b] khæng lçi ·u. ành ngh¾a 1.1.12 Khæng gian Banach ph£n x¤ X ÷ñc gåi l câ t½nh ch§t ES (EphimovStechkin) n¸u X lçi ch°t v vîi måi d¢y {xn } ⊂ X hëi tö y¸u ¸n x ∈ X (xn * x), kxn k → kxk th¼ d¢y {xn } hëi tö m¤nh ¸n x (xn → x). 1.1.2 To¡n tû trong khæng gian Banach Cho X v Y l c¡c khæng gian Banach. Trong luªn v«n n y ta x²t to¡n tû ìn trà A : X → Y vîi Mi·n x¡c ành: D(A) := x ∈ X | A(x) 6= ∅ . Mi·n gi¡ trà: R(A) := y ∈ Y | ∃x ∈ D(A) : A(x) = y . ç thà: Gr(A) := (x, y) ∈ X × Y : x ∈ D(A), y = A(x) . Trong tr÷íng hñp A l to¡n tû tuy¸n t½nh ta s³ vi¸t Ax thay cho A(x). Sau ¥y l kh¡i ni»m v· to¡n tû li¶n töc (xem [4]). ành ngh¾a 1.1.13 To¡n tû A : X → Y ÷ñc gåi l (i) li¶n töc t¤i x ∈ D(A) n¸u måi d¢y {xn } ⊂ D(A) v xn → x th¼ A(xn ) → A(x); (ii) li¶n töc theo tia hay hemi-li¶n töc t¤i x ∈ D(A) n¸u vîi måi y ∈ X , tn ∈ R sao cho x + tn y ∈ D(A) th¼ A(x + tn y) * A(x) khi tn → 0+ ; (iii) b¡n li¶n töc hay demi-li¶n töc t¤i x ∈ D(A) n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ D(A) v xn → x khi n → ∞ th¼ A(xn ) * A(x) khi n → ∞;
8 (v) li¶n töc Lipschitz tr¶n D(A) n¸u tçn t¤i h¬ng sè L > 0 sao cho vîi måi x, y ∈ D(A) ta câ kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk; (vi) ho n to n li¶n töc tr¶n tªp ω ⊂ D(A) n¸u A li¶n töc v compact tr¶n ω . Kþ hi»u tªp t§t c£ c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc A : X → Y l L(X, Y ). Nhªn x²t 1.1.14 (i) N¸u to¡n tû A li¶n töc Lipschitz th¼ nâ li¶n töc; n¸u to¡n tû A li¶n töc th¼ nâ demi-li¶n töc; n¸u to¡n tû A demi-li¶n töc th¼ nâ hemi-li¶n töc; chi·u ng÷ñc l¤i nâi chung khæng óng. (ii) N¸u to¡n tû A li¶n töc Lipschitz vîi L = 1 th¼ A l to¡n tû khæng gi¢n; n¸u L ∈ [0, 1) th¼ A l to¡n tû co. (iii) N¸u to¡n tû A l ho n to n li¶n töc trong khæng gian væ h¤n chi·u th¼ to¡n tû ng÷ñc cõa nâ nâi chung khæng li¶n töc. (vi) N¸u A l to¡n tû tuy¸n t½nh th¼ t½nh ho n to n li¶n töc v compact l t÷ìng ÷ìng. Sau ¥y l mët kh¡i ni»m li¶n quan ¸n t½nh b¡n âng hay demi-âng cõa ç thà ÷ñc dòng trong Ch÷ìng 2 (xem [4]). ành ngh¾a 1.1.15 (i) Tªp hñp G ⊂ X × Y ÷ñc gåi l b¡n âng hay demi-âng n¸u tø {(xn , yn )} ⊂ G çng thíi xn → x v yn * y ho°c xn * x v yn → y khi n → ∞ suy ra (x, y) ∈ G. (ii) To¡n tû A : X → Y ÷ñc gåi l demi-âng n¸u ç thà cõa nâ l tªp demi-âng trong X × Y . Nhªn x²t 1.1.16 ành ngh¾a 1.1.15 câ thº ph¡t biºu t÷ìng ÷ìng nh÷ sau: To¡n tû A : X → Y ÷ñc gåi l demi-âng t¤i x ∈ D(A) n¸u måi d¢y {xn } ⊂ D(A) m xn * x v A(xn ) → y ∈ Y ho°c xn → x v A(xn ) * y ∈ Y khi n → ∞ th¼ A(x) = y .
9 ành ngh¾a v mët sè t½nh ch§t cõa to¡n tû ìn i»u ÷ñc tr¼nh b y d÷îi ¥y (xem [4], [5]). ành ngh¾a 1.1.17 To¡n tû A : X → Y ÷ñc gåi l (i) ìn i»u n¸u hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 vîi måi x, y ∈ D(A); ìn i»u ch°t n¸u d§u "=" cõa b§t ¯ng thùc tr¶n ch¿ x£y ra khi x = y ; (ii) d-ìn i»u n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m d(t), khæng gi£m vîi t ≥ 0, d(0) = 0 v thäa m¢n t½nh ch§t hA(x)−A(y), x−yi ≥ d(kxk)−d(kyk) kxk−kyk ∀x, y ∈ D(A); (iii) ìn i»u ·u n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m δ(t), khæng gi£m vîi t ≥ 0, δ(0) = 0 v thäa m¢n t½nh ch§t hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk ∀x, y ∈ D(A); n¸u δ(t) = λt2 , λ l h¬ng sè d÷ìng, th¼ A ÷ñc gåi l to¡n tû λ-ìn i»u m¤nh; (iv) bùc n¸u hA(x), xi lim = +∞ ∀x ∈ D(A); kxk→+∞ kxk (v) th¸ n«ng n¸u A(x) l ¤o h m cõa phi¸m h m lçi ϕ(x), tùc l A(x) = ϕ0 (x). Kh¡i ni»m to¡n tû ìn i»u ÷ñc tr¼nh b y trong ành ngh¾a 1.1.17 cán ÷ñc mæ t£ düa tr¶n ç thà nh÷ sau. ành ngh¾a 1.1.18 To¡n tû A ÷ñc gåi l ìn i»u n¸u hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ 0 ∀(x, x∗ ), (y, y ∗ ) ∈ Gr(A). Trong tr÷íng hñp n y, ç thà Gr(A) cõa A ÷ñc gåi l tªp ìn i»u. N¸u Gr(A) khæng bà chùa thüc sü trong mët tªp ìn i»u kh¡c trong X × Y th¼ A ÷ñc gåi l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. Mët to¡n tû ìn i»u hemi-li¶n töc x¡c ành tr¶n to n khæng gian ho°c câ t½nh th¸ n«ng l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i.
10 ành lþ 1.1.19 (xem [5, ành lþ 1.4.6, H» qu£ 1.7.16]) (i) N¸u to¡n tû A : D(A) = X → X ∗ ìn i»u, hemi-li¶n töc th¼ A l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. (ii) N¸u A : X → X ∗ l to¡n tû ìn i»u v th¸ n«ng th¼ A l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. Bê · 1.1.20 (xem [5, M»nh · 1.4.3]) To¡n tû ìn i»u A : X → X ∗ l ìn i»u cüc ¤i tr¶n D(A) ⊆ X khi v ch¿ khi tø b§t ¯ng thùc hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ D(A), ta suy ra x0 ∈ D(A) v A(x0) = f . Sau ¥y l mët k¸t qu£ li¶n quan ¸n Bê · 1.1.20 cho tr÷íng hñp to¡n tû hemi-li¶n töc. Bê · 1.1.21 (xem [7], [12]) Cho X l mët khæng gian Banach thüc, X ∗ l khæng gian li¶n hñp cõa X , f ∈ X ∗ v A : X → X ∗ l mët to¡n tû hemi-li¶n töc. Khi â, n¸u tçn t¤i x0 ∈ X thäa m¢n b§t ¯ng thùc hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ X, th¼ A(x0) = f . N¸u A l to¡n tû ìn i»u tr¶n X th¼ i·u ki»n tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ X. Bê · tr¶n ÷ñc gåi l Bê · Minty, t¶n cõa nh to¡n håc Mÿ, ng÷íi ¢ chùng minh k¸t qu£ tr¶n trong tr÷íng hñp X l khæng gian Hilbert. Sau n y công ch½nh æng v Browder ¢ chùng minh mët c¡ch ëc lªp trong khæng gian Banach. ành lþ 1.1.22 (xem [5, H» qu£ 1.4.10]) N¸u to¡n tû A : X → X ∗ l ìn i»u cüc ¤i tr¶n D(A) th¼ tªp hñp c¡c ph¦n tû {x ∈ D(A) : f ∈ A(x)} vîi måi f ∈ R(A) l mët tªp lçi v âng trong X . Tø ành lþ tr¶n suy ra n¸u A : X → X ∗ l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i v ph÷ìng tr¼nh A(x) = f , f ∈ X ∗ câ nghi»m th¼ tªp nghi»m cõa nâ l tªp con lçi, âng trong X .
11 ành lþ 1.1.23 (xem [5, ành lþ 1.7.5, ành lþ 1.8.8]) (i) N¸u A : X → X ∗ l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i v bùc th¼ R(A) = X ∗. (ii) N¸u A : X → X ∗ l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i, B : X → X ∗ l to¡n tû ìn i»u, hemi-li¶n töc v bùc th¼ R(A + B) = X ∗. Tø ành lþ 1.1.23(i) ta suy ra n¸u to¡n tû A l ìn i»u cüc ¤i v bùc, th¼ ph÷ìng tr¼nh A(x) = f câ nghi»m vîi måi f ∈ X ∗ cho tr÷îc. T½nh ch§t tr¶n công câ thº ÷ñc ph¡t biºu l¤i nh÷ sau. ành lþ 1.1.24 (xem [5, ành lþ 1.7.5, Chó þ 1.7.10]) N¸u A : D(A) = X → X∗ l mët to¡n tû ìn i»u, hemi-li¶n töc v bùc tø khæng gian Banach thüc ph£n x¤ X v o X ∗ th¼ ph÷ìng tr¼nh to¡n tû A(x) = f câ nghi»m vîi måi f ∈ X ∗; Ngo i ra n¸u A l to¡n tû ìn i»u ch°t th¼ ph÷ìng tr¼nh A(x) = f câ nghi»m duy nh§t vîi måi f ∈ X ∗. ành ngh¾a 1.1.25 To¡n tû A : D(A) ⊆ X → Y ÷ñc gåi l (i) kh£ vi Fr²chet (kh£ vi m¤nh) t¤i x ∈ D(A) n¸u tçn t¤i to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc T ∈ L(X, Y ) sao cho vîi måi h ∈ X thäa m¢n x + h ∈ D(A) ta câ A(x + h) − A(x) = T h + r(x, h), ð ¥y kr(x, h)k/khk → 0 khi khk → 0. N¸u tçn t¤i th¼ T ÷ñc gåi l ¤o h m Fr²chet cõa A t¤i x v ta vi¸t A0 (x) = T . T÷ìng ùng A0 (x)h = T h ÷ñc gåi l vi ph¥n Fr²chet cõa to¡n tû A t¤i x. To¡n tû A ÷ñc gåi l kh£ vi Fr²chet n¸u nâ kh£ vi Fr²chet t¤i måi x ∈ D(A); (ii) kh£ vi G¥teaux (kh£ vi y¸u) t¤i x ∈ D(A) n¸u vîi måi h ∈ X , t ∈ R thäa m¢n x + th ∈ D(A), tçn t¤i giîi h¤n A(x + th) − A(x) lim = δA(x, h). t→0 t N¸u tçn t¤i to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc B ∈ L(X, Y ) sao cho δA(x, h) = Bh th¼ A0 (x) := B ÷ñc gåi l ¤o h m G¥teaux (¤o h m y¸u) cõa A t¤i x.
12 ¤o h m G¥teaux cõa mët h m lçi câ t½nh ch§t ìn i»u, â l nëi dung cõa m»nh · sau. M»nh · 1.1.26 (xem [8, M»nh · 5.5]) Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} l mët h m kh£ vi G¥teaux tr¶n X . Khi â, i·u ki»n c¦n v õ º h m ϕ lçi tr¶n X l ¤o h m G¥teaux ϕ0 cõa nâ l mët to¡n tû ìn i»u tø X v o X ∗. Nhªn x²t 1.1.27 To¡n tû kh£ vi Fr²chet th¼ kh£ vi G¥teaux v khi â ¤o h m m¤nh v y¸u tròng nhau. Ng÷ñc l¤i n¸u ¤o h m G¥teaux tçn t¤i v li¶n töc trong l¥n cªn cõa x ∈ D(A) th¼ ¤o h m y¸u tròng vîi ¤o h m m¤nh t¤i x. nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t J s ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau (xem [5]). ành ngh¾a 1.1.28 nh x¤ J s : X → 2X , s > 1 (nâi chung l a trà) ∗ x¡c ành bði J s (x) = {us ∈ X ∗ : hx, us i = kxkkus k, kus k = kxks−1 }, ÷ñc gåi l ¡nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t cõa khæng gian Banach X . Khi s = 2, ¡nh x¤ J 2 ÷ñc kþ hi»u l J v ÷ñc gåi l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc cõa X . Tùc l J(x) = {u ∈ X ∗ : hx, ui = kxkkuk, kuk = kxk}. nh x¤ èi ng¨u chu©n tc tçn t¤i trong måi khæng gian Banach. Trong khæng gian Hilbert H , ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc l ¡nh x¤ ìn và I . ành lþ 1.1.29 (xem [5, Bê · 1.5.4, 1.5.5]) Gi£ sû X l khæng gian Banach thüc, J l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc cõa X . Khi â, (i) J(0) = {0}; (ii) J l to¡n tû ìn i»u v bùc; (iii) N¸u X ∗ lçi ch°t th¼ J ìn trà;
13 (iv) N¸u X lçi ch°t th¼ J ìn i»u ch°t; (iii) N¸u X ph£n x¤ v X ∗ lçi ch°t th¼ J demi-li¶n töc. ành lþ 1.1.30 (xem [5, ành lþ 1.7.13]) Gi£ sû A : X → X ∗ l to¡n tû ìn i»u, J : X → X ∗ l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc cõa X . Khi â, A l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i n¸u v ch¿ n¸u vîi måi α > 0, R(A + αJ) l to n bë khæng gian X ∗. Tø ành lþ 1.1.30 ta th§y n¸u A : X → X ∗ l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i th¼ vîi méi α > 0 ph÷ìng tr¼nh A(x) + αJ(x) = f câ nghi»m vîi måi f ∈ X ∗ (xem [5, H» qu£ 1.8.9]). Ta công câ mèi li¶n h» giúa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i v t½nh demi- âng nh÷ sau. Bê · 1.1.31 (xem [5, Bê · 1.4.5, ành lþ 1.4.7]) (i) ç thà cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i A : X → X ∗ l demi-âng. (ii) N¸u to¡n tû A : D(A) = X → X ∗ l ìn i»u v demi-âng th¼ A l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. D÷îi ¥y l kh¡i ni»m v v½ dö v· to¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh (xem [11]). ành ngh¾a 1.1.32 To¡n tû A : X → X ∗ ÷ñc gåi l λ-ng÷ñc ìn i»u m¤nh n¸u tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng λ sao cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ λkA(x) − A(y)k2 ∀x, y ∈ X. Nhªn x²t 1.1.33 (xem [11]) (i) To¡n tû A : X → X ∗ ng÷ñc ìn i»u m¤nh khi v ch¿ khi to¡n tû ng÷ñc cõa nâ (theo ngh¾a a trà) l ìn i»u m¤nh. (ii) Måi to¡n tû λ-ng÷ñc ìn i»u m¤nh l to¡n tû ìn i»u v li¶n töc Lipschitz vîi h¬ng sè Lipschitz L = 1/λ.
14 (iii) Måi to¡n tû λ-ng÷ñc ìn i»u m¤nh ·u l to¡n tû b¡n âng. Thªt vªy, gi£ sû xn * x, xn , x ∈ D(A) v A(xn ) → y . Tø t½nh λ-ng÷ñc ìn i»u m¤nh cõa to¡n tû A suy ra λkA(xn ) − A(x)k2 ≤ hA(xn ) − A(x), xn − xi = hA(xn ) − y, xn − xi − hA(x) − y, xn − xi → 0, khi n → ∞. Chó þ 1.1.34 To¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh xu§t hi»n nhi·u trong thüc t¸ (xem [11, V½ dö 1, V½ dö 2]: (i) Måi to¡n tû tuy¸n t½nh A : H → H trong khæng gian Hilbert thüc H tü li¶n hñp, ho n to n li¶n töc v x¡c ành khæng ¥m l to¡n tû 1 λ-ng÷ñc ìn i»u m¤nh, trong â l gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t cõa λ to¡n tû A. (ii) Ph²p chi¸u m¶tric PC chi¸u khæng gian Hilbert thüc H l¶n tªp con lçi âng C cõa H v to¡n tû A := I − PC l 1-ng÷ñc ìn i»u m¤nh. Chó þ r¬ng, c¡c to¡n tû n y khæng ìn i»u m¤nh trø khi C = H . (iii) N¸u F : X → R l mët phi¸m h m lçi, kh£ vi li¶n töc theo Fr²chet 1 trong khæng gian Banach X v gradient ∇F cõa nâ l -li¶n töc λ Lipschitz, th¼ ∇F l to¡n tû λ-ng÷ñc ìn i»u m¤nh. V½ dö 1.1.35 X²t to¡n tû A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] x¡c ành bði Z 1 (Ax)(t) = K(t, s) x(s) ds, 0 ð ¥y K(t, s) l nh¥n t½ch ph¥n, gi£ thi¸t li¶n töc v èi xùng trong h¼nh vuæng Ω := [0, 1] × [0, 1]. Khi â to¡n tû t½ch ph¥n A ÷ñc x¡c ành nh÷ tr¶n l tü li¶n hñp v compact (xem [3]). N¸u to¡n tû A x¡c ành khæng ¥m, tùc l Z 1Z 1 hAx, xi = K(t, s) x(t) x(s)dt ds ≥ 0 vîi måi x ∈ L2 [0, 1], 0 0 th¼ A l to¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh.
15 1.1.3 B i to¡n °t khæng ch¿nh Ta x²t b i to¡n ð d¤ng ph÷ìng tr¼nh to¡n tû trong khæng gian Banach X : vîi f ∈ X ∗ , khæng gian li¶n hñp cõa X , cho tr÷îc, t¼m ph¦n tû x∗ ∈ X thäa m¢n A(x∗ ) = f, (1.1) ð ¥y A : X → X ∗ l mët to¡n tû tø khæng gian Banach X v o khæng gian li¶n hñp X ∗ cõa X . Kh¡i ni»m b i to¡n °t ch¿nh ÷ñc Hadamard ÷a ra v o ¦u th¸ k XX nh÷ sau (xem [1] v t i li»u ÷ñc tr½ch d¨n trong â). ành ngh¾a 1.1.36 B i to¡n (1.1) ÷ñc gåi l b i to¡n °t ch¿nh n¸u (i) ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ nghi»m vîi måi f ∈ X ∗ ; (ii) nghi»m n y l duy nh§t; (iii) nghi»m phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n ban ¦u. ành ngh¾a 1.1.37 N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n trong ành ngh¾a 1.1.36 khæng thäa m¢n th¼ b i to¡n (1.1) ÷ñc gåi l b i to¡n °t khæng ch¿nh. Chó þ 1.1.38 (a) èi vîi h¦u h¸t c¡c b i to¡n phi tuy¸n th¼ i·u ki»n (ii) cõa ành ngh¾a 1.1.36 g¦n nh÷ khæng thäa m¢n. Hìn núa, i·u ki»n (iii) công khâ thüc hi»n ÷ñc. (b) Trong luªn v«n n y ta s³ x²t b i to¡n °t khæng ch¿nh trong tr÷íng hñp khæng duy nh§t nghi»m v nghi»m khæng phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n ban ¦u. V¼ t½nh khæng duy nh§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh to¡n tû °t khæng ch¿nh (1.1), n¶n ta c¦n ph£i câ mët ti¶u chu©n cho sü lüa chån cõa nghi»m. C¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn v«n s³ sû döng nghi»m x0 câ x∗ -chu©n nhä nh§t, ngh¾a l ta t¼m nghi»m x0 ∈ S , tªp nghi»m cõa b i to¡n (1.1), thäa m¢n kx0 − x∗ k = min kx − x∗ k : A(x) = f . (1.2)
16 Ph¦n tû x∗ âng vai trá nh÷ mët ti¶u chu©n cho sü lüa chån nghi»m. B¬ng c¡ch chån x∗ ta câ thº câ ÷ñc nghi»m m ta mong muèn. 1.1.4 V½ dö v· b i to¡n °t khæng ch¿nh Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredholm tuy¸n t½nh lo¤i mët l b i to¡n °t khæng ch¿nh. Kh¯ng ành n y ÷ñc tr¼nh b y trong v½ dö sau ¥y. V½ dö 1.1.39 (xem [1]) B i to¡n t¼m nghi»m x0 (s) cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredholm tuy¸n t½nh lo¤i mët câ d¤ng Z 1 K(t, s) x0 (s) ds = f0 (t), (1.3) 0 ð ¥y f0 (t) l h m li¶n töc cho tr÷îc trong khæng gian L2 [0, 1]. Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredholm tuy¸n t½nh lo¤i mët (1.3) l b i to¡n °t khæng ch¿nh. Thªt vªy, gi£ sû ph÷ìng tr¼nh (1.3) câ nghi»m x0 (s). Khi â, vîi v¸ ph£i Z 1 f1 (t) = f0 (t) + N K(t, s) sin(ωs)ds, 0 ph÷ìng tr¼nh (1.3) câ nghi»m x1 (s) = x0 (s) + N sin(ωs). Vîi N b§t ký v ω õ lîn th¼ kho£ng c¡ch giúa hai h m f0 v f1 trong L2 [0, 1] l Z 1Z 1 2 12 ρL2 [0,1] (f0 , f1 ) = |N | K(t, s) sin(ωs)ds dt , (1.4) 0 0 câ thº l m nhä tòy þ. Thªt vªy, cho tr÷îc ε > 0, tçn t¤i Kε (t, s) ∈ C 1 (Ω), Ω := [0, 1] × [0, 1], sao cho ε kKε − KkC 1 ≤ . 2N Hìn núa, do nh¥n Kε (t, s) kh£ vi li¶n töc tr¶n mi·n Ω, n¶n tçn t¤i Mε > 0, sao cho ∂K ε 2kKε k∞ + ≤ Mε ∂s ∞