Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh (1) trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu trong không gian Hilbert: trình bày sự hội tụ của phương pháp, nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và trình bày ví dụ minh họa. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- LÊ THỊ THANH TÂM TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- LÊ THỊ THANH TÂM TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2016
i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Chương 1. Phương trình toán tử đặt không chỉnh 3 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert . . . . . . . 11 1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Khái niệm và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . 16 1.2.2 Toán tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và tốc độ hội tụ 22 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 Mô tả phương pháp và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Tốc độ hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39
ii Bảng ký hiệu R tập số thực H không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu của X C tập con đóng lồi của H A toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert dom(A) miền hữu hiệu của toán tử A hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y kxk chuẩn của vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn * x xn hội tụ yếu đến x I ánh xạ đơn vị
1 Mở đầu Đề tài luận văn nghiên cứu phương trình toán tử dạng: A(x) = f , (1) ở đây, A là một toán tử đơn điệu từ không gian Hilbert thực X vào không gian Hilbert thực X, f là phần tử của X. Nếu không có các điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử A, chẳng hạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, thì bài toán (1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh. Trong bài toán này, thay cho các dữ kiện chính xác {A, f } thì ta chỉ biết các xấp xỉ {Ah , fδ } của chúng. Giả sử xδ là nghiệm của (1) với f thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x0 -nghiệm chính xác của bài toán. Có rất nhiều phương pháp khác nhau để tìm lời giải cho bài toán này, một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh (1) trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu trong không gian Hilbert: trình bày sự hội tụ của phương pháp, nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và trình bày ví dụ minh họa. Nội dung của đề tài được viết trong hai chương. Chương 1 có tiêu đề "Phương trình toán tử đặt không chỉnh" trình bày khái niệm về không gian Hilbert thực và một số tính chất; giới thiệu về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert và khái niệm phương trình toán tử đặt không chỉnh trong không gian Hilbert cùng một số ví dụ. Chương 2 có tiêu đề "Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và tốc độ hội tụ" trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh
2 phi tuyến trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu; trình bày tốc độ hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh và ví dụ số minh họa. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K8B (khóa 2014–2016); Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8B (khóa 2014–2016) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả khi học tập và nghiên cứu. Tác giả Lê Thị Thanh Tâm
3 Chương 1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh Chương này giới thiệu khái niệm và ví dụ về phương trình toán tử đặt không chỉnh. Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu về không gian Hilbert thực và một số tính chất của không gian Hilbert; trình bày định nghĩa toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Mục 1.2 trình bày khái niệm và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh; nêu khái niệm về toán tử hiệu chỉnh và ví dụ. Các kiến thức của chương này được viết trên cơ sở tổng hợp các tài liệu [1], [3] và [4]. 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 1.1.1. Một tập X được gọi là không gian tuyến tính trên R nếu với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X, một phần tử của X, ta gọi là tổng của x và y, ký hiệu là x + y; với mỗi α ∈ R và x ∈ X, một phần tử của X, gọi là tích của α và x, ký hiệu là αx thỏa mãn các điều kiện sau: (1) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X (tính chất giao hoán); (2) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp); (3) tồn tại phần tử không của X, ký hiệu 0, sao cho: x + 0 = 0 + x với mọi x ∈ X; (4) với mọi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x, ký hiệu là −x, sao cho x+(−x) = 0 với mọi x ∈ X;
4 (5) 1 · x = x · 1 = x, với mọi x ∈ X (1 là phần tử đơn vị); (6) α(β x) = (αβ )x, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X; (7) (α + β )x = αx + β x), với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X; (8) α(x + y) = αx + αy), với mọi α ∈ R, với mọi x, y ∈ X. Định nghĩa 1.1.2. Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực R. Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu là h., .i, thỏa mãn các điều kiện sau: (1) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H; (2) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H; (3) hαx, yi = αhx, yi với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R; (4) hx, xi > 0 nếu x 6= 0 và hx, xi = 0 nếu x = 0. Nhận xét 1.1.3. Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra (1) hx, αyi = αhy, xi với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R; (2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với mọi x, y, z ∈ H. Định nghĩa 1.1.4. Không gian tuyến tính H cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là một không gian tiền Hilbert. Định lý 1.1.5. (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau: |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi. (1.1) Chứng minh. Với mọi số thực α và với mọi x, y ∈ H ta có 0 ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α 2 hy, yi. Từ đây suy ra ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ 0 với mọi x, y ∈ H.
5 Hay |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi với mọi x, y ∈ H. Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính. Định lý 1.1.6. Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác định bởi p kxk = hx, xi với mọi x ∈ H. (1.2) Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng. Chứng minh. Thật vậy, từ điều kiện (4) của Định nghĩa 1.1.2 ta có kxk > 0 nếu x 6= 0 và kxk = 0 nếu x = 0 với x ∈ H. Từ điều kiện (1) và (3) của Định nghĩa 1.1.2, ta suy ra kαxk = |α|.kxk với mọi α ∈ R và mọi x ∈ H. Từ bất đẳng thức Schwarz và cách định nghĩa chuẩn, ta có |hx, yi| ≤ kxk.kyk với mọi x, y ∈ H. (1.3) Từ đó với mọi x, y ∈ H ta có hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi 2 ≤ kxk2 + 2kxk.kyk + kyk2 = kxk + kyk . Suy ra kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ H. Định nghĩa 1.1.7. Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.2) thì H được gọi là không gian Hilbert thực. Ví dụ 1.1.8. Không gian n ∞ o 2 2 l = x = {xn }n ∈ R : ∑ |xn| < +∞ n=1
6 là không gian Hilbert với tích vô hướng ∞ hx, yi = ∑ xnyn, x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l 2 n=1 và chuẩn s ∞ ∞ 1 2 2 p kxk = hx, xi = ∑ |xn |2 = ∑ |xn| . n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9. Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng Zb (x, y) = x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] a và chuẩn Zb !1 2 2 kxk = |x(t)| dt . a Ví dụ 1.1.10. Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R. Trong C[a, b], xét tích vô hướng Z b hx, yi = x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b]. a Không gian C[a, b] với chuẩn Z b 1 2 2 kxk = |x(t)| dt a là không gian tiền Hilbert, nhưng không phải là không gian Hilbert. Định lý 1.1.11. Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N là hai dãy lần lượt hội tụ mạnh đến x0 , y0 trong không gian tiền Hilbert thực H. Khi đó, lim hxn , yn i = hx0 , y0 i. n→∞ Chứng minh. Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 trong không gian Hilbert H. n→∞ n→∞
7 Ta sẽ chứng minh lim hxn , yn i = hx0 , y0 i trong R. n→∞ Thật vậy, |hxn , yn i − hx0 , y0 i| = |hxn , yn i + hxn , y0 i − hxn , y0 i − hx0 , y0 i| ≤ |hxn , yn − y0 i| + |hxn − x0 , y0 i| ≤ kxn k.kyn − y0 k + kxn − x0 k.ky0 k. Vì dãy {xn }n∈N hội tụ trong H nên tồn tại một số M > 0 sao cho kxn k ≤ M với mọi n ∈ N. Do đó, lim hxn , yn i = hx0 , y0 i. n→∞ Nhận xét 1.1.12. Tích vô hướng là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục trên H × H. Định lý 1.1.13. Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H, ta luôn có đẳng thức hình bình hành sau: 2 2 2 2 kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk . Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H ta có kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi. và kx − yk2 = hx − y, x − yi = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi. Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh. Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x − y và x − z ta có hệ quả sau. Hệ quả 1.1.14. Cho H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi đó, ta
8 có đẳng thức Apollonius: 2 2 2 y + z + ky − zk2 . 2 kx − yk + kx − zk = 4 x − 2 Nhận xét 1.1.15. (Ý nghĩa của đẳng thức hình bình hành) (1) Đẳng thức trên nói lên một tính chất hình học: Tổng bình phương các cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo. (2) Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành. Ngược lại, nếu H là một không gian định chuẩn trong đó đẳng thức hình bình hành được thỏa mãn với mọi phần tử thuộc H thì trên H sẽ tồn tại một tích vô hướng h., .i sao cho chuẩn được xác định nhờ tích vô hướng. Điều này được thể hiện qua định lý sau. Định lý 1.1.16. Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H. Nếu đặt 1 2 2 hx, yi = kx + yk − kx − yk , (1.4) 4 thì h., .i là một tích vô hướng trên H và ta có hx, xi = kxk2 . Chứng minh. Ta chứng minh h., .i xác định như trên thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa về tích vô hướng. Thật vậy, các điều kiện (1) và (4) trong Định nghĩa 1.1.2 hiển nhiên được thỏa mãn. Đặt 1 2 2 p(x, y) = kx + yk − kx − yk . 4 Để ý rằng, h., .i : H × H −→ R là một hàm liên tục và p(x, 0) = 0, p(−x, y) = −p(x, y) ∀x, y ∈ H.
9 Với mọi x, y, z ∈ H ta có 4 (p(x, z) + p(y, z)) = kx + zk2 − kx − zk2 + ky + zk2 − ky − zk2 x+y ⇔ p(x, z) + p(y, z) = 2p ,z . (1.5) 2 Trong đẳng thức (1.5) lấy y = 0 được x p(x, z) = 2p , z . (1.6) 2 Như vậy ta có x+y 2p , z = p(x + y, z). 2 Nghĩa là p(x, z) + p(y, z) = p(x + y, z). Vậy điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.1.2 được chứng minh. Thay thế x bằng 2x trong (1.6) ta được 2p(x, z) = p(2x, z), ∀x, y, z ∈ H. Bằng quy nạp ta kiểm tra được p(nx, z) = np(x, z), ∀n ∈ N và bằng lập luận như trên ta có p(rx, z) = rp(x, z), ∀r ∈ Q và x, z ∈ H. Nhờ tính liên tục của chuẩn ||.|| suy ra hàm p(., z) liên tục, qua giới hạn ta có p(ax, z) = ap(x, z), ∀x, z ∈ H và a ∈ R. Vậy p(x, y) là một tích vô hướng trên H và hiển nhiên hx, xi = p(x, x) = kxk2 .
10 Định lý được chứng minh. Định nghĩa 1.1.17. (i) Dãy {xn }∞ n=1 trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu lim hxn , yi = hx, yi với mọi y ∈ H. n→∞ (ii) Dãy {xn }∞ n=1 được gọi là hội tụ mạnh đến x ∈ H nếu lim kxn − xk = 0. n→∞ Ký hiệu xn * x chỉ sự hội tụ yếu, xn → x chỉ sự hội tụ mạnh của dãy {xn } đến phần tử x ∈ H. Chú ý 1.1.18. (1) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng. (2) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec–Klee, tức là nếu dãy {xn } trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện kxn k → kxk và xn * x, thì xn → x khi n → ∞. Chứng minh. Thật vậy, trong không gian Hilbert nếu xn * x0 và kxn k → kx0 k thì xn → x0 . Với mọi x, ta có kxn − x0 k2 = hxn − x0 , xn − x0 i = kxn k2 − hx0 , xn i − hxn , x0 i + kx0 k2 . Từ giả thiết suy ra lim kxn k2 = kx0 k2 , lim hxn , x0 i = kx0 k2 , lim hx0 , xn i = kx0 k2 . x→∞ x→∞ x→∞ Do đó lim kxn − x0 k2 = kx0 k2 . x→∞
11 1.1.2 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.19. Cho hai không gian tuyến tính X và Y . Một ánh xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu: (i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 với mọi x1 , x2 ∈ X; (ii) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X và mọi α ∈ R. Chú ý 1.1.20. (1) Điều kiện (i) và (ii) trong Định nghĩa 1.1.19 tương đương với: A(α1 x1 + α2 x2 + ... + αk xk ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 + ... + αk Axk với mọi xi ∈ X với mọi αi ∈ R, i = 1, . . . , k. (2) Nếu Y ≡ X thì ta cũng nói A là toán tử trong X. Ký hiệu R(A) là miền giá trị của toán tử A, tức là tập hợp các phần tử y ∈ Y sao cho y = Ax với một x ∈ X nào đó. Nếu y1 , y2 ∈ R(A) thì α1 y1 +α2 y2 ∈ R(A) với mọi α1 , α2 ∈ R nên R(A) là một không gian con của Y . Định nghĩa 1.1.21. Một toán tử A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn (giới nội), nghĩa là tồn tại một hằng số dương K sao cho: kAxk ≤ K kxk ∀x ∈ X. Định lý 1.1.22. Một toán tử A từ X vào Y được gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số K > 0 sao cho: kAxk kAk = sup = sup kAxk ≤ K. x6=0 kxk kxk=1 Ký hiệu mặt cầu tâm a bán kính r > 0 trong không gian X là S(a, r), nghĩa là S(a, r) = {x ∈ X : kx − ak = r}.
12 Hệ quả 1.1.23. Toán tử tuyến tính A bị chặn (liên tục) nếu tập các trị của nó trên một mặt cầu (tùy ý) bị chặn. Chứng minh. Thật vậy, giả sử kAxk ≤ N với mọi x ∈ S(x0 , α). Khi đó, với mọi x mà kxk = 1 thì αx+x0 ∈ S, cho nên A(αx+x0 ) ≤ N, và do đó kαAx + Ax0 k ≤ N hay α kAxk ≤ N + kAx0 k . Từ đó suy ra kAxk ≤ (N + kAx0 k)/α. Vậy theo Định lý 1.1.22 ta có: kAxk sup = sup kAxk ≤ K, x6=0 kxk kxk=1 với K = (N + kAx0 k)/α. Ví dụ 1.1.24. Toán tử A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] xác định bởi Z 1 (Ax)(t) = x(s)ds, t ∈ [0, 1] 0 là toán tử tuyến tính liên tục. Thật vậy, áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2  2 Zt Z 1 Z1 x(s)ds ≤  |x(s)| ds ≤ |x(s)|2 ds = kxk2 , 0 0 0 với mọi t ∈ [0, 1]. Do đó
2 Z1
Zt