Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
Chöông IV
BIEÅU DIEÃN TÍN HIEÄU VAØ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC TRONG MIEÀN TAÀN SOÁ RÔØI RAÏC
4.1 Môû Ñaàu
Trong chöông ba, chuùng ta ñaõ nghieân cöùu caùch bieåu dieãn tín hieäu vaø heä thoáng rôøi raïc trong mieàn taàn soá lieân tuïc ω (hoaëc f). Chuùng ta söû duïng bieán ñoåi Fourier ñoái vôùi tín hieäu rôøi raïc ñeå chuyeån tín hieäu vaø heä thoáng rôøi raïc töø mieàn bieán soá n sang mieàn taàn soá lieân tuïc ω. Vieäc nghieân cöùu trong mieàn ω raát thuaän lôïi cho vieäc phaân tích vaø toång hôïp caùc heä thoáng soá, ñaëc bieät ñoái vôùi caùc boä loïc soá maø chuùng ta seõ xeùt sau.
Nhö vaäy, chuùng ta ñaõ nghieân cöùu vieäc bieåu dieãn tín hieäu ôû ba mieàn : Mieàn bieán soá, mieàn Z, vaø mieàn ω. Trong moãi mieàn ñeàu coù nhöõng thuaän lôïi rieâng cuûa noù vaø giöõa caùc mieàn cuõng coù söï lieân heä vôùi nhau, hình 4.1 cho ta sô ñoà chuyeån ñoåi giöõa caùc mieàn vaø söï lieân heä giöõa chuùng vôùi nhau.
Trong chöông 4 naøy, chuùng ta seõ nghieân cöùu caùch bieåu dieãn tín hieäu vaø heä thoáng rôøi raïc trong mieàn taàn soá rôøi raïc ωk (ñeå ngaén goïn ta goïi laø k). Thöïc chaát cuûa caùch bieåu dieãn naøy laø laáy töøng ñieåm rôøi raïc treân voøng troøn ñôn vò trong maët phaúng Z ñeå bieåu dieãn. Ñeå chuyeån caùch bieåu dieãn tín hieäu vaø heä thoáng rôøi raïc sang mieàn taàn soá rôøi raïc, chuùng ta seõ duøng coâng cuï toaùn hoïc goïi laø bieán ñoåi Fourier rôøi raïc (Discrete Fourier Transform: DFT). Vieäc bieåu dieãn trong mieàn taàn soá rôøi raïc coù hieäu quaû khi duøng thuaät toaùn tính nhanh cho DFT, coøn goïi laø pheùp bieán ñoåi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform : FFT).
Mieàn Z
Mieàn n
Mieàn k
Mieàn ω
Hình 4.1
4.2. Bieán Ñoåi Fourier Rôøi Raïc Ñoái Vôùi Caùc Tín Hieäu Tuaàn Hoaøn Coù Chu
Kyø N
4.2.1 Ñònh Nghóa
a. Toång quan
)(~ nx
)
Giaû söû chuùng ta coù daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N laø lNnx +
(~)(~ nx =
. Chuùng ta coù theå vieát nhö sau : (4.1)
121
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
)(~ nx
ôû ñaây j laø soá nguyeân. Hình 4.2 cho moät ví duï veà daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N = 4.
n
4−
0 4 8
.
Ta thaáy raèng moät daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi moät chuoãi Fourier, töùc laø bôûi moät toång cuûa caùc daõy sin vaø cosin hoaëc bôûi toång caùc daõy haøm muõ phöùc coù taàn soá cô baûn π2 N
Giaû söû chuùng ta coù daõy haøm muõ phöùc nhö sau :
j
kn .
2 π N
e
k
,...,1,0
(
N
)1
=
=
−
(4.2)
ne )( k
ta bieát raèng :
e0(n) = e0 = 1
j
Nn .
j
2 n π
2 π N
e
n )(
e
e
1
=
=
=
N
vaäy
e0(n) = eN(n)
töông töï ta coù
e1(n) = eN+1(n) e2(n) = eN+2(n) e3(n) = eN+3(n) …
)(~ nx
Nhö vaäy chuùng ta coù theå bieåu dieãn daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N laø
döôùi daïng
sau ñaây :
N
1 −
j
kn .
2 π N
Hình 4.2
(4.3)
k
0
=
laø daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N, heä soá 1/N trong coâng thöùc (4.3) duøng ñeå tính
döôùi daïng goïn hôn.
~ kX )(
~ ôû ñaây kX )( ~ toaùn kX )( Baây giôø chuùng ta tieán haønh tính
.
j
. nm
−
2π N
e
Nhaân caû hai veá cuûa bieåu thöùc (4.3) vôùi : Ta coù :
N
1 −
j
. nm
j
. kn
j
. nm
−
−
2 π N
2 π N
2 π N
)(~ enx
~ ekX )(
. e
1 ∑= N
0
k
=
sau ñoù laáy toång theo n töø 0 ñeán (N-1) ta coù :
k ,...,1,0 ( N )1 )(~ nx ~ ekX )( = − 1 = ∑ N
122
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
N
N
N
1 −
1 −
1 −
j
. nm
j
(
nmk
).
−
−
2 π N
2 π N
)(~ enx
~ )( ekX
=
∑
∑∑
1 N
n
0
k
0
=
=
n 0 = ñoåi thöù töï cuûa hai toång ta coù :
N
N
N
1 −
1 −
1 −
j
j
nmk
nm .
(
).
−
−
2 π N
2 π N
~ kX
e
)(~ enx
[)(
]
=
∑
∑
∑
1 N
k
n
n
0
0
0
=
=
=
ta bieát raèng
1N −
r.n
j
lN
2 π N
e
=
vôùi
l : soá nguyeân
(4.4)
∑
r, = r, coøn laïi
0n =
N 0
vaäy ta coù :
1N −
j
n)mk( −
lN
2 π N
e
=
vôùi
l : soá nguyeân
∑
)mk(,N = )mk(,0 coøn laïi
− −
1 N
0n =
Neáu ta laáy giaù trò l = 0 thì k = m Vaäy ta coù
N
N
1 −
1 −
j
nmk
(
).
−
2 π N
[)(
)
]
~ kX
e
~ mX (
=
∑
∑
1 N
k
n
0
0
=
=
Vaäy
N
1 −
j
. nk
2 π N
)
~ mX (
)(~ enx
=
(4.5)
∑
1 N
n
0
=
trong mieàn phöùc (4.5) laø moät daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N, töùc laø :
Chuù yù raèng
=
~ )N(X ~ )1N(X
−
=
~ kX )( ~ )0(X ~ )1(X ...
~ kX )(
Chuùng ta seõ laáy caùch bieåu dieãn
trong bieåu thöùc (4.5) ñeå laøm ñònh nghóa cho
bieán ñoåi Fourier rôøi raïc cuûa daõy tuaàn hoaøn.
b. Ñònh nghóa bieán ñoåi Fourier rôøi raïc
)(~ nx
Bieán ñoåi Fourier rôøi raïc cuûa caùc daõy tuaàn hoaøn
coù chu kyø N ñöôïc ñònh nghóa
nhö sau :
N
1 −
j
. nk
−
2 π N
~ kX )(
)(~ enx
(4.6)
∑=
n
0
=
Neáu chuùng ta ñaët :
j
−
π2 N
W
e
=
N
Ta coù vieát :
kn
j
−
kn
2 π N
W
e
=
(
)
n
123
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
j
kn
−
π2 N
W
e
=
hay
(4.7a)
kn N
1
−
kn
j
−
1 −
luyõ thöøa hai veá phöông trình (4.7a) cho muõ (-1), suy ra 2 π N
e
=
( W
)
kn N
j
kn
π2 N
W
e
hay laø
(4.7b)
kn =− N
Vaäy ta coù theå vieát laïi bieåu thöùc cuûa bieán ñoåi Fourier rôøi raïc (4.7) nhö sau :
N
1 −
~ kX )(
)(~ Wnx
=
(4.8)
kn N
∑
n
0
=
Ta kyù hieäu bieán ñoåi Fourier rôøi raïc laø DFT vaø kyù hieäu toaùn töû nhö sau :
(~[ nx
)]
=
DFT )(~ nx
~ kX )( ~ kX )(
DFT →
hoaëc
Ví du ï4.1 :
Cho daõy tuaàn hoaøn
)(~ nx
=
; vôùi chu kyø N = 10
)(~ nx 0 5
nhö sau : n 4 ≤≤ n 9 ≤≤
1 0
~ kX )(
Haõy tìm
.
)(~ nx
n
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
cho treân hình 4.3
Hình 4.3
Giaûi : )(~ nx Daïng Ta coù theå vieát :
)10.
(~)(~ nx =
lnx +
)10.
lnx +
aùp duïng bieåu thöùc (4.6) ta coù : (~)(~ Ta coù theå vieát : nx =
j
k
−
π 2
5
j
k
−
4
4
2 π 10
j
kn
−
2 π 10
kn 10
∑
∑
j
k
j
k
−
−
n
0
0
n
=
=
2 π 10
π 10
j e 2 sin e 1 − e ~ kX )( )(~ Wnx = = = =
e j e 2 sin 1 − k π 2 k π 10
124
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
j
k
kj π
−
−
4 10
4 π 10
sin sin k k ~ )( kX e 5 e = =
sin sin k k π 2 π 10 ππ / k 2 2 ππ / k 10 10
ñaët
sin k 5 ~ )( kA =
Ta coù
j
k
−
j
arg[
(~ kx
)]
k )(
j ϕ
4 π 10
~ kX )(
e
~ kA )(
~ ekX )(
~ ekX )(
=
=
=
arg[
~ kX (
)]
k ≡ϕ )(
ôû ñaây
Caàn chuù yù raèng A(k) laø thöïc, nhöng coù theå aâm hoaëc döông, vaäy ta coù haøm daáu
cuûa A(k) laø :
Sgn [
~ kA (
)]
=
~ kA )( ~ kA )(
1
,
0
>
Sgn [
kA (
)]
=
1
~ kA )( ~ kA )(
,
0
−
<
Vaäy ta coù :
sin k ππ / k 2 2 ππ / k 10 10
~ kA )( ~ kX )( =
~ kX )(
)(kϕ
Trong hình 4.4 cho ta ñoà thò cuûa
vaøo
~ )k(X
k
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1{ Sng [ kA ( )]} k )( ϕ −= − 4 ππ k + 10 2
Hình 4.4a
125
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
)(kϕ
π
k
4π 10
Hình 4.4b
c. Ñònh nghóa bieán ñoåi Fourier rôøi raïc ngöôïc
N
1 −
. nk
j
Bieán ñoåi Fourier rôøi raïc ngöôïc ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : 2 π N
)(~ nx
~ ekX )(
=
(4.9)
∑
1 N
n
0
=
hoaëc
N
1 −
kn
)(~ nx
~ WkX )(
− N
1 ∑= N
0
n
=
)(~ nx
coù chu kyø N bôûi toång caùc daõy haøm
nhö vaäy ta ñaõ laáy caùch bieåu dieãn daõy tuaàn hoaøn muõ laøm ñònh nghóa cho bieán ñoåi Fourier rôøi raïc ngöôïc.
Chuùng ta kyù hieäu bieán ñoåi Fourier rôøi raïc ngöôïc laø IDFT (Inverse Discrete
Fourier Transform) vaø ta kyù hieäu toaùn töû sau :
IDFT
[
~ kX (
)]
)(~ nx
=
~ kX )(
)(~ nx
IDFT →
hoaëc
chuù yù raèng, trong nhöõng tröôøng hôïp caàn nhaán maïnh chu kyø cuûa daõy tuaàn hoaøn ta duøng kyù hieäu sau :
vaø
~ NkX )(
)(~ Nnx
töùc laø daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N.
d. Baûn chaát cuûa DFT
DFT baûn chaát laø bieán ñoåi phöùc bôûi vì :
126
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
N
N
N
1 −
1 −
1 −
)(~ Wnx
)(~ nx
cos
kn
j
sin)(~ nx
kn
~ kX )(
=
−
=
kn N
∑
∑
2 π N
2 π N
n
n
0
0
0
=
=
∑ n = ~ kA )(
~ kBj )(
=
+
ôû ñaây
N
1 −
kn
~ kA )(
)(~ nx
cos
=
∑
n
0 = N
1 −
kn
~ kB )(
sin)(~ nx
−=
∑
2 π N 2 π N
n
0
=
~ kA )( ~ kB )(
: Goïi laø bieán ñoåi cosin. : Goïi laø bieán ñoåi sin.
4.2.2 Tính Chaát Cuûa DFT Rôøi Raïc Ñoái Vôùi Caùc Daõy Tuaàn Hoaøn Coù Chu Kyø N
a. Tính tuyeán tính
DFT laø moät bieán ñoåi tuyeán tính, töùc laø neáu ta coù hai daõy
vaø
)(~ 1 nx
)(~ 2 nx
laø toå hôïp tuyeán tính cuûa
)(~ 3 nx
laø hai daõy )(~ vaø 1 nx
:
tuaàn hoaøn coù cuøng chu kyø N vaø neáu ta coù daõy )(~ 2 nx
=
+
)(~ nxb 2
DFT
)]
=
neáu
DFT
)]
=
DFT
)]
+
=
=
(4.10)
ta coù
~ kXa )( 1
~ kXb )( 2
)(~ )(~ nxa nx 1 3 ôû ñaây a vaø b laø caùc haèng soá. ~ kX )( 1 ~ )( kX 2 ~ kX )( 3
(~[ nx 1 (~[ nx 2 (~[ nx 3
ôû ñaây taát caû caùc daõy ñeàu tuaàn hoaøn vaø coù chu kyø N.
b. Tính chaát treã
)n(x~
Neáu
)
)n(x~
thì neáu ta coù daõy
cuõng laø tuaàn hoaøn coù chu kyø N thì
~ )k(X laø daõy treã cuûa daõy
0kn
laø daõy tuaàn hoaøn vaø coù chu kyø N vaø : )]n(x~[DFT = (~ 0nnx − n(x~[DFT
~ )k(X
W)]n =
−
(4.11)
− N
0
Chöùng minh :
1N −
)]n(x~[DFT
W)n(x~
=
kn N
∑
0n =
1N −
n(x~[DFT
n(x~
+
=
+
)]n 0
W)n 0
kn N
∑
0n =
l = n - n0 n = l + n0
ñoái vôùi bieán soá : hay Ta coù :
127
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
n1N −−
n1N −−
0
0
0
0
n(x~[DFT
W)l(x~
WW)l(x~
−
=
=
kl N
kn N
)]n 0
)nl(k + N
∑
∑
l
n
l
n
−=
−=
0
0
kl
)(~ lx
bôûi vì
laø tuaàn hoaøn vôùi chu kyø N vaø
NW cuõng tuaàn hoaøn vôùi chu kyø N neân :
n1N −−
1N −
0
W)l(x~
W)l(x~
~ )k(X
=
kl N
kl k
∑
= ∑
nl =
0l =
vaäy ta coù :
0kn
n(x~[DFT
~ )k(X
−
W)]n =
0
− N
caàn löu yù raèng n0 ≥ N, thì do tính tuaàn hoaøn ta coù theå laäp luaän nhö sau :
c. Tính ñoái xöùng
)(~ nx
tuaàn hoaøn vôùi chu kyø N vaø cuõng coù :
Neáu ta coù daõy ~ kX )(
DFT
)]
=
*
DFT
(~[ x
n
)]
(~[ nx ~ * kX )(
=
thì
ôû ñaây daáu * laø lieân hôïp phöùc. Chöùng minh :
N
N
1 −
1 −
*
*
*
** }]
kn N
kn N
∑
∑
0
n
n
=
=
N
1 −
kn
*
*
DFT (~[ x n )] )(~ Wnx {[ )(~ Wnx = =
0 ~ X
− N
∑
n
0
=
Töông töï ta cuõng coù
*
[ )(~ Wnx ] ( k ) = = −
(4.12)
DFT (~[ x n )] ~ * kX )( − =
chöùng minh :
N
1 −
*
*
kn N
∑
0
n
=
ta ñoåi bieán –n = m :
N
(
−
−
*
*
DFT
(~[ x
n
)]
)1 (~ Wmx
)
−
=
km N
∑
m
0
=
kn
DFT (~[ x n )] (~ x ) Wn − = −
do tính tuaàn hoaøn vôùi chu kyø N cuûa
vaø
N
1 −
*
*
(~ mx )
NW , ~ * kX )(
km N
∑
m
0
=
Ta cuõng coù :
*
DFT (~[ x n )] [ (~ Wmx ) ] − = =
(413)
DFT [Re (~ nx )] ~ kX )( [ ~ X ( k )] = + − 1 2
Chöùng minh :
m
jI )]
m
)] )(~ nx = )(~ * nx )(~Re[ nx + )(~Re[ nx jI (~ nx (~ nx = −
128
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
vaäy
N
1 −
*
(~Re[ nx )] )] (~)(~[ * nx nx + =
kn N
∑
0
=
N
N
1 −
1 −
*
*
1 2 (~ nx DFT {Re[ )]} Wnx )] = (~)(~[ nx + = 1 2
kn N
kn N
∑
∑
n
n
0
0
=
=
n 1 2 )(~ nx
Tính DFT cuûa phaàn töû cuûa
ta coù :
*
[ )(~ Wnx )(~ Wnx ] ~ kX )( [ ~ X ( k )] = + = + − 1 2
(4.7)
(~[ nx )]} ~ kX )( [ ~ X ( k )] = − − DFT m { I 1 j 2
Chöùng minh :
N
1 −
*
kn N
∑
0
=
N
N
{Im[ )]} )] DFT (~ nx Wnx = (~)(~[ nx − =
1 −
*
*
kn N
kn N
∑
∑
0
0
n
=
=
*
1 2 j 1 − [ )(~ Wnx )(~ Wnx ] ~ kX )( [ ~ X ( k )] = − = − − 1 j 2
n ~ X
n 1 j 2 j 2
toång keát laïi caùc tính chaát ñoái xöùng cuûa DFT ñoái vôùi x(n) phöùc ta coù :
*
[ ( ~ kX ( )] = ) k −−
*
~ X ( k ) )] DFT − =
*
DFT (~[ * nx (~[ x )] =
DFT [ ~ X ( k )] n − (~ nx [Re )] = + − ~ * )( kX 1 ~ kX )( 2
Thöôøng trong thöïc teá, ta hay xöû lyù tín hieäu thöïc, vaäy baây giôø ta xeùt tính ñoái xöùng cuûa DFT ñoái vôùi daõy x(n) thöïc.
*
(~[ nx )]} ~ kX ( [ ~ * kX ( )] = ) −− DFT m { I j 2
(4.14)
DFT (~[ * nx )] ~ X ( k ) = −
Re[ j Im[ )] = +
)]
Chöùng minh : ~ kX )( ~ * kX )(
Vaäy
~ kX )( ~ kX )( ~ kX ( ~ * ( kX Re[ j Im[ = −
~ kX ( Re[ [ )] ~ kX )( ~ * kX ( )] = +
, vaäy
Vì
laø thöïc neân (~[ nx
)(~ nx 1 2 )(~)(~ * nx nx =
vaø theo tính chaát (4.4) ta coù :
DFT )] DFT (~[ * nx )] =
129
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
Laáy lieân hôïp phöùc hai veá ta coù : ~ * kX )(
~ kX )( ~ * kX )( =
Vaäy ta coù :
*
) ~ kX ( − =
)] Re[ ~ kX ( [ ~ X ( k )] ~ ( kX − = ) +− −
Vaäy ta coù
~ * kX )( [ ~ kX ( )] Re[ ~ kX ( )] + = = 1 2 1 2
~ kX ( Re[ )] Re[ )] = ~ kX ( −
Töông töï neáu x(n) laø thöïc thì : ~ kX ( −
(4.15)
~ kX ( Im[ Im[ )] )] −=
Chöùng minh :
~ kX )(
[
~ * kX (
)]
~ kX (
Im[
)]
=
−
1 j 2
*
~ X
[
(
)]
Im[
)]
=
) k −−
~ kX ( −
−=
~ kX ( −
1 j 2
laø thöïc ta coù :
(4.16)
Töông töï, neáu ~ )( kX ~ kX (
) )(~ nx ~ kX ( − =
(4.17)
arg[ )] arg[ )] −= ~ kX ( −
d. Tích chaäp tuaàn hoaøn
Tích chaäp tuyeán tính
∞
∑
m
−∞=
Tích chaäp tuaàn hoaøn thì coù khaùc vôùi tích chaäp tuyeán tính moät chuùt laø do chieàu daøi cuûa caùc daõy tuaàn hoaøn laø voâ cuøng nhöng caùc chu kyø thì laëp laïi gioáng nhau, vì theá toång chæ laáy trong moät chu kyø, vaäy ta coù ñònh nghóa cuûa tích chaäp tuaàn hoaøn sau ;
Tích chaäp tuaàn hoaøn cuûa hai daõy tuaàn hoaøn
vaø
coù chu kyø N laø moät
)(~ 1 nx
)(~ 2 nx
daõy
tuaàn hoaøn coù chu kyø N ñöôïc ñònh nghóa sau :
*)( ( ( ) ) = = − )( nx 3 nx 1 )( nx 2 mnxmx 1 2
N
1 −
)(~ 3 nx
(4.18)
)(
N
∑ 0 m = (~)(~ nx nx = 1 3
) = − )(~ nx 3
(~) (~ mnxmx 2 1 ~ )(~)* nx 2
Xeùt trong mieàn k Neáu DFT
)] = (~[ nx 1 ~ kX )( 1
130
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
DFT
)]
=
(~[ nx 3
DFT )] = (~[ nx 2
thì
=
(4.19)
~ )k(X 3
~ ).k(X 1
~ )k(X 2
~ kX )( 2 ~ kX )( 3
Chöùng minh :
N
N
N
N
1 −
1 −
1 −
1 −
kn N
kn N
2
2
∑ ∑ [
∑
∑
n
m
m
n
0
0
0
0
=
=
=
=
ñoåi bieán
l = n - m n = l + m
laø daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N
Vaø chu kyø )(~ 2 nx ta coù
1N −
1N −
1N −
1N −
(~) )] ) ) = − = (~ Wmnx − ~ kX )( 3 (~ Wmnxmx 1 (~ mx 1
2
)nl(k + N
1
km N
2
kl N
1
∑
∑
∑
∑
0m =
0l =
0m =
0l =
)m(x~ W)l(x~ W)m(x~ W)l(x~ = = = ~ ).k(X 1 ~ )k(X 2 ~ )k(X 3
Ví duï 4.2 :
vaø
coù chu kyø N = 8 nhö treân hình 4.5.
1
8
2
8
)(
Haõy tìm
Cho hai daõy tuaàn hoaøn ~ )(~)* nx 2
(~)(~ nx nx = 1 3
)(~ nx )(~ nx
Giaûi :
Theo coâng thöùc (4.18) laø
N
1 −
m
0
=
trong moät chu kyø, töùc laø tính
ñeán
) − )(~ nx 3 (~) (~ mnxmx 2 1 = ∑
ta phaûi tieán haønh tính töøng giaù trò cuûa )7(~ 3x
)0(~ )(~ 3x 3 nx . Chuùng ta seõ tieán haønh baèng ñoà thò, sau khi tính toaùn ta thu ñöôïc keát quaû sau :
3
3
3
3
2 25.2 = =
3
3
5,2 )2(~ x )6(~ x 5,2 5,2 = = = )3(~ x 5,2 = 5,1)7(~ x =
vaø ñoà thò cuûa
1
8
n
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
)1(~ x )5(~ x 3 nhö treân hình 4.6. 75,1)0(~ x = )4(~ x 3 )(~ 3 nx )(~ nx
Hình 4.5a
131
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
2
8
n
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
)(~ nx
Hình 4.5b
e. Tích cuûa hai daõy
vaø
coù cuøng chu kyø N laø moät
)(~ 1 nx
)(~ 2 nx
daõy
Neáu chuùng ta coi tích cuûa hai daõy tuaàn hoaøn )(~ tuaàn hoaøn cuõng coù chu kyø N nhö sau : 3 nx
2
3
1
)n(x~).n(x~)n(x~ =
vaø neáu chuùng ta coù : (~[ nx 1
)n(x~
k
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
DFT )] = ~ kX )( 1
Hình 4.6
DFT
)]
=
(~[ nx 3
DFT )] = (~[ nx 2
thì ta coù :
N
1 −
~ kX )( 2 ~ kX )( 3
(4.20)
N
1
2
∑
l
0
=
~ ~ )* )( ~ kXlX ). ( ( l ) = = − ~ kX )( 3 ~ kX ( 1 ~ kX )( 2 1 N
Chöùng minh :
N
1 −
kn N
∑
n
0
=
N
1 −
ln
DFT ). )] = = (~[ nx 3 (~ (~). Wnxnx 1 2 ~ kX )( 3
thay
2
∑
l
0
=
= ~ − NWlX )( )(~ nx 2 1 N
132
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
N
N
N
N
1 −
1 −
1 −
1 −
ln
ln
− N
kn N
− N
kn N
2
∑
∑
∑
∑
l
l
0
0
0
0
=
=
N
N
1 −
1 −
)
n = ~ kXlX ). (
( lkn − N
1
2
∑
∑
∑
n = 1 N
n
l
l
0
0
0
=
=
=
hoaëc laø
N
1 −
). )( . . ~ WWlX = = ~ )( lX 2 )(~ WWnx 1 ~ )( kX 3 (~ nx 1 1 N 1 N 1 N − ~ ( l ) = = − ~ )( lX 2 )(~ Wnx 1 1 N
N
2
1
l
0
=
~ ~ kXlX ). ( ( l ) ~ )* )( − = ~ kX )( 3 ~ kX ( 1 ~ kX )( 2 1 = ∑ N
f. Töông quan tuaàn hoaøn
Neáu chuùng ta coù hai daõy tuaàn hoaøn
vaø
)(~ 1 nx
)(~ 2 nx
coù chu kyø N, thì haøm töông quan cheùo cuûa hai daõy naøy seõ ñöôïc tính toaùn treân moät chu kyø vaø ñöôïc cho bôûi coâng thöùc sau :
N
1 −
(4.21)
m
0
=
vaäy ta thaáy raèng haøm töông quan cheùo cuûa hai daõy cuøng coù chu kyø N laø moät daõy tuaàn hoaøn cuõng coù chu kyø N.
n )( ) − (~) (~ mnxmx 2 1 ~ r ~~ xx 21 = ∑
g. Toång keát caùc tính chaát cuûa DFT ñoái vôùi caùc daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N
Baûng 4.1 cho ta caùc tính chaát cô baûn cuûa DFT ñoái vôùi caùc daõy tuaàn hoaøn coù chu
kyø N.
Mieàn n Mieàn k
N
N
1 −
1 −
kn
)(~ nx ~ kX )(
− N
kn N
∑
k
0
=
n
=
+
)(~ nx ~ WkX )( ~ kX )( )(~ Wnx = 1 ∑= N 1 N
N
N
N
N
0 ~ kXb )( 2
+ )(~ nxa 1 )(~ nxb 2
N
)
~ kXa )( 1 ~0 kXW kn )( ~ kX + (
N
1 −
.
) l (~ 0nnx − )(~ln nxW N
N
N
N
N
1
2
~ kX )( 1
~ kX )( 2
∑
0
m
=
1 −
(~) ( (~ )(~) nxmnxmx − = 1 ~ )(~)* nx 2
N
N
N
N
l
0
=
N
1 −
. l ) ~ )* )( − = )(~ nx 1 )(~. nx 2 ~ lX )( 1 ~ kX ( 2 ~ kX ( 1 ~ kX )( 2 1 N ∑ N
2
m
0
=
k )( ~ X ( k ) n )( ) − = • − (~ (~) mnxmx 1 2 ~ kX )( 1 ~ r ~~ xx 21 ~ R xx ~~ 21 = ∑
neáu
thöïc
)(~ 2 nx
k )( = • ~ kX )( 1 ~ * kX )( 2 ~ R xx ~~ 21
133
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
N
1 −
0
m
=
n )( ) k )( − = • ~ kX )( 1 ~ * kX )( 2 (~ (~) * mnxmx 1 2 ~ r ~~ xx 21 ~ R xx ~~ 21 = ∑
k )
*
) n ~ * ( X − ~ * kX )( )(~ * nx (~ * x −
*
)] (~Re[ nx ~ kX )( [ ~ X ( k )] + − 1 2
*
)] (~ Im[ nx j [ ~ kX )( ~ X ( k )] − −
neáu
thöïc
*
)(~ nx ~ X ( k ) = −
)] Re[ )] Re[ ~ X k = −
)] 1 2 ~ kX )( ~ kX ( ~ kX ( Im[ )] Im[ −= ( ~ ( kX −
~ kX )( ) = ~ kX ( −
)] ~ kX ( arg[ )] arg[ = ~ ( kX −
4.3. Bieán Ñoåi Fourier Rôøi Raïc Vôùi Caùc Daõy Khoâng Tuaàn Hoaøn Coù Chieàu
Daøi Höõu Haïn N
4.3.1 Ñònh nghóa
a.
Toång quan
Neáu chuùng ta coù moät daõy koâng tuaàn hoaøn coù chieàu daøi höõu haïn M vaø moät daõy
chính baèng moät chu kyø cuûa daõy tuaàn
hoaøn chu kyø N = M
)( Mnx . Hình 4.7 seõ cho ta moät ví duï M = N = 4.
tuaàn hoaøn coù chu kyø N. Neáu M = N thì daõy coù chieàu daøi höõu haïn M )(~ Nnx
)( Mnx
)(~ Mnx
n
n
Neáu M < N thì daõy coù chieàu daøi höõu haïn M laø
)( Mnx
daõy tuaàn hoaøn chu kyø N = M laø
coù theå baèng moät chu kyø cuûa khi chuùng ta xem laø daõy coù chieàu daøi höõu haïn M
Hình 4.7b Hình 4.7a
)(~ Nnx
134
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
laø moät daõy coù chieàu daøi N baèng caùch keùo daøi daõy naøy theâm N – M maãu coù giaù trò
Mnx )( khoâng.
N
)( nx )( → nx M
Hình 4.8 seõ cho ta moät ví duï M = 4, N = 8.
)( Mnx
n
n
Hình 4.9a )(~ Nnx 2
Nhö vaäy ta thaáy raèng töø moät daõy khoâng tuaàn hoaøn coù chieàu daøi höõu haïn M coù theå laäp moät daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N ≥ M vaø moãi moät chu kyø cuûa
Hình 4.9b
. Coøn trong tröôøng hôïp N < M thì
seõ chính baèng daõy coù chieàu daøi höõu haïn
)(~ Mnx
Mnx )( )(~ Nnx chuùng ta khoâng theå laøm ñöôïc vieäc ñoù.
∞
)(~ Nnx
N
M
∑
r
−∞=
hoaëc
)(~ nx )) = (( rNmx +
Roõ raøng laø daõy
coù chieàu daøi höõu haïn N nhaän ñöôïc baèng caùch trích ra moät chu kyø
)(~ nx ( nx mod N ) = = )( Nnx
coù chu kyø n, töùc laø :
cuûa daõy tuaàn hoaøn
)( Nnx
2
1Nn
≤≤
−
)n(x
=
N
)n(x~ 0
0, N ,
coøn n laïi
1Nn
0,
Ñeå nhaän ñöôïc daõy x(n) coù chieàu daøi höõu haïn, chuùng ta coù theå söû duïng moät daõy chöõ nhaät −
≤≤
)n(
=
rect N
0
coøn n , laïi
1
)(~ Nnx
135
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
vaäy ta coù :
N =
N
N
Chuùng ta cuõng coù tính ñoái ngaãu giöõa mieàn n vaø mieàn k (hoaëc laø giöõa daõy x(n) vaø
daõy X(k)). Vì vaäy trong mieàn k, ñoái vôùi X(k) ta cuõng coù theå vieát :
nx )( )(~ nx rect . n )(
N)k(X)Nmod =
, k(X)k(X =
1Nk ~ )k(X − )k(X = 0, ≤≤ coøn k,0 laïi
kX )(
).
rect
k )(
=
N
Hôn nöõa, chuùng ta thaáy raèng bieán ñoåi Fourier rôøi raïc ñoái vôùi daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N chæ tính trong moät chu kyø, roài keát quaû ñoù ñöôïc tuaàn hoaøn hoaù töø - ∞ ñeán + ∞ vôùi chu kyø N. Vaäy ta coù theå laáy ñònh nghóa cuûa bieán ñoåi Fourier rôøi raïc ñoái vôùi daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N ñeå laøm ñònh nghóa cho bieán Fourier rôøi raïc ñoái vôùi daõy soá chieàu daøi höõu haïn N nhöng khoâng ñöôïc tuaàn hoaøn hoaù maø chæ töø 0 ñeán N – 1.
~ kX (
b.
Ñònh nghóa
Caëp bieán ñoåi Fourier rôøi raïc (DFT) ñoái vôùi caùc daõy khoâng tuaàn hoaøn coù chieàu daøi
höõu haïn N ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : Bieán ñoåi Fourier thuaän (DFT)
1N −
kn N
(4.22)
0n =
W)n(x 0, 1Nk ≤≤ − )k(X
Kyù hieäu
DFT[x(n)] = X(k)
(
)
0 , coøn k laïi = ∑
DFT →
Bieán ñoåi Fourier ngöôïc (IDFT)
1N −
kn
nx )( kX )(
− N
(4.23)
W)k(X 0, 1Nn ≤≤ − )n(x
Kyù hieäu
IDFT[X(k)] = x(n)
(
)
, coøn n laïi 1 = ∑ N 0k = 0
IDFT →
ÔÛ ñaây ta goïi X(k) laø phoå rôøi raïc cuûa tín hieäu x(n), vaø bieåu dieãn ôû daïng modul vaø
argument ta coù :
)( k
kX )( nx )(
jekX ϕ )(
)( kX =
136
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc
(4.24)
arg[ kX ( )] k =ϕ )(
: goïi laø phoå rôøi raïc bieân ñoä
)(kX
)(kϕ : goïi laø phoå rôøi raïc pha
Ví duï 4.3 :
Haõy tìm DFT cuûa daõy coù chieàu daøi höõu haïn x(n) sau ñaây :
x(n) = δ(n)
Giaûi :
Muoán tìm DFT, tröôùc heát ta phaûi choïn chieàu daøi cuûa DFT, töùc laø choïn chieàu daøi
cuûa daõy. Giaû söû ta choïn laø N, vaäy daõy x(n) coù daïng sau hình 4.10.
Vaø X(k) ñöôïc tính nhö sau :
1N −
n
)k(X
W)n(
δ
kn N
= ∑
-2 -1 0 1 2 N-1
1Nk
−
=
)(nx
0
0, ≤≤ coøn k, laïi
0n = 1
)( k
Hình 4.10
jekX ϕ )(
)( kX =
)k(X
ϕ(k) = 0
, ∀k
1Nk )k(X = 0, k , ≤≤ coøn laïi − 1 0
coù daïng sau hình 4.11.
k
-2 -1 0 1 2 ... N-1
)(kX
Hình 4.11
4.3.2 Tính Chaát Cuûa DFT Ñoái Vôùi Daõy Coù Chieàu Daøi Höõu Haïn N
a. Tính Tuyeán Tính
DFT laø moät bieán ñoåi tuyeán tính, töùc laø neáu ta coù hai daõy coù chieàu daøi höõu haïn laø toå hôïp tuyeán tính cuûa hai daõy naøy, töùc laø :
vaø
vaø
)(2 nx )(3 nx )(1 nx
(4.25)
2
maø ta coù :
DFT
n )( bx n )( = + nx )( 3 ax 1
=
[ )] ( nx 1 )( kX 1
137
