b- Nếu (An) là dãy các biến cố độc lập và = + thì 1
Chứng minh.
a- Ta có
Suy ra
Theo giả thiết nên số hạng dư 0 khi n . Vậy
P(A ) = 0.
b- Ta có . Để chứng minh P(A ) = 1 ta cần chứng minh
hay ta phải chứng minh P( ) = 0 với mọi n. Với N > n ta có
P( ) < P( ) = =
vì 1 - x < e-x với mọi 0 < x < 1. Do = + ta suy ra ) khi
N . Vậy 0 khi N . Do đó , nghĩa là P(A )
= 1. Bổ đề được chứng minh.
Định lí 3.3. (Bất đẳng thức Côn môgôrốp)
Giả sử X1, X2,..., Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó, với > 0 cho trước
tuỳ ý ta có
(6)
Chứng minh. Đặt ; , k = 1, 2,…, n và
Rõ ràng A0, A1,…, Ak là xung khắc từng đôi, trong đó , k = 1,
2,…, n.Ta có
và
Vì E(Sn/Ak) = 0 nên
Theo giả thiết Ak độc lập với các , j > k.Vì vậy
với j > k
với h ¹ j, h, j > k > 1 và với k > 1
Tóm lại
.
Từ đó suy ra
Định lí 3.4. (Định lí Côn môgôrốp 1)
Nếu X1, X2,..., Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập thoả mãn điều kiện
(7)
thì dãy X1, X2,..., Xn tuân theo luật số lớn.
Chứng minh . Đặt và . Xét xác suất
Theo bất đẳng thức Cônmôgôrốp ta có:
Vậy
Đổi thứ tự lấy tổng ta có
Do các số hạng ở vế phải của bất đẳng thức trên có thể ước lượng bởi
,
trong đó p là số sao cho 2p < j < 2p + 1.Vậy
,
hay chuỗi hội tụ. Từ đó suy ra Pm0 khi m . Theo Định lí 1.6 ta có
. Định lí được chứng minh.
Hệ quả 3.5. Gọi mA là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli
và p là xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử. Khi đó
Hệ quả 3.6. Nếu dãy biến ngẫu nhiên X1, X2,..., Xn độc lập và có cùng phân phối
với kì vọng và phương sai DX1 =...DXn = s2 hữu hạn thì
Ví dụ 3.7. Cho X1, X2,..., Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối
xác suất: