TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
KHOA TOÁN VÀ THỐNG KÊ Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC PHẦN - HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
HỌC KỲ 1 - NĂM HỌC 2024-2025
Học phần: GIẢI TÍCH 1 Số tín chỉ: 4
Mã học phần: 1010319 Khóa: 47
Thời gian làm bài: 120 phút
(Sinh viên không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài thi)
Câu 1 (2 điểm).
a) Chứng minh rằng nếu dãy (an)tăng và bị chặn trên thì (an)hội tụ và lim
n→+∞an= sup{an:n∈N}.
b) Xét sự hội tụ và tính giới hạn (nếu có) của dãy (an)được cho bởi a1= 1, an+1 =1
2an+2
an, n ≥1.
Câu 2 (2 điểm).
a) Tính các giới hạn A= lim
n→+∞√n2+n−√n2−3n;B= lim
x→π
4
tan2x
cotπ
4−x.
b) Cho hàm số f:R→Rsao cho hàm hợp f◦fliên tục. Hỏi hàm số fcó liên tục không?
Câu 3 (2 điểm).
a) Phát biểu nội dung định lý Lagrange. Nêu ý nghĩa hình học và lấy một ví dụ minh hoạ cho định lý này.
b) Cho f,g :R→Rlà hai hàm số liên tục trên Rvà thoả mãn f(x) = g(x)với mọi x∈Q. Chứng minh rằng
f(x) = g(x)với mọi x∈R.
Câu 4 (2 điểm).
a) Tìm xấp xỉ bậc ba của hàm số f(x) = e−x+ sinxtrong lân cận của điểm x0= 0.
b) Cho hàm số f: (a;b)→Rcó đạo hàm trên khoảng (a;b)và thoả mãn lim
x→a+f(x) = lim
x→b−f(x) = 2025.
Chứng minh rằng tồn tại c∈(a;b)sao cho f′(c) = 0. Kết luận còn đúng không nếu trong giả thiết trên
đây, số 2025 được thay bởi +∞?
Câu 5 (2 điểm).
a) Tính I=Zsin(lnx)dx bằng phương pháp tích phân từng phần.
b) Cho hàm số ϕ(h) = 1
hZ1+h
1pet+t2dt, với h6= 0. Tính lim
h→0ϕ(h).
Họ và tên: Số báo danh: Phòng thi số: