TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
KHOA TOÁN VÀ THỐNG KÊ Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC PHẦN - HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
HỌC KỲ 1 - NĂM HỌC 2020-2021
Duyệt của bộ môn
HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH 1 SỐ TÍN CHỈ: 4
MÃ HỌC PHẦN: 1010319 KHÓA: 43
Thời gian làm bài: 120 phút
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài thi)
Câu 1 (2,5 điểm).
a) Chứng minh rằng nếu dãy (an)tăng và bị chặn trên thì (an)hội tụ và lim
n→∞ an= sup{an:n∈N}.
b) Xét sự hội tụ và tính giới hạn (nếu có) của dãy (an)được cho bởi a1= 0, an+1 =3an+ 1
an+ 3 , n ≥1.
Câu 2 (2 điểm). Tính các giới hạn sau
A= lim
x→0+sinx.ln(cotx) ; B= lim
x→+∞
2
πarctanxx.
Câu 3 (2,5 điểm).
a) Cho 0< a < 1. Chứng minh rằng hàm số f(x) = 1
xliên tục đều trên khoảng (a;1) nhưng không liên tục
đều trên khoảng (0;1).
b) Xác định các tham số thực avà bđể hàm số sau có đạo hàm tại điểm x0= 0
f(x) =
1−cos4x
xnếu x > 0,
2ax +bnếu x≤0.
Câu 4 (1,5 điểm).
a) Chứng minh rằng nếu hàm số fliên tục trên đoạn [a;b]thì fbị chặn dưới trên đoạn [a;b].
b) Giả sử hàm số f: [a,b]→Rliên tục trên đoạn [a;b], khả vi trên khoảng (a,b)và thoả mãn f(a) = a,
f(b) = b. Chứng minh rằng tồn tại c1,c2∈(a;b),c16=c2sao cho f′(c1) + f′(c2) = 2.
c) Cho hàm số fkhông tăng trên Rvà thoả mãn f(x2−5x+ 9) ≥f2(x)−5f(x) + 9 với mọi x∈R.Tính
f(2021).
Câu 5 (1,5 điểm).
a) Xét hàm số ϕ(x) = Z1
xlntdt, với 0< x < 1. Tính lim
x→0+ϕ(x).
b) Cho hàm số f(x)liên tục, dương trên đoạn [0;1] và thoả mãn f(x).f(1 −x) = 1 với mọi x∈[0;1]. Tính
tích phân I=Z1
0
1
1 + f(x)dx.
Họ và tên: Số báo danh: Phòng thi số: