TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
KHOA TOÁN VÀ THỐNG KÊ Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC PHẦN - HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
HỌC KỲ 1 - NĂM HỌC 2023-2024
HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH 1 SỐ TÍN CHỈ: 4
MÃ HỌC PHẦN: 1010319 KHÓA: 46
Thời gian làm bài: 120 phút
(Sinh viên không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài thi)
Câu 1 (2 điểm).
a) Chứng minh rằng nếu dãy (an)tăng và bị chặn trên thì (an)hội tụ và lim
n→+∞an= sup{an:n∈N}.
b) Xét sự hội tụ và tính giới hạn (nếu có) của dãy (an)được cho bởi a1= 1, an+1 =1
2an+2
an, n ≥1.
Câu 2 (2 điểm).
a) Tính L= lim
n→+∞√n2+n−√n2−3n;M= lim
x→−∞
√x4+ 1
2x2−3;N= lim
x→π
4
tan2x
cotπ
4−x.
b) Chứng minh rằng không tồn tại lim
x→0sin π
x.
Câu 3 (2 điểm).
a) Xác định các tham số thực avà bđể hàm số sau có đạo hàm tại điểm x0= 0
f(x) =
asinx+bcosxnếu x < 0,
x2+ 1 nếu x≥0.
b) Cho f,g :R→Rlà hai hàm số liên tục trên Rvà thoả mãn f(x) = g(x)với mọi x∈Q. Chứng minh rằng
f(x) = g(x)với mọi x∈R.
Câu 4 (2 điểm).
a) Tìm xấp xỉ tuyến tính và xấp xỉ bậc hai của hàm số f(x) = e2x+ cosxtrong lân cận của điểm x0= 0.
b) Giả sử hàm số f: [a,b]→Rliên tục trên đoạn [a;b], khả vi trên khoảng (a,b)và thoả mãn f(a) = a,
f(b) = b. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm phân biệt c1,c2∈(a;b)sao cho f′(c1) + f′(c2) = 2.
Câu 5 (2 điểm).
a) Tính I=Zsin(lnx)dx bằng phương pháp tích phân từng phần.
b) Cho hàm số f(x)liên tục, dương trên đoạn [0;1] và thoả mãn f(x).f(1 −x) = 1 với mọi x∈[0;1]. Tính
tích phân J=Z1
0
1
1 + f(x)dx.
Họ và tên: Số báo danh: Phòng thi số: