Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
ĐỀ THI CUỐI KỲ DỰ THÍNH - HK 192
Môn học: Giải tích 1
Ngày: 06/07/2020.
Thời gian: 100 phút.
(Đề gồm 8 câu, in trên 2 mặt tờ giấy A4. Sinh viên không được sử dụng tài liệu.)
Câu 1: (1.0 điểm) Tìm tất cả các tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham số
sau đây
x=2t−1
t+ 2 ,
y=2t
t+ 3.
Câu 2. (1.0 điểm) Một bệnh nhân được tiêm một loại thuốc và sau tgiờ nồng độ thuốc còn
lại trong máu của bệnh nhân được cho bởi công thức
C(t) = 3t
(t2+ 36)3
2
(mg/cm3).
Hãy tìm nồng độ thuốc trung bình trong máu của bệnh nhân từ t= 5 giờ tới t= 10 giờ kể từ khi
tiêm thuốc.
Câu 3. (2.0 điểm) Biết rằng ở một thành phố Ata có mật độ dân số tại vị trí cách trung
tâm thành phố r km là:
p(r)=3e−0.01r2(ngàn người/km2).
Số dân sống trong vùng bán kính rkm tính từ trung tâm thành phố được cho bởi công thức:
P(r) = 2πZr
0
u.p(u)du (ngàn người).
a. Tìm tốc độ thay đổi của dân số theo bán kính rtại vùng cách trung tâm thành phố 5km
và hãy tìm bán kính rsao cho tại đó tốc độ thay đổi của dân số theo bán kính đạt lớn nhất.
b. Biết rằng ở thành phố này càng ở cách xa trung tâm thành phố, mật độ dân số càng thấp
và mật độ dân số thấp nhất là 1000 người/km2.Hãy tìm bán kính của thành phố và tìm số dân
của thành phố sống ngoài vùng bán kính 5km (kể từ trung tâm thành phố) nếu giả sử như thành
phố Acó dạng hình tròn.
Câu 4. (1.0 điểm) Tính diện tích của miền phẳng Dgiới hạn bởi các đường sau
D:y=ex, y = 1, x +y=e2+ 2.
Câu 5. (1.0 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân
∞
Z
1
ln x2+ 3
x2+ 1dx.
1
Câu 6. (1.0 điểm) Một chiếc xe máy ở thời điểm tđang ở vị trí A(như hình vẽ) cách Bmột
khoảng AB =xm. Một người cảnh sát đang đứng ở vị trí C(như hình vẽ) cách Bmột khoảng
BC = 30 m. Góc tạo bởi vectơ CB và vectơ CA nối vị trí của người cảnh sát và xe máy là α. Biết
rằng tại thời điểm này xe máy đang chạy theo hướng của vectơ BA vuông góc với BC. Để tìm
vận tốc của xe máy, người cảnh sát đo sự thay đổi của góc α. Tìm vận tốc của xe máy tại thời
điểm góc αđang thay đổi với vận tốc 0.5rad/s và α=π
6. Hãy đổi vận tốc này sang đơn vị km/h.
Câu 7. (1.5 điểm) Nước do một nhà máy nước cung cấp có nồng độ Flo là 1mg/lít. Một
thùng đựng nước cho một gia đình có thể tích 1000 lít đang chứa 700 lít nước do nhà máy này
cung cấp. Người ta bơm đồng thời vào thùng mỗi phút 5lít nước do nhà máy nước cung cấp và 4
lít nước không chứa Flo. Nước sau khi được khuấy đều sẽ thoát ra ngoài với tốc độ 7lít nước mỗi
phút.
a. Viết phương trình vi phân biểu diễn sự thay đổi của khối lượng Flo trong thùng.
b. Giải phương trình để tìm lượng Flo (mg) ở trong thùng theo thời gian t(phút).
c. Hỏi bao lâu sau thì thùng đầy và khi thùng đầy thì nồng độ Flo trong thùng bằng bao nhiêu
mg/lít?
Câu 8. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình vi phân sau đây bằng phương pháp khử
(x0(t) = x−4y+t+ 2,
y0(t) = 2x−5y+ 2t2.
Giảng viên phụ trách ra đề
Phan Thị Khánh Vân
Chủ nhiệm bộ môn
Nguyễn Tiến Dũng
2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ DỰ THÍNH GIẢI TÍCH 1
Câu 1: (1.0 điểm) Ta có
x→∞⇔t→ −2; y→∞⇔t→ −3.
•Xét khi t→ −2:
lim
t→−2−
x= lim
t→−2−
2t−1
t+ 2 = +∞,lim
t→−2+x= lim
t→−2+
2t−1
t+ 2 =−∞.
lim
t→−2y= lim
t→−2
2t
t+ 3 =−4.
Vậy đường cong có 1 tiệm cận ngang y=−4(0.5 điểm).
•Xét khi t→ −3:
lim
t→−3−
y= lim
t→−3−
2t
t+ 3 = +∞,lim
t→−3+ylim
t→−3+
2t
t+ 3 =−∞.
lim
t→−3x= lim
t→−3
2t−1
t+ 2 = 7.
Vậy đường cong có 1 tiệm cận đứng x= 7 (0.5 điểm).
Câu 2. (1.0 điểm) Nồng độ thuốc trung bình trong máu của bệnh nhân từ t= 5 giờ tới
t= 10 giờ kể từ khi tiêm thuốc:
¯
C=1
10 −5
10
Z
5
3t
(t2+ 36)3
2
dt (0.75 điểm) = 0.0254 (mg/cm3).(0.25 điểm)
Câu 3. (2.0 điểm)
a. Tốc độ thay đổi của dân số theo bán kính rtại vùng cách trung tâm thành phố 5km:
v(r)r=5 =P0(5) = 2π.5.p(5) = 6π5e−0.0152
≈73.4(ngàn người/km). (0.5 điểm)
v0(r) = 6πe−0.01r2
−0.02r2e−0.01r2= 0 ⇔r=√50.
Lập bảng biến thiên ta có v(r)đạt max tại r=√50 = 7.0711(km).(0.5 điểm)
b. Bán kính của thành phố: R=r−ln(1/3)
0.01 ≈10.4815 (km) (0.5 điểm).
Số dân của thành phố sống ngoài vùng bán kính 5km:
D= 6πZ10.4815
5
ue−0.01u2du ≈419.843 (ngàn người). (0.5 điểm)
Câu 4. (1.0 điểm) Diện tích của miền phẳng D
SD=
e2
Z
0
(e2+ 2 −y−ln y)dy (0.75 điểm) ≈34.69 (đvdt).(0.25 điểm)
3
Câu 5. (1.0 điểm) Ta có khi x→ ∞:
ln x2+ 3
x2+ 1= ln 1 + 2
x2+ 1∼2
x2+ 1 ∼2
x2.(0.5 điểm)
Mà ∞
R
1
2
x2dx hội tụ, nên ∞
R
1
ln x2+ 3
x2+ 1dx hội tụ (T/c so sánh lim) (0.5 điểm)
Câu 6. (1.0 điểm) Ta có:
x= 30 tan ϕ. (0.25 điểm)
Vậy tốc độ của xe máy tại thời điểm đó
x0(t0) = 30(1 + tan2ϕ).ϕ0(t0) = 30(1 + 1
3)0.5 = 20 (m/s) = 72 (km/h).(0.75 điểm)
Câu 7. (1.5 điểm) Nước do một nhà máy nước cung cấp có nồng độ Flo là 1mg/lít. Một
thùng đựng nước cho một gia đình có thể tích 1000 lít đang chứa 700 lít nước do nhà máy này
cung cấp. Người ta bơm đồng thời vào thùng mỗi phút 5lít nước do nhà máy nước cung cấp và 4
lít nước không chứa Flo. Nước sau khi được khuấy đều sẽ thoát ra ngoài với tốc độ 7lít nước mỗi
phút.
Gọi y(t)là lượng Flo có trong thùng tại thời điểm tphút.
a. y0=y0
vào −y0
ra = 5 −7y
700+2t(0.5 điểm).
b. y0+7y
700+2t= 5-PTVP tuyến tính cấp 1.
y=e−7Rdt
700+2th5Re7Rdt
700+2tdt +Ci(0.25)
y= (700 + 2t)
−7
25
9(700 + 2t)9
2+C=10t+3500
9+C.(700 + 2t)−7
2. (0.25)
Tại t= 0, y(0) = 700, vậy C=3500√7007
9.
KL: y= (700 + 2t)
−7
25
9(700 + 2t)9
2+3500√7007
9(0.25)
c. Thùng đầy nước: 1000 = 700 + 2t⇒t= 150 (phút) .
Nồng độ Flo trong thùng tại t= 150:y= 644.84(0.25)
Câu 8. (1.5 điểm) Dùng phương pháp khử ta thu được
x”+4x0+ 3x=−8t2+ 5t+ 11
hoặc y”+4y0+ 3y=−2t2+ 6t+ 4 (0.5)
C1: Nghiệm thuần nhất x0=C1e−3t+C2e−t(0.25)
Nghiệm riêng: xr=At2+Bt +C(0.25)
Thu được xr=−8
3t2+79
9t−169
27
x=C1e−3t+C2e−t−8
3t2+79
9t−169
27 (0.25)
Thay vào thu được y(0.25)
C2: Nghiệm thuần nhất y0=C1e−3t+C2e−t(0.25)
Nghiệm riêng: yr=At2+Bt +C(0.25)
Thu được yr=−2
3t2+34
9t−88
27
y=C1e−3t+C2e−t−2
3t2+34
9t−88
27 (0.25)
Thay vào thu được x(0.25)
4