TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN - TIN HỌC
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM
PGS.TS. Nguyễn Bích Huy
TS. Nguyễn Thành Nhân
Tài liệu dành cho sinh viên khoa Toán
Bài giảng Giải tích hàm
Contents
1 Không gian định chuẩn 4
1.1 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Tôpô của không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Chuẩn tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Một số không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Không gian định chuẩn con . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Tích của hai không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Không gian định chuẩn thương . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . 12
1.3 Không gian Lp............................ 14
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Bài tập không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Ánh xạ tuyến tính liên tục 23
2.1 Ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Sự liên tục của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Không gian L(X,Y ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Sự liên tục của phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Phiếm hàm tuyến tính và siêu phẳng . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Một số phiếm hàm và ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Phiếm hàm tuyến tính trên Km............... 27
2.3.2 Phiếm hàm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
Nguyễn Bích Huy Bài giảng Giải tích hàm
2.3.3 Toán tử tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.4 Ánh xạ (I−A)−1....................... 30
Bài tập ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Không gian Hilbert 35
3.1 Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Chuẩn sinh bởi tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Phân tích trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Sự trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Định lý phân tích trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.3 Không gian liên hợp của không gian Hilbert . . . . . . . . 38
3.3 Hệ trực chuẩn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Hệ trực chuẩn, chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Hệ trực chuẩn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3 Sự tồn tại hệ trực chuẩn đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 42
Bài tập không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Các định lý cơ bản 46
4.1 Nguyên lý chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Các định lý ánh xạ mở, ánh xạ đồ thị đóng, ánh xạ ngược . . . . 47
4.2.1 Định lý ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Định lý ánh xạ ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.3 Ánh xạ có đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Định lý Hahn - Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3
Nguyễn Bích Huy Bài giảng Giải tích hàm
1 Không gian định chuẩn
1.1 Không gian định chuẩn
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Cho Xlà không gian vector trên trường số K(K=R,C). Một
ánh xạ từ Xvào R,x7→ kxk, được gọi là một chuẩn trên Xnếu thỏa mãn:
i) kxk ≥ 0,∀x∈X.
kxk= 0 ⇔x=θ(θ=θXlà phần tử không của X).
ii) kλxk=|λ|.kxk,∀λ∈K,∀x∈X.
iii) kx+yk ≤ kxk+kyk,∀x,y ∈X.
Khi đó, không gian vector Xđược trang bị chuẩn k·k được gọi là không gian định
chuẩn và ký hiệu là (X,k · k). Số kxkgọi là chuẩn của x.
Ví dụ 1.2. Ký hiệu C[a,b]là tập hợp các hàm thực liên tục trên [a,b].C[a,b]là
không gian vector trên Rvới các phép toán thông thường về phép cộng hai hàm
số và phép nhân một hàm số với một số thực, phần tử θlà hàm hằng 0. Khi đó,
ánh xạ x7−→ kxk= sup
t∈[a,b]|x(t)|
là một chuẩn trên C[a,b], nghĩa là (C[a,b],k · k)là một không gian định chuẩn.
Chứng minh. Ta có thể dễ dàng kiểm tra ba điều kiện trong định nghĩa chuẩn
được thỏa mãn. Thật vậy, với mọi x,y ∈C[a,b]và λ∈R, ta có:
i) Hiển nhiên kxk= sup
t∈[a,b]|x(t)| ≥ 0.
kxk= 0 ⇔x(t) = 0,∀t∈[a,b]⇔x=θ.
ii) kλxk= sup
t∈[a,b]|λx(t)|=|λ|sup
t∈[a,b]|x(t)|=|λ|kxk.
iii) |x(t) + y(t)| ≤ |x(t) + |y(t)| ≤ kxk+kyk,∀t∈[a,b].
Suy ra kx+yk ≤ kxk+kyk.
Mệnh đề 1.3. Cho không gian định chuẩn (X,k · k). Khi đó:
i) |kxk − kyk| ≤ kx−yk,∀x,y ∈X.
4
Nguyễn Bích Huy Bài giảng Giải tích hàm
ii) Ánh xạ d:X×X−→ R,d(x,y) = kx−yklà một metric trên X, gọi là
metric sinh bởi chuẩn k · k.
Chứng minh. Ta có kxk=k(x−y) + yk ≤ kx−yk+kyk. Suy ra kxk − kyk ≤
kx−yk. Thay đổi vai trò của x,yvà chú ý rằng kx−yk=ky−xk, ta được
kyk − kxk ≤ kx−yk. Từ đó suy ra i). Mệnh đề ii)có thể kiểm tra dễ dàng từ
định nghĩa metric.
1.1.2 Tôpô của không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.4. Ta hiểu tôpô của không gian định chuẩn (X,k · k)là tôpô sinh
bởi metric d(x,y) = kx−yk.
Như vậy, G⊂Xgọi là tập mở nếu: ∀x∈G, ∃r > 0 : B(x,r)⊂G, với
B(x,r) = {y∈X:ky−xk< r}.
Các tính chất đóng, liên tục, compact, ... có liên quan tới sự hội tụ:
lim
n→∞ xn=x(xnk·k
−→ x)⇔lim
n→∞ kxn−xk= 0 ⇔lim
n→∞ d(xn,x) = 0.
Mệnh đề 1.5. Cho không gian định chuẩn (X,k · k)và A⊂X. Ta có:
i) x∈A⇔ ∃{xn} ⊂ A: lim
n→∞ xn=x.
ii) Ađóng ⇔ ∀{xn} ⊂ A: lim
n→∞ xn=x⇒x∈A.
iii) Acompact ⇔ ∀{xn} ⊂ A:∃{xnk} ⊂ {xn},lim
n→∞ xnk=x∈A.
Mệnh đề 1.6. Cho các không gian định chuẩn (X,k · kX),(Y,k · kY)và ánh xạ
f:X→Y. Các mệnh đề sau là tương đương:
i) fliên tục tại x0∈X.
ii) ∀{xn} ⊂ X: lim
n→∞ xn=x0⇒lim
n→∞ f(xn) = f(x0).
iii) ∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x∈X, kx−x0kX< δ ⇒ kf(x)−f(x0)kY< ε.
Mệnh đề 1.7. Cho các không gian định chuẩn (X,k·k)và các dãy {xn},{yn} ⊂
X,{λn} ⊂ Ksao cho lim
n→∞ xn=x,lim
n→∞ yn=y,lim
n→∞ λn=λ. Khi đó:
i) lim
n→∞ kxnk=kxk.
ii) lim
n→∞(xn+yn) = x+y.
5