3.1. PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS
1. Thuật toán
a) Quá trình thuận.Đưa hệ (3.1) về dạng tam giác.
Bước 1: Gọi phần tử a11 là phần tử trụ. Luôn có thể coi a11 ≠0và là số có giá trị
tuyệt đối lớn nhất trong các hệ số của cột 1 (bằng cách đổi chỗ các phương trình
cho nhau, điều kiện này luôn thỏa mãn).
CHƯƠNG III : GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ,
TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS
1 1 1
1 2 n
12 1n 1
21 1 2 n
22 2n 2
n1 1 2 n
n12 nn n
1
x x x
a ... a b
2
a x x x
a ... a b
... ... ...
n
a x x x
a ... a b
=
=
=
Chia phương trình đầu cho a11. Đặt a11j = a1j / a11 , b11 = b1/ a11,
với mọi j = 1,2,...,n. Được
(3.2)
Đối với hệ mới (3.2), khử các hệ số của x1trong các phương trình còn
lại như sau:
Nhân phương trình (1) với a21 rồi trừ vào phương trình (2)
Nhân phương trình (1) với a31 rồi trừ vào phương trình (3)
Cứ tiếp tục như vậy cho đến phương trình cuối cùng, được hệ tương
đương
1 1 1
2n
112 1n 1
1 1 1
2n
22 2n 2
1 1 1
2n
n2 nn n
xx
xa ... a b
xx
a ... a b
... ...
xx
a ... a b
=
=
=
(3.3)
Bước 3: Đối với hệ con
1 1 1
2n
22 2n 2
1 1 1
2n
n2 nn n
xx
a ... a b
... ...
xx
a ... a b
=
=
Lặp lại bước 1 cho đến hết.Cuối cùng nhận được hệ tam giác,
tương đương với hệ ban đầu như sau:
1
11
n
12 1
12 1n 2
2n
22
2n
n
nn
x
xx b
a ... a
x
xb
... a
...
...
xb
=
=
=
(3.4)
b) Quá trình ngược.
Từ phương trình cuối cùng của hệ (3.5), tìm được ẩn xn.
Thế vào phương trình ngay phía trên, tìm được ẩn xn-1.
Tiếp tục cho đến phương trình đầu tiên, tìm được toàn bộ nghiệm.
Ví dụ:Giải hệ −2
3
7
2
𝑥1
𝑥1
𝑥1
𝑥1
−2
+4
+8
𝑥2
𝑥2
𝑥2
+4
−2
−3
+5
𝑥3
𝑥3
𝑥3
𝑥3
+8
+2
+2
+5
𝑥4
𝑥4
𝑥4
𝑥4
=−2
=8
=7
=2
