CHƯƠNG VI : TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM BÀI TOÁN CAUCHY
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
6.1. Phương pháp Euler
1. Mở đầu.
Chia đoạn x0,X thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia :
xi: lưới sai phân
xi: nút ( mốc ) của lưới
h: bước đi của lưới
Tìm nghiệm bài toán Cauchy:
(6.1)
'00
y f(x,y),y(x ) ,x x X
= =
i0
0
X =x +ih,i=0,1,...,n.
X-x
h= n
Giả sử yx là nghiệm đúng của bài toán Cauchy. Mục đích của phương pháp
Ơle là tính gần đúng giá trị của 𝑦𝑥 chỉ tại các mốc xi, chứ không phải tại
mọi xϵ x0,X
2. Công thức Ơle
Gọi :yx là nghiệm của bài toán Cauchy (6.1)
y xilà giá trị của 𝑦𝑥 tại x=xi
ui≈yxi
Giả sử biết ui, cần tính ui+1
Khai triển Taylo hàm yx tạixi:
"
'2
( ) ( ) ( )( ) ( )
2!
i i i i
y
y x y x y x x x x x=
'
i+1 i i i i
2"
i+1 i i i i
x=x =x +h,y (x )=f(x ,y(x ))
h
y(x )=y(x )+hf(x ,y(x ))+ y (c )
2!
i+1 i i i 0
u =u +hf(x ,u ), u =α
3. Sai số
Sai số của phương pháp Ơle chính là phần bỏ đi
h2
2y′′ ci
Trong thực hành, ta tính nghiệm gần đúng theo phương pháp Ơle 2 lần : Lần 1
tính với bước h, lần 2 tính với bước h
2. Nếu xem u xሶi;h
2là giá trị gần đúng
của yxithì sai số :u xሶi;h
2−yxi≈uxi,h −u xi,h
2.
6.2. Phương pháp Runge - Kutta
Để tăng độ chính xác của phương pháp Ơle ta làm như sau :
Áp dụng công thức Niutơn – Lépnit ta có : yxi+1 −yxi=න
xi
xi+1y′x dx
Theo công thức hình thang ta có :
඲
xi
xi+1y′x dx =h
2y′xi+y′′ xi+1 −h3
12y′′′ ci
Với ⇒yi+1−yi≈h
2fxi,yi+fxi+1,yi+1
y0=α
i i i+1
c x ,x