CHƯƠNG V : TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM
VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
5.1. Tính gần đúng đạo hàm
1. Áp dụng công thức Taylor
f𝑥 =fx0+f′x0x−x0+f′′ ε
2x−x02
Đặt: h= x−x0⇒x= x0+h
fx0+h =fx0+f′x0h+f′′ ε
2h2
Khi hkhá bé thì có thể bỏ qua số hạng có ℎ2. Khi đó :
f′x0=fx0+h −fx0
h1
Có thể lấy công thức (1) để tính gần đúng f’(𝑥0) khi ℎkhá bé.
Sai số : Rx0=f′′ ε
2h≤M
2hvới f′′ x ≤M, ∀x∈
x0,x0+h
Ví dụ 1: Cho f(x) = 2𝑥4+𝑥−1 . Tính f′1?
Giải : Chọn h=0.001 ta có :
f′1 =f1+0,001 −f1
0,001 =2,009−2
0,001 =9,01
2. Áp dụng đa thức nội suy
Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy Pnx, với n+1 mốc:
a=x0<x1<x2<⋯<xn=b
fx =Pnx +Rx
⇒f′x =Pn′x +R′x
f′x ≈Pn′(x)với x∈ a,b
Sai số :
R′x = fn+1 c
n+1!ෑ
i=0
nx−xi′
Ví dụ 2: Cho hàm y = f(x) dưới dạng bảng :
x023
y132
Tính gần đúng f′1=?
Giải : Áp dụng công thức nội suy Lagrange hoặc công thức nội
suy Newton, ta thu được đa thức nội suy bảng dữ liệu trên :
P2x =−2
3x2+7
3x+1
⇒f′x ≈P2′x =−4
3x+7
3
Vậy f′1 ≈P2′(1)=−4
3+7
3=1
5.2. Tính gần đúng tích phân xác định
I. CÔNG THỨC HÌNH THANG
1. Xây dựng công thức.
Chia [a,b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia:
xi=a+ih, i = 0, 1, ...
với hlà độ dài mỗi đoạn chia : h = (b -a) / n.
Tính giá trị hàm tại các điểm chia yi=f(xi).