Chương 2
Vành
Vành là một cấu trúc đại số cơ bản; đó là sự kết hợp của độ phức tạp của
một nửa nhóm và các tính chất đủ tốt của một nhóm. Nhà toán học Gauss
(1801) đã nghiên cứu các tính chất số học của các số phức a+bi, với a, b ∈Z,
và các đa thức với hệ số nguyên. Đó là sự khởi đầu của lý thuyết vành và từ
đó lý thuyết này được phát triển theo ba hướng khác nhau. Với sự nỗ lực quan
tâm không ngừng về tập số một cách tổng quát, dẫn đến Dedekind (1871) lần
đầu tiên phát biểu một cách chuẩn tắc các định nghĩa về vành, trường, iđêan,
iđêan nguyên tố,... Quaternion khám phá bởi Hamilton (1843) và được tổng
quát hóa bởi Pierce (1864). Việc nghiên cứu các đường và mặt xác định bởi
các phương trình đa thức đã dẫn đến Hilbert (1890-1893) và một số tác giả
khác nghiên cứu vành đa thức với hệ số trên một trường. Lý thuyết vành hiện
đại bắt đầu từ năm 1920 với những công trình của Noether, Artin, và Krull.
Trong khuôn khổ chương trình toán của trường đại học sư phạm, nội dung
của chương này chỉ trình bày một cách cơ bản các khái niệm và các tính chất
của vành, trường, miền nguyên, vành con, iđêan, đồng cấu vành, đặc số của
vành và một số miền nguyên đặc biệt; chẳng hạn, miền nguyên iđêan chính,
miên nguyên Euclide, miền nguyên nhân tử hóa. Do tính đặc thù của sư phạm,
các vành đặc biệt, như vành các ma trân, không được khảo sát một cách chi
tiết. Trong khi đó những kiến thức trừu tượng của đại số đại cương đòi hỏi
trình bày có mối liên hệ chặt chẽ với chương trinh toán ở phổ thông; chẳng
hạn, vành các số nguyên, vành đa thức, trường các thương của miền nguyên
75
76 Chương 2. Vành
như là cách xây dựng trường số hữu tỷ từ miền nguyên Z,...
§1 VÀNH VÀ TRƯỜNG
Trên tập số nguyên Z, ta xét hai phép toán cộng và nhân thông thường.
Ta nhận thấy rằng Zcùng phép cộng là một nhóm Abel; Zcùng phép nhân là
một nửa nhóm (thậm chí là vị nhóm). Ngoài ra, có mối liên hệ giữa hai phép
toán trên; đó là phép nhân phân phối được với phép cộng. Một tập Xcùng
hai phép toán hai ngôi, cộng và nhân, thỏa mãn các tính chất như thế được
gọi là một vành. Một cách cụ thể hơn, ta có định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.1. Một tập Rkhác rỗng cùng với hai phép hai ngôi, cộng (+)
và nhân (·), được gọi là một vành nếu
(i) (R, +) là một nhóm Abel;
(ii) (R, ·)là một nửa nhóm;
(iii) Phép nhân có tính chất phân phối được với phép cộng; tức là,
a(b+c) = ab +ac và (b+c)a=ba +ca với mọi a, b, c ∈R.
Phần tử trung hòa của nhóm cộng (R, +) được ký hiệu là 0Rhoặc 0. Nếu
phép nhân trên vành Rcó thêm tính chất giao hoán (có phàn tử đơn vị) thì
ta nói rằng Rlà vành giao hoán (có đơn vị). Phần tử đơn vị của vành R(nếu
có) thường được ký hiệu là 1R.
Định nghĩa 1.2.
(i) Một vành Rkhác 0Rcó đơn vị được gọi là một thể nếu mọi phần tử
khác 0Rcủa Rđều khả nghịch.
(ii) Một thể giao hoán được gọi là một trường. Nói một cách khác, trường
là một vành giao hoán khác 0Rcó đơn vị sao cho mọi phần tử khác 0Rđều
khả nghịch.
Ví dụ 1.3.
(1) Như chúng ta đã thấy, tập hợp các số nguyên Zcùng hai phép toán
cộng và nhân thông thường là một vành giao hoán có đơn vị. Vành này được
gọi là vành các số nguyên Z. Tuy nhiên, do Zchỉ có 2phần tử khả nghịch
.Cao Huy Linh-Văn Đức Trung -Trường ĐHSP Huế
§1. Vành và trường 77
(đối với phép nhân) là ±1nên Zkhông phải là một trường. Tương tự, các tập
số quen thuộc Q,R,Ccùng với hai phép toán cộng và nhân thông thường là
các vành giao hoán có đơn vị. Hơn nữa, ta thấy trên các tập này, mọi phần
tử khác 0đều khả nghịch. Do đó các tập số Q,R,Ccùng với hai phép toán
cộng và nhân thông thường là các trường; các trường này lần lượt được gọi là
trường số hữu tỷ Q, trường số thực R, trường số phức C.
(2) Trên tập các số nguyên modulo m,Zm, trong Chương 1 ta đã biết hai
phép toán cộng và nhân quen thuộc: ¯a+¯
b=a+bvà ¯a¯
b=ab với mọi ¯a, ¯
b∈Zm.
Dễ dàng kiểm tra được rằng (Zm,+,·)là vành giao hoán có đơn vị. Nói chung,
Zmkhông nhất thiết là một trường. Trường hợp đặc biệt, nếu plà số nguyên
tố thì Zplà một trường.
(3) Ký hiệu Z[i] = {a+ib |a, b ∈Z}. Ta định nghĩa hai phép toán hai
ngôi trên Z[i]như sau:
(a+ib)+(c+id) = a+c+i(b+d)với mọi a, b, c, d ∈Z,
và
(a+ib)(c+id) = (ac −bd) + i(ad +bc)với mọi a, b, c, d ∈Z.
Dễ dàng kiểm chứng Z[i]cùng hai phép toán cộng và nhân ở trên là một vành
giao hoán có đơn vị. Vành này được gọi là vành các số nguyên Gauss.
(4) Giả sử Glà một nhóm cộng Abel, ký hiệu End(G)là tập hợp các tự đồng
cấu nhóm (đồng cấu nhóm từ Gvào chính nó) của G. Với mọi f, g ∈End(G),
ta định nghĩa phép cộng và phép nhân trên End(G)như sau:
(f+g)(x) = f(x) + g(x)với mọi x∈G,
fg(x) = f(g(x)) với mọi x∈G.
Khi đó, End(G)cùng với hai phép toán ở trên là một vành có đơn vị là đồng
cấu đồng nhất IdG(nói chung là không giao hoán) và vành này được gọi là
vành các tự đồng cấu nhóm.
(5) Giả sử Mn(K)là tập hợp các ma trận vuông cấp ntrên trường K. Trên
tập Mn(K)này, ta đã biết hai phép toán: cộng ma trận và nhân các ma trận
là các phép toán hai ngôi. Lúc đó, Mn(K)cùng hai phép toán cộng và nhân
.Cao Huy Linh-Văn Đức Trung -Trường ĐHSP Huế
78 Chương 2. Vành
vừa nêu ở trên là vành có đơn vị, phần tử đơn vị của vành Mn(K)là ma trận
đơn vị In. Vành này được gọi là vành các ma trận trên trường K. Vành các
ma trận nói chung là không giao hoán.
Giả sử Rlà vành giao hoán có đơn vị. Một cách tương tự, ký hiệu Mn(R)
là tập hợp các ma trận với các phần tử aij thuộc vành R. Ta định nghĩa hai
phép toán cộng và nhân ma trân tương tự như cộng và nhân các ma trân trên
trường. Lúc đó, ta cũng thu được Mn(R)là một vành. Vành này cũng được
gọi là vành các ma trận trên vành R . Chẳng hạn, Mn(Z)là vành các ma trận
trên vành các số nguyên Z.
(6) Cho Klà vành giao hoán có đơn vị. Giả sử K[x1, ..., xn]là tập các đa
thức với hệ tử trên K. Khi đó, K[x1, ..., xn]cùng hai phép toán cộng đa thức
và nhân đa thức trở thành một vành giao hoán có đơn vị. Vành này được gọi
là vành đa thức trên K.
(7) Trên nhóm cộng Zm×Zn, ta định nghĩa thêm phép nhân:
(a1, b1).(a2, b2) = (a1a2, b1b2),
với mọi (a1, b1),(a2, b2),∈Zm×Zn. Khi đó, (Zm×Zn,+,·)là một vành giao
hoán có đơn vị.
Một cách tổng quát, giả sử R, S là các vành. Ta định nghĩa hai phép toán
hai ngôi trên R×Snhư sau:
(a1, b1)+(a2, b2) = (a1+a2, b1+b2);
(a1, b1).(a2, b2) = (a1a2, b1b2),
với mọi (a1, b1),(a2, b2)∈R×S. Khi đó, R×Scùng hai phép toán cộng và
nhân ở trên là một vành. Vành này được gọi là tích các vành Rvà S.
(8) Giả sử X⊆Rvà RXlà tập các hàm số từ Xvào R. Với mọi f, g ∈RX,
ta định nghĩa f+gvà fg như sau:
(f+g)(x) = f(x) + g(x)với mọi x∈X,
fg(x) = f(x).g(x)với mọi x∈X.
Khi đó, RXcùng hai phép toán được định nghĩa ở trên là một vành.
.Cao Huy Linh-Văn Đức Trung -Trường ĐHSP Huế
§1. Vành và trường 79
Bây giờ ta xét một số tính chất đơn giản của vành.
Mệnh đề 1.4. Với mọi x, y là các phần tử của vành R, ta có
(i) x.0R= 0R.x = 0R;
(ii) (−x).y =x.(−y) = −xy;
(iii) (−x).(−y) = x.y.
Chứng minh. Dành cho độc giả.
Hệ quả 1.5. Với số mọi nguyên mvà với mọi x, y là các phần tử của một
vành R, ta có
m(xy) = (mx)y=x(my).
Định nghĩa 1.6. Giả sử Rlà một vành và a∈R\ {0R}.
(1) Phần tử ađược gọi là ước trái (ước phải) của 0Rnếu tồn tại phần tử
b∈R\ {0R}sao cho ab = 0R(tương ứng ba = 0).
(2) Nếu phần tử akhông là ước trái và phải của 0Rthì ta nói alà phần tử
không là ước của 0R. Hay nói một cách khác, một phần tử akhác 0Rđược gọi
là không là ước của 0Rnếu với b, c ∈R:
(ab = 0R⇒b= 0R)và (ca = 0R⇒c= 0R).
Ví dụ 1.7.
(1) Trong vành Z6, từ ¯
2.¯
3 = ¯
0nên ¯
2và ¯
3là các ước trái và phải của ¯
0.
(2) Trong vành các ma trận vuông cấp hai M2(R), ta xét hai phần tử
A= 1 1
0 0 !và B= 0−1
0 1 !. Ta có AB = 0. Do đó, Alà một ước trái
của 0Rvà Blà một ước phải của 0R.
(3) Trên vành các số nguyên Z, mọi phần tử khác 0đều không là ước của
0. Một cách tổng quát ta có khái niệm sau đây.
Định nghĩa 1.8. Một vành giao hoán Rkhác 0R, có đơn vị được gọi là miền
nguyên nếu mọi phần tử khác 0Rcủa vành Rđều không là ước của 0R. Nói
một cách khác, một vành giao hoán Rkhác 0R, có đơn vị được gọi là miền
nguyên nếu ∀a, b ∈R:
ab = 0R⇒a= 0R∨b= 0R.
.Cao Huy Linh-Văn Đức Trung -Trường ĐHSP Huế