VĂN NAM - PHAN VĂN THIỆN
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
NÂNG CAO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUẾ
Huế, tháng 05, năm 2012.
Giáo trình này được viết bởi Văn Nam và Phan văn
Thiện, giảng viên Khoa Toán, Trường ĐHSP - Đại
học Huế. Giáo trình này được dùng để giảng dạy
và học tập học phần đại số đại cương nâng cao mã
số: TOAN4423 (theo mã học phần) .
CÁC KÝ HIỆU THÔNG DỤNG
Ký hiệu Nghĩa ký hiệu
NTập hợp các số tự nhiên
ZTập hợp các số nguyên
QTập hợp các số hữu tỷ
RTập hợp các số thực
CTập hợp các số phức
≡(mod n)Đồng dư theo môđulô n
ZnVành các lớp thặng dư theo môđulô n
Z∗
nNhóm các lớp khả nghịch của vành Zn
ZpTrường các lớp thặng dư theo môđulô p(pnguyên tố)
GsNhóm đẳng hướng của phần tử strong G
Gs Quỹ đạo của phần tử sđối với nhóm G
Z(G)Tâm của nhóm G
Card SBản số của tập S
cấp GCấp của nhóm G
(G:H)Chỉ số của nhóm con Htrong nhóm G
✁Nhóm con chuẩn tắc
CxCái chuẩn tắc hóa của x
SL(n,F)Nhóm các ma trận vuông cấp ntrên trường Fvới định thức bằng 1
⊕Tổng trực tiếp
Rop Vành đối của vành R
[P]Môđun con sinh bởi bộ phận P
[x1,...,xn]Môđun con sinh bởi x1,...,xn
[x]Môđun con cyclic sinh bởi x
Tor(M)Bộ phận gồm các phần tử xoắn của môđun M
M/M′Môđun thương của môđun Mtrên môđun con M′
Im hẢnh của đồng cấu môđun (đại số) h
Ker hHạt nhân của đồng cấu môđun (đại số) h
Coim hĐối ảnh của đồng cấu môđun (đại số) h
ii
Coker hĐối hạt nhân của đồng cấu môđun (đại số) h
SnNhóm đối xứng cấp n
AnNhóm thay phiên cấp n
HomR(M,N)Tập các đồng cấu R−môđun từ Mvào N
EndR(M)Tập các tự đồng cấu R−môđun của M
GLR(M)Nhóm tuyến tính tổng quát
Q
i∈IMiTích của họ R−môđun (Mi)i∈I
`
i∈IMiĐối tích của họ R−môđun (Mi)i∈I
⊗Tích tenxơ
Z(A)Tâm của K−đại số A
A/I Đại số thương của K−đại số Atrên iđêan I
iii
LỜI NÓI ĐẦU
Học phần Đại số đại cương nâng cao đã được Trường Đại học Sư phạm-Đại
học Huế đưa vào chương trình đào tạo, theo học chế tín chỉ, của Khoa Toán
từ năm 2008−2009.Đây là học phần đòi hỏi sinh viên phải nắm chắc các kiến
thức trong các học phần Đại số tuyến tính, Đại số đại cương.
Giáo trình này viết trung thành với nội dung và tinh thần trong Đề cương
chi tiết, theo học chế tín chỉ, của học phần này, do Khoa Toán của Trường Đại
học Sư phạm Huế biên soạn. Các khái niệm cơ bản về nhóm Aben, về môđun
và đại số, được trình bày chính xác với các thí dụ minh họa. Hầu hết các định
lý được chứng minh đầy đủ. Giảng viên, tùy theo quỹ thời gian, có thể hướng
dẫn cho sinh viên tự đọc và thuyết trình trên lớp một số phần, một số chứng
minh. Cuối mỗi chương, đều có phần tóm tắt với các định nghĩa chính, các
định lý và các công thức chủ yếu. Và phần bài tập đã được chọn lọc kỹ, kèm
đáp số và hướng dẫn.
Giáo trình gồm ba chương. Trong chương 1, trình bày tác động của nhóm
trên tập và từ đó khảo sát nhóm con Sylow, nhóm Aben tự do, nhóm Aben
hữu hạn sinh. Trong chương 2, trình bày các kiến thức cơ bản có liên quan
đến môđun. Trong chương 3, trình bày các kiến thức cơ bản về đại số và một
số kiểu đại số.
Viết giáo trình này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng
nghiệp đã giảng dạy học các học phần có liên quan đến học phần Đại số đại
cương nâng cao. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các giảng viên đã đọc bản
thảo và đóng góp nhiều ý kiến xác đáng.
Cuối cùng, chúng tôi rất mong được bạn đọc vui lòng chỉ cho những thiếu
sót của cuốn sách để góp phần xây dựng giáo trình Đại số đại cương nâng cao
này được tốt hơn.
Huế, ngày 10 tháng 02 năm 2011.
Văn Nam - Phan văn Thiện
iv