ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ VĂN THUYẾT VÀ TRƯƠNG CÔNG QUỲNH
GIÁO TRÌNH
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG 2
HUẾ - 2023
i
GS. TS. LÊ VĂN THUYẾT, PGS. TS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNH
GIÁO TRÌNH
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG 2
(Tài liệu dành cho sinh viên Ngành Toán)
HUẾ - 2023
ii
.
Giáo trình được viết bởi GS. Lê Văn Thuyết (Trường Đại Sư phạm -
Đại học Huế) và PGS. Trương Công Quỳnh (Trường Đại Sư phạm - Đại học
Đà Nẵng). Giáo trình này được viết căn cứ vào chương trình đào tạo của
Khoa Toán, Trường Đại Sư phạm - Đại học Huế dành cho sinh viên đại học
của Khoa (thường được dạy vào năm thứ hai của sinh viên ngành Toán) với
tên gọi môn học là ”Đại số đại cương 2” (MATH04322).
iii
MỤC LỤC
Lời nói đầu vi
Danh mục các ký hiệu 2
Chương 1. Môđun 3
§1. Khái niệm môđun ........................... 3
1.1 Định nghĩa và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Cácvídụ ............................... 5
§2. Môđun con và môđun thương ..................... 8
2.1 Môđuncon .............................. 8
2.2 Giao và tổng các môđun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Môđunthương ............................ 15
§3. Đồng cấu môđun ............................ 19
3.1 Địnhnghĩavàvídụ ......................... 20
3.2 Nhómcácđồngcấu.......................... 23
3.3 Các định lý đồng cấu và đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§4. Tích và tổng trực tiếp của các môđun ................. 32
4.1 Các định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Tổngtrựctiếptrong ......................... 37
4.3 Hạngtửtrựctiếp........................... 39
§5. Môđun tự do .............................. 42
5.1 Các định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Mối quan hệ giữa R-môđun tự do và R-môđun........... 45
§6. Tích tenxơ của các môđun trên vành giao hoán ............ 47
6.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 Tích tenxơ của các đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Tích tenxơ và tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4 Tính kết hợp và giao hoán của tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . 54
Tóm tắt Chương 1 ............................. 56
Hướng dẫn giải bài tập ........................... 62
Bài tập tổng hợp Chương 1 ......................... 69
Chương 2. Đại số 74
§1. Các tính chất cơ bản của đại số .................... 74
1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.2 Đại số thông qua ngôn ngữ tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§2. Đại số con ............................... 79
2.1 Định nghĩa và các tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2 Đại số con sinh bởi các tập con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
§3. Iđêan và đại số thương ......................... 81
3.1 Iđêan.................................. 81
3.2 Đạisốthương............................. 83
§4. Đồng cấu đại số, tích và tổng trực tiếp, tích tenxơ của đại số ..... 86
4.1 Địnhnghĩavàvídụ ......................... 86
4.2 Ảnhvànhân ............................. 87
4.3 Các định lý về đồng cấu và đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của các đại số . . . . . . . . . . . 90
4.5 Tích tenxơ của các đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
§5. Một số đại số quan trọng ........................ 96
5.1 Đạisốbậchai............................. 96
5.2 ĐạisốQuaternion .......................... 99
Tóm tắt Chương 2 .............................104
Hướng dẫn giải bài tập ...........................107
Bài tập tổng hợp Chương 2 .........................110
Phụ lục 114
§1. Định nghĩa và mô hình .........................114
1.1 Ánh xạ song tuyến tính và tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . 114
1.2 Tính duy nhất và sự tồn tại của tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . 115
§2. Cấu trúc môđun và các tính chất ....................119
2.1 Cấutrúcmôđun ...........................119
2.2 Tích tenxơ của các đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.3 Các tính chất của tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Tài liệu tham khảo 123
Chỉ mục 124