BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN
GIÁO TRÌNH
ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI
VINH - 2023
MỤC LỤC
Mục lục 1
Mở đầu 6
1 Môđun 7
1.1. Sơ lược về sự hình thành và phát triển của Đại số hiện
đại ................................ 8
1.1.1 Đại số sơ cấp và đại số hiện đại . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Sự phát triển của đại số hiện đại . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Đại số hiện đại nghiên cứu các cấu trúc đại số . . . 12
1.2. Nhắc lại các kiến thức cơ sở về nửa nhóm, nhóm, vành
và trường ............................ 19
1.2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.3 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.4 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.5 Ước của không, miền nguyên . . . . . . . . . . . . 31
1.2.6 Phần tử khả nghịch, trường . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.7 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1
1.2.8 Các cấu trúc con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.9 Các cấu trúc thương . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.10 Đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.3. Các khái niệm cơ bản về môđun . . . . . . . . . . . . . 53
1.3.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.3.2 Môđun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.3.3 Môđun thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.3.4 Linh hoá tử của môđun . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.3.5 Tổng và giao các môđun con . . . . . . . . . . . . 60
1.3.6 Tập sinh, môđun hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . 62
1.3.7 Môđun đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.4. Đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.4.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . 65
1.4.2 Môđun các R-đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.4.3 Các định lý đồng cấu và đẳng cấu . . . . . . . . . 68
1.5. Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun . . . . . . . . . . 71
1.5.1 Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.5.2 Tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.5.3 Tổng trực tiếp trong . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.5.4 Môđun phân tích được và môđun không phân tích
được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.6. Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.6.1 Phức các môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2
1.6.2 Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.6.3 Dãy khớp ngắn chẻ ra . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Tóm tắt Chương 1 90
Bài tập Chương 1 91
2 Đại số 93
2.1. Các khái niệm cơ bản về đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.1.2 Đại số con, iđêan và đại số thương . . . . . . . . . 95
2.1.3 Đồng cấu đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1.4 Một cách khác để mô tả một đại số . . . . . . . . 98
2.1.5 Đại số hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2. Đại số trên một trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.2.1 Chiều của đại số trên một trường . . . . . . . . . . 101
2.2.2 Đại số Quaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.2.3 Biểu diễn của một đại số, Định lý Frobenius . . . . 105
Tóm tắt Chương 2 112
Bài tập Chương 2 114
3 Môđun tự do, tích tenxơ và địa phương hoá 116
3.1. Môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1.1 Khái niệm môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . 116
3
3.1.2 Cơ sở của môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.1.3 Môđun tự do trên một tập . . . . . . . . . . . . . 120
3.2. Tích tenxơ của hai môđun trên vành giao hoán . . . . . . . . 121
3.2.1 Xây dựng tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2.2 Một số tính chất cơ bản của tích tenxơ . . . . . . 128
3.2.3 Tích tenxơ của hai không gian vectơ . . . . . . . . 133
3.3. Địa phương hoá và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.3.1 Vành các thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.3.2 Môđun các thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.3.3 Ứng dụng của địa phương hoá . . . . . . . . . . . 151
Tóm tắt Chương 3 154
Bài tập Chương 3 157
4 Môđun hữu hạn sinh trên vành chính 159
4.1. Môđun tự do trên vành chính . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.1.1 Môđun con của môđun tự do . . . . . . . . . . . . 159
4.1.2 Môđun xoắn và môđun không xoắn . . . . . . . . 162
4.2. Cấu trúc môđun hữu hạn sinh trên vành chính . . . . . . . . 166
4.2.1 Phần tử nguyên tố trong vành giao hoán . . . . . . 166
4.2.2 Định lí phân tích thứ nhất . . . . . . . . . . . . . 167
4.2.3 Định lý phân tích thứ hai . . . . . . . . . . . . . . 175
Tóm tắt Chương 4 180
4