CAO HUY LINH (CHỦ BIÊN), VĂN ĐỨC TRUNG
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUẾ
Huế, ngày 20 tháng 12 năm 2023
Giáo trình này được viết bởi Cao Huy Linh và Văn
Đức Trung, giảng viên Khoa Toán, Trường ĐHSP
- Đại học Huế. Giáo trình này được dùng để giảng
dạy và học tập học phần Đại số đại cương 1 mã số:
MAT03353 (theo mã học phần) .
CÁC KÝ HIỆU THÔNG DỤNG
Ký hiệu Nghĩa ký hiệu
NTập hợp các số tự nhiên
ZTập hợp các số nguyên
QTập hợp các số hữu tỷ
RTập hợp các số thực
CTập hợp các số phức
≡(mod n)Đồng dư theo môđulô n
ZnTập hợp các số nguyên môđulô n
Z∗
nTập hợp các số nguyên môđulô nkhác không
Z[i]Vành các số nguyên Gauss
H≤G H là nhóm con của G
XXTập hợp các ánh xạ từ Xvào X
RXTập hợp các hàm số có cùng tập xác định là X
Z(G)Tâm của nhóm G
Z(R)Tâm của vành R
|G|Cấp của nhóm G
ord(a)Cấp của phần tử a
[G:H]Chỉ số của nhóm con Htrong nhóm G
✁Nhóm con chuẩn tắc
GLn(K)Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường K
SLn(K)Nhóm tuyến tính đặc biệt
[G,G]Nhóm sinh bởi các giao hoán tử của G
Aut(G)Nhóm các tự đẳng cấu nhóm của G
⊕Tổng trực tiếp
SnNhóm đối xứng bậc n
sign(α)Dấu của phép thế α
(i1i2··· ik)Vòng xích độ dài k
(i1i2)Phép chuyển trí
hXiNhóm con sinh bởi bộ phận X
ii
(XiIđêan trái sinh bởi bộ phận X
hX)Iđêan phải sinh bởi bộ phận X
(X)Iđêan hai phía sinh bởi bộ phận X
[X]Vành con sinh bởi bộ phận X
G/H Nhóm thương của nhóm Gtrên nhóm con chuẩn tắc H
R/I Vành thương của vành Rtrên iđêan hai phía I
Im fẢnh của đồng cấu nhóm (vành) f
Ker fHạt nhân của đồng cấu nhóm (vành) f
AnNhóm thay phiên cấp n
Hom(G,H)Tập các đồng cấu nhóm từ Gvào H
End(G)Tập các tự đồng cấu nhóm của G
a|b a là ước của bhay achia hết b
a.
.
.b a chia hết cho bhay alà bội số của b
0RPhần tử trung hòa của R
1RPhần tử đơn vị của R
U(R)Tập hợp các phần tử khả nghịch của vành R
K[x]Tập hợp các đa thức một biến với hệ tử trên vành giao hoán K
K[x1,...,xn]Tập hợp các đa thức nbiến với hệ tử trên vành giao hoán K
iii
LỜI NÓI ĐẦU
Đại số đại cương hay còn gọi là đại số trừu tượng (Abstract Algebra) là
môn học nghiên cứu các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường, môđun và
đại số. Trong chương trình ngành Toán của trường Đại Học Sư Phạm, Đại học
Huế (viết tắt là trường ĐHSP Huế) các cấu trúc đại số này được xây dựng
một cách hệ thống từ chương trình đại học đến chương trình cao học. Trong
chương trình đại học, các cấu trúc đại số cơ bản được thiết kế giảng dạy qua
các học phần: Đại số đại cương 1, Đại số đại cương 2, Lý thuyết môđun (học
phần tự chọn). Ngoài ra, các học phần Lý thuyết Galois, Số học, Đa thức và
nhân tử hóa (tự chọn) là những ứng dụng đẹp đẽ của đại số cấu trúc và được
giảng dạy cho sinh viên ở năm thứ ba và năm thứ tư của chương trình đại học.
Một số cấu trúc đại số chuyên sâu được xây dựng để giảng dạy trong chương
trình cao học với các học phần như Lý thuyết nhóm, Đại số giao hoán, Lý
thuyết vành và môđun... Học phần Đại số đại cương 1 bao gồm các kiến thức
về cấu trúc nhóm, vành và trường được giảng dạy ở năm thứ hai của khoa
Toán thuộc trường ĐHSP Huế. Ngày nay, lý thuyết nhóm, vành và trường đã
thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của toán học như lý thuyết mã, lý thuyết
mật mã, hình học, tôpô, vật lý lý thuyết, hóa học lượng tử,...
Giáo trình Đại số đại cương 1 được chúng tôi biên soạn nhằm mục đích
phục vụ nhu cầu giảng dạy và học tập của sinh viên ngành Toán thuộc trường
ĐHSP Huế. Giáo trình được viết sát với nội dung đề cương của chương trình
hiện hành. Không những thế, giáo trình này là một tài liệu tham khảo phù
hợp cho tất cả các sinh viên ngành Toán của các trường đại học nói chung
trong cả nước.
Với đối tượng chính mà chúng tôi hướng đến là sinh viên sư phạm nên nội
dung của giáo trình trang bị cho người học một khối lượng kiến thức cơ bản,
vừa phải, gắn với chương trình phổ thông. Mỗi một khái niệm trong giáo trình
được minh họa nhiều ví dụ phong phú, các ví dụ này thường ưu tiên trên các
tập số quen thuộc với chương trình phổ thông, một số ví dụ khác thường lấy
trên tập Zn,Sn,K[x],GLn(K)nhằm giúp sinh viên ứng dụng vào các dạng
toán sơ cấp nâng cao; đồng thời tạo nền tảng cho sinh viên học các môn học
tiếp theo như Số học, Lý thuyết Galois, Đa thức và nhân tử hóa cũng như các
iv