1
Bài tập phần Thống kê Toán
Phần I. Bài toán ước lượng
1. Trong một cuộc điều tra 150 người nghiện thuốc lá được chọn ngẫu nhiên. Người ta tính được
số điếu thuốc hút trong một tuần của họ có trung bình là 97 và độ lệch tiêu chuẩn là 36. Tìm
khoảng tin cậy 99% cho số điếu thuốc hút trung bình trong 1 tuần của người nghiện thuốc lá.
Biết số điếu thuốc hút trong một tuần của người nghiện thuốc là biến ngẫu nhiên có phân phối
(xấp xỉ) chuẩn.
2. Tuổi thọ của một loại bóng đèn do một dây chuyền sản xuất ra có độ lệch chuẩn là 95 giờ.
Điều tra 50 bóng đèn loại này tính được tuổi thọ trung bình là 350 giờ. Giả thiết tuổi thọ của
bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình tối đa của loại bóng đèn này.
b) Nếu muốn ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn đạt độ chính xác là 25 giờ và
độ tin cậy 98% thì cần điều tra bao nhiêu bóng?
3. Chỉ tiêu A của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Mẫu điều
tra về chỉ tiêu A (tính bằng %) của sản phẩm này được cho trong bảng
Xi
0 – 5
5 – 10
10 – 15
15 – 20
20 – 25
25 – 30
30 – 35
35 – 40
ni
7
12
20
25
18
12
5
1
a) Hãy ước lượng trung bình chỉ tiêu A với độ tin cậy 95%.
b) Hãy ước lượng trung bình tối thiểu của chỉ tiêu A với độ tin cậy 95%.
c) Nếu muốn ước lượng trung bình chỉ tiêu A đạt độ tin cậy 95% và độ chính xác 1,2% thì
cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?
d) Nếu sử dụng mẫu này để ước lượng trung bình các sản phẩm đạt độ chính xác 1% thì đảm
bảo độ tin cậy là bao nhiêu?
e) Những sản phẩm có chỉ tiêu A không quá 10% là loại 2. Hãy ước lượng trung bình chỉ
tiêu A các sản phẩm loại 2 với độ tin cậy 95%, biết rằng chỉ tiêu A các sản phẩm loại 2 là
biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
4. Cơ quan cảnh sát giao thông kiểm tra hệ thống phanh của 100 chiếc xe tải trên đường quốc
lộ. Họ phát hiện 35 chiếc có phanh chưa đảm bảo.
a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ xe tải có phanh chưa an toàn.
b) Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỉ lệ xe tải có phanh tốt.
5. Điều tra ngẫu nhiên thu nhập/tháng của 100 nhân viên công ty A thu được kết quả sau:
Thu nhập (triệu đồng)
3,0
3,2
3,4
3,6
4,0
Số nhân viên
5
15
25
30
5
a) Ước lượng mức thu nhập/tháng trung bình của nhân viên công ty A với độ tin cậy 0,95.
2
b) Hãy ước lượng tỉ lệ nhân viên công ty A có thu nhập không quá 3,6 triệu đồng/tháng với
độ tin cậy 0,95.
Biết thu nhập/tháng của nhân viên công ty này là biến ngẫu nhiên có phân phôi (xấpxỉ) chuẩn.
6. Điều tra doanh thu trong tuần (triệu đồng) của một số cửa hàng bán tạp phẩm ở vùng A, người
ta thu được số liệu sau:
Doanh thu trong tuần
21
22
23
24
25
26
Số cửa hàng
7
17
29
27
15
5
Với độ tin cậy 95% hãy:
a) Tìm khoảng tin cậy cho doanh thu/tuần trung bình tối thiểu của mỗi cửa hàng tạp phẩm ở
vùng A.
b) Tìm khoảng tin cậy cho độ phân tán của doanh thu/tuần.
c) Tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ số cửa hàng có doanh thu/tuần dưới 23 triệu đồng.
7. Để nghiên cứu nhu cầu về một loại hàng ở một khu vực, người ta tiến hành khảo sát về nhu
cầu mặt hàng này ở 400 hộ gia đình, kết quả cho trong bảng:
Nhu cầu (kg/tháng)
0 – 1
1 – 2
2 – 3
3 – 4
4 – 5
5 – 6
6 – 7
7 – 8
Số hộ
10
35
86
132
78
31
18
10
Giả sử khu vực nghiên cứu có 4000 hộ và nhu cầu về loại hàng này là biến ngẫu nhiên có phân
phối (xấp xỉ) chuẩn.
a) Ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực trong một năm với độ
tin cậy 95%.
b) Khi ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực trong một năm, nếu
ta muốn độ tin cậy đạt được 99% và độ chính xác là 4,8 tấn thì cần khảo sát nhu cầu loại
hàng này thêm bao nhiêu hộ gia đình trong vùng này nữa?
8. Lãi suất cổ phiếu của một công ty là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Giá trị
trong 10 năm qua (đơn vị: %) là: 15, 12, 20, 8,10, 16, 14, 22, 18, 19. Với độ tin cậy 95%, hãy
ước lượng:
a) Độ phân tán (phương sai) của lãi suất cổ phiếu này.
b) Độ phân tán tối đa của lãi suất cổ phiếu này.
c) Độ phân tán tối thiểu của lãi suất cổ phiếu này.
9. Kết quả quan sát về hàm lượng vitamin C của một loại trái cây cho ở bảng sau:
Hàm lượng vitamin C(%)
3 – 7
8 – 10
11 – 13
14 – 16
17 – 19
20 – 24
Số trái cây
5
10
20
35
25
5
Biết hàm lượng vitamin C ở trái cây này là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
3
a) Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của hàm lượng vitamin C trung bình
trong mỗi trái;
b) Qui ước những trái cây có hàm lượng vitamin C từ 17% trở lên là loại 1. Nếu muốn độ
chính xác khi ước lượng hàm lượng vitamin C trung bình là 𝜀1≤ 0,5 và độ chính xác khi
ước lượng tỉ lệ trái cây loại 1 là 𝜀2≤ 0,05 với cùng độ tin cậy 95% thì cần mẫu có kích
thước tối thiểu bao nhiêu?
10. Để đánh giá trữ lượng cá trong hồ người ta đánh bắt 2000 con cá, đánh dấu rồi thả xuống hồ.
Sau đó bắt lại 400 con thì thấy có 80 con có dấu.
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng trữ lượng cá trong hồ.
b) Nếu muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa thì lần sau phải đánh bắt bao nhiêu con?
11. Lô hàng có rất nhiều sản phẩm loại A và 1000 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên 400 sản phẩm
từ lô hàng để kiểm tra thì thấy có 36 sản phẩm loại B.
a) Với độ tin cậy 0,95, hãy ước lượng số sản phẩm loại A có trong lô hàng.
b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A có trong lô hàng đạt được độ chính xác 5% thì
độ tin cậy đạt được bao nhiêu %?
12. Để ước lượng số tờ bạc giả của một loại giấy bạc người ta đánh dấu 200 tờ bạc giả loại này
rồi tung vào lưu thông. Sau một thời gian ngắn kiểm tra 600 tờ bạc giả loại này có 15 tờ được
đánh dấu. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số tờ bạc giả loại này.
Phần II. Bài toán Kiểm định giả thuyết
1. Khối lượng trung bình của một gói đường do một máy tự động đóng gói theo thiết kế là 500
gam/gói. Nghi ngờ máy đóng gói đường làm việc không bình thường làm cho khối lượng của
gói đường có xu hướng giảm sút. Người ta lấy ngẫu nhiên 30 gói cân thử được khối lượng
trung bình là 495 gam và độ lệch chuẩn s =10 gam. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận về nghi
ngờ trên.
2. Chỉ tiêu chất lượng A của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
Một mẫu điều tra được kết quả cho trong bảng:
xi (gam)
200
220
240
260
280
Số sản phẩm
3
7
16
17
7
a) Có tài liệu cho rằng trung bình chỉ tiêu A các sản phẩm loại này là 250 gam. Cho nhận xét
về tài liệu này với mức ý nghĩa 5%.
b) Những sản phẩm có chỉ tiêu A nhỏ hơn 240 gam là loại 2. Có tài liệu cho rằng trung bình
chỉ tiêu A các sản phẩm loại 2 là 220 gam. Hãy cho nhận xét về tài liệu này với mức ý
nghĩa 2%. Giả thiết chỉ tiêu A của sản phẩm loại 2 có phân phối chuẩn.
3. Điều tra doanh số bán hàng X (đơn vị: triệu đồng/tháng) của các hộ kinh doanh một loại hàng
năm nay cho số liệu:
4
Doanh số (tr.đồng/tháng)
11
11,5
12
12,5
13
13,5
Số hộ
10
15
20
30
15
10
a) Những hộ có doanh số trên 12,5 triệu đồng/tháng là những hộ có doanh số cao. Có tài liệu
cho rằng tỉ lệ hộ có doanh số cao là 35%. Cho nhận xét về tỉ lệ trong tài liệu đó với mức
ý nghĩa 5%?
b) Năm trước doanh số bán hàng trung bình của các hộ này là 120 triệu/1 năm. Có thể cho
rằng doanh số bán hàng của các hộ này năm nay tăng lên không, với mức ý nghĩa 1%?
4. Nếu áp dụng phương pháp công nghệ thứ nhất thì tỉ lệ phế phẩm là 9%, còn áp dụng phương
pháp công nghệ thứ hai thì trong 100 sản phẩm có 4 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 5%, có thể
cho rằng áp dụng phương pháp công nghệ thứ hai cho tỉ lệ phế phẩm thấp hơn không?
5. Lô hàng đủ tiêu chuẩn xuất khẩu nếu tỉ lệ phế phẩm không vượt quá 3%. Kiểm tra ngẫu nhiên
400 sản phẩm của lô hàng thấy có 14 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 0,05 có cho phép lô hàng
xuất khẩu được không?
6. Tỉ lệ phế phẩm do một máy tự động sản xuất là 5%. Kiểm tra một mẫu ngẫu nhiên 300 sản
phẩm thấy có 24 sản phẩm là phế phẩm. Từ đó có ý kiến cho rằng tỉ lệ phế phẩm do máy đó
sản xuất có chiều hướng tăng lên. Hãy kết luận ý kiến nêu trên với mức ý nghĩa 0,05.
7. Một nhà máy sản xuất bóng đèn cho rằng chất lượng bóng đèn loại này được coi là đồng đều
nếu tuổi thọ của các bóng đèn có độ lệch chuẩn bằng 1000 giờ hoặc ít hơn. Lấy ngẫu nhiên
10 bóng để kiểm tra thì tìm được độ lệch chuẩn mẫu s = 1150. Vậy với mức ý nghĩa 5% có
thể coi chất lượng bóng đèn loại này do công ty sản xuất là đồng đều hay không. Biết tuổi thọ
của bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
8. Khối lượng của con gà lúc mới nở là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Nghi ngờ
độ đồng đều về trọng lượng gà con giảm sút người ta cân thử 12 con và tìm được s2 = 11,41
(gam)2. Với mức ý nghĩa 0,05, hãy kết luận về điều nghi ngờ trên biết rằng độ phân tán của
khối lượng gà con là σ2 = 10 (gam)2.
9. Chiều cao thanh niên ở hai vùng A và B là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Ở
vùng A, chiều cao trung bình của thanh niên là 164 cm và độ lệch chuẩn 5,63 cm. Điều tra
ngẫu nhiên 200 thanh niên ở vùng B, tính được ∑𝑥𝐵𝑖=32900
200
𝑖=1 , ∑𝑥𝐵𝑖
2
200
𝑖=1 =5418400,
trong đó 𝑥𝐵𝑖 là chiều cao thanh niên thứ 𝑖 (𝑖 = 1,200). Có thể cho rằng độ đồng đều về chiều
cao của thanh niên vùng A là hơn vùng B hay không? Kết luận với mức ý nghĩa 5%.
Phần III. Bài tập tổng hợp
1. Năng suất lúa của vùng A là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Thu hoạch ngẫu
nhiên 100 ha của vùng trong vụ này tính được năng suất trung bình là 𝑥 = 37,9 (tạ/ha) và
∑(𝑥𝑖− 𝑥)2
100
𝑖=1 =1059.
5
a) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng với độ tin cậy 95%.
b) Nếu vụ trước năng suất lúa trung bình của vùng này là 35 (tạ/ha), thì với mức ý nghĩa 5%
có thể cho rằng năng suất lúa vụ này cao hơn được không?
2. Năng suất một giống lúa chất lượng cao tại vùng A là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ)
chuẩn. Thu hoạch ngẫu nhiên 256 ha lúa vùng được các số liệu: 𝑥=15,027 (tạ/ha),
∑(𝑥𝑖− 𝑥)2
256
𝑖=1 =148,809.
a) Hãy ước lượng năng suất trung bình tối thiểu của giống lúa trên với độ tin cậy 0,95.
b) Khi mới đưa ra sản xuất, phương sai của năng suất giống lúa trên tại vùng A là 5 (tạ/ha)2.
Người ta nghi ngờ giống lúa trên đã bị thoái hóa nên nó không ổn định so với trước đây.
Dựa vào mẫu trên hãy kết luận về nghi ngờ trên với mức ý nghĩa 5%.
3. Khảo sát về thu nhập của một số người làm việc ở một công ty, người ta thu được bảng số
liệu:
Thu nhập
(triệu đồng/năm)
20 – 26
26 – 30
30 – 34
34 – 38
38 – 42
42 – 50
Số người
20
50
130
110
60
30
a) Những người có thu nhập không quá 30 triệu đồng/năm là những người có thu nhập thấp.
Với độ tin cậy 96%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của tỉ lệ người có thu nhập thấp của
công ty.
b) Nếu công ty báo cáo mức thu nhập bình quân của một người là 3 triệu đồng/tháng thì có
tin cậy được không (kết luận với mức ý nghĩa 5%)?
c) Nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình của một người ở công ty này với độ chính xác
0,5 triệu đồng/năm thì độ tin cậy đạt được bao nhiêu?
4. Thu nhập hàng tháng của một công nhân ở xí nghiệp N là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp
xỉ) chuẩn. Năm nay, điều tra ngẫu nhiên 100 công nhân thu được số liệu sau:
Thu nhập
(triệu đồng/tháng)
5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
Số công nhân
5
15
20
30
15
9
6
a) Biết xí nghiệp N có 1000 công nhân, ước tính thu nhập hàng tháng trung bình của toàn bộ
công nhân ở xí nghiệp này;
b) Với độ tin cậy 95%, ước lượng thu nhập hàng tháng trung bình tối thiểu của 1 công nhân
xí nghiệp N.
c) Nếu trước đó 1 năm tỉ lệ công nhân có thu nhập trên 7 triệu đồng/tháng là 10% thì với
mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng tỉ lệ này năm nay đã tăng lên không?
5. Mẫu điều tra về giá bán X (đơn vị: 1000 đồng) của mỗi cổ phiếu A trên thị trường chứng
khoán trong các phiên giao dịch được cho ở bảng sau:
xi
11 – 13
13 – 15
15 – 17
17 – 19
19 – 21
21 – 23
23 – 25