Giảng viên: Lê Thị Thanh Hải
Bộ môn Toán _ Khoa KHUD Ôn tập Toán kinh tế 2
Trang 1
MỘT SỐ CÂU HỎI ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ
Bài 1. Tính vi phân toàn phần dz trong các trường hợp sau
a)
z z x
và 7
4 3
x
z z e
b)
,
z z x y
và
23 2
z x y x y xy
c)
,
z z x y
và 2 2
7 2 1
y
x z z
x
Bài 2. Tính các đạo hàm
, , ,
u u v v
x y y z
biết
( , , ); , ,
u u x y z v v x y z
được xác
định như sau
a)
2 3 6 0
4 2
u v x z
u v x y
b)
2 2
2
5 3 9
3 1
u y z x
v x zy
Bài 3. Giả sử sản lượng cá trong hồ Q phụ thuộc vào các yếu tố: lượng nước trong hồ
(W), nhiệt độ môi trường (T) và lượng thức ăn (F) như sau
2
2 100
T
Q
Q WT e
F
a) Nhiệt độ và thức ăn ảnh hưởng như thế nào đến sản lượng cá.
b) Nếu lượng nước và nhiệt độ ổn định nhưng lượng thức ăn giảm một nửa thì sản
lượng cá thay đổi như thế nào?
c) Nếu lượng nước giảm 0.4 đơn vị, nhiệt độ ổn định, còn thức ăn tăng 0.4 đơn vị
thì sản lượng thay đổi như thế nào?
Bài 4. Xét mô hình cung cầu như sau:
0.05
, ( ) 2 5
, 1
d P
s
Q D P T D P e
Q S P S P P
Với P là giá sản phẩm, T là mức thuế mà người tiêu dùng phải trả trên mỗi đơn vị sản
phẩm.
a) Với thị trường cân bằng, hãy cho biết thuế ảnh hưởng như thế nào đến giá sản
phẩm và lượng cầu cân bằng.
b) Nếu thuế giảm 0.1 đơn vị thì lượng cầu cân bằng thay đổi như thế nào?
Giảng viên: Lê Thị Thanh Hải
Bộ môn Toán _ Khoa KHUD Ôn tập Toán kinh tế 2
Trang 2
Bài 5. Xét mô hình cung cầu như sau:
1
2
2
, ( ) 3 7
, 5
d
s
Q D P T D P P
Q S P T S P P
Trong đó P là giá sản phẩm và với mỗi đơn vị sản phẩm thì người tiêu dùng phải trả
mức thuế T1 và nhà sản xuất phải trả mức thuế T2.
a) Với thị trường cân bằng, hãy cho biết các mức thuế ảnh hưởng như thế nào đến
lượng cầu cân bằng.
b) Nếu thuế T1 giảm 0.1 đơn vị, thuế T2 giảm 0.2 đơn vị thì lượng cầu cân bằng
thay đổi như thế nào?
Bài 6: Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas
1
1
3
2
( , )
Q F L K K L
.
Xét bài toán lợi nhuận cực đại với hàm lợi nhuận là
11
32
( , , , )
L K w r K L wL rK
trong đó w là mức lương và r là lãi suất tiền vốn.
a) Tìm lượng lao động tối ưu
*
,
L w r
và lượng vốn tối ưu
*
,
K w r
. Từ đó chứng
minh rằng
* *
, ,
L w r K w r
r w
.
b) Không cần tính lượng lao động và lượng vốn tối ưu, hãy sử dụng vi phân toàn
phần để chứng minh
* *
, ,
L w r K w r
r w
.
Bài 7: Chứng minh các hàm sau đây là hàm thuần nhất và xác định bậc của chúng.
a)
2 2
, 5
Q x y x xy y
c)
3 2 3
, 2
Q x y x xy y
b)
0.4 0.3
, 0.25
Q L K L K
d)
1
3 3
3
2 2
1 1
,4 3
Q L K L K
Bài 8: Cho hàm
2 2 2 2
, ,
f x y t x y t x ty
với x, y là các yếu tố nội sinh và tham
số t là một yếu tố ngoại sinh.
a) Tìm hàm tối ưu
*
f t
b) Áp dụng định lý bao tính
*
df t
dt
Giảng viên: Lê Thị Thanh Hải
Bộ môn Toán _ Khoa KHUD Ôn tập Toán kinh tế 2
Trang 3
Bài 9: Một nhà độc quyền bán ra 2 loại sản phẩm X và Y với các hàm cầu là
25 0.5 ; 40 2
x y
x P y P
trong đó Px và Py là giá bán của 2 loại sản phẩm X và Y.
Cho biết hàm tổng chi phí là
2 2
C x xy y
. Tìm lợi nhuận cực đại.
Bài 10. Xét hàm lợi ích tiêu dùng trên 2 loại hàng hóa với nhu cầu lần lượt là Q1 và Q2
như sau
1 2 1 2
,
U Q Q QQ
Biết giá của 2 loại hàng hóa trên lần lượt là P1 và P2 với mức thu nhập là
720
Y
a) Tìm các hàm cầu Marshallian
* *
1 1 2 2 1 2
, ; ,
Q P P Q P P
và lợi ích biên của thu nhập
*
1 2
,
P P
b) Tìm lợi ích cực đại
*
1 2
,
U P P
Bài 11. Sản lượng của một nhà máy cho bởi
0.7 0.1
, , 0.5 a
Q K L a K L
trong đó K, L là lượng vốn và lượng lao động phụ thuộc vào tham số a. Người ta cần
tối đa hóa sản lượng trên với ràng buộc
6 9
K L
a) Tìm sản lượng cực đại.
b) Áp dụng định lý bao cho biết tham số a ảnh hưởng như thế nào đến sản lượng
cực đại.
Bài 12. Cho hàm
1 1
*3 3
, , 2
m
C Q W R Q W R
a) Xác định giá trị của m để
*
, ,
C Q W R
là chi phí tối ưu của một quá trình sản
xuất với Q là sản lượng, W là lương và R là lãi của tiền vốn.
b) Với giá trị m ở trên, hãy xác định các hàm cầu có điều kiện của vốn và lượng lao
động theo các yếu tố W và R.
c) Chứng minh các hàm cầu ở câu b là hàm thuần nhất bậc 0.
Bài 13. Cho X,Y là các biến ngẫu nhiên có luật phân phối như sau
X X
5 10 20
P 2/5 2/5 1/5
Giảng viên: Lê Thị Thanh Hải
Bộ môn Toán _ Khoa KHUD Ôn tập Toán kinh tế 2
Trang 4
Y 2 4 6 8
P 0,15 0,25 0,2 0,4
a) Tính
Pr 10 ; Pr 5
X Y
b) Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X, Y.
c) Biết
2 7 1
Z X Y
. Tính
,
E Z Var Z
Bài 14. Một người bán hàng ước tính số lượng sản phẩm bán ra Q trong một tháng
đạt khoảng từ 80 đến 120 sản phẩm và khả năng là như nhau trong khoảng này.
a) Tìm sản lượng trung bình và phương sai của sản lượng Q.
b) Tính xác suất mà người này bán được trên 100 sản phẩm.
Bài 15. Một cửa hàng nhập ngẫu nhiên 2 loại giày thể thao màu đen và màu trắng.
Biết xác suất để lấy được một đôi giày trắng trong một đợt nhập hàng là 0.45. Chủ
cửa hàng lấy ngẫu nhiên 20 đôi giày.
a) Tính xác suất để chủ cửa hàng lấy được 10 đôi giày trắng.
b) Tìm kỳ vọng và phương sai của số đôi giày trắng lấy ra từ 20 đôi trên.
Bài 16. Một lớp học có 2/3 nam sinh viên và 1/3 nữ sinh viên. Số sinh viên quê An
Giang chiếm 40% trong nữ sinh viên và 60% trong nam sinh viên. Chọn ngẫu nhiên
một sinh viên của lớp. Tính xác suất để
a) Sinh viên đó quê An Giang
b) Sinh viên đó là nam biết rằng sinh viên được chọn quê An Giang.
Bài 17. Diện tích mỗi chiếc lá thuộc 1 loài cây là một biến ngẫu nhiên liên tục X(cm2),
có hàm mật độ
2 2
( 2) , [0,2]
( )
0 , [0,2]
kx x khi x
f x khi x
a/ Xác định giá trị của hằng số k
b/ Với giá trị k tìm được, tính diện tích trung bình của mỗi chiếc lá loại cây này.
c/ Tính tỉ lệ lá có diện tích nhỏ hơn 1cm2
Bài 18. Cho X, Y, Z là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập.
Biết
12,0.3 ; 1.8 ; 2.5,16
X B Y P Z N
và
5 2, 0.2 0.8
W X Y T X Z
.
Giảng viên: Lê Thị Thanh Hải
Bộ môn Toán _ Khoa KHUD Ôn tập Toán kinh tế 2
Trang 5
Tính kỳ vọng và phương sai của W và T.
Bài 19. Giả sử
1 1
2 1 1 2
3, 1
1
4, 9, ,
2
E X Var X
E X Var X Cov X X
a) Tính hệ số tương quan giữa X1 và X2.
b) Tính
2 2
1 2 1 2
;
E X X E X X
c) Đặt 1 2
2 1
Y X X
, tính độ lệch chuẩn của Y.
Bài 20. Gọi R1, R2, R3 là tiền lãi của 3 ngân quỹ có các tính chất sau
1 1
2 2 1 2
3 3
6, 4
11, 16, , 5
3, 0
E R Var R
E R Var R Cov R R
E R Var R
Giả sử ta có một khoản đầu tư
1 2 3
R R R R
với
1
a) Nếu
0.6, 0.2, 0.2
, tính kỳ vọng và phương sai của khoản đầu tư R.
b) Nếu
0
, tìm
,
để R có rủi ro thấp nhất.
c) Xác định
, ,
để R có rủi ro thấp nhất với lãi kỳ vọng bằng 10.
Bài 21. Số tiền lời trong năm tới (tính theo đơn vị : triệu đồng) thu được khi đầu tư 200
triệu đồng vào hai ngành A, B tùy thuộc vào tình hình kinh tế trong nước và cho bảng
sau :
Tình hình kinh tế
Số tiền lời
Kém phát triển Ổn định Phát triển
Ngành A -10 25 30
Ngành B -15 30 40
Theo dự báo thì xác suất để nền kinh tế trong nước rơi vào tình trạng kém phát triển, ổn
định, phát triển tương ứng là 0,1 ; 0,7 ; 0,2. Vậy nên đầu tư vào ngành nào để
a) Số tiền lời kì vọng là cao hơn
b) Mức độ rủi ro là ít hơn
Bài 22. Tính giá trị các tích phân suy rộng sau