TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
BÀI TẬP
GIẢI TÍCH THỰC MỘT BIẾN
Hà Nội, ngày 02 tháng 07 năm 2025
Mục lục
1 Giới hạn dãy số 2
2 Giới hạn hàm và hàm liên tục 39
3 Phép tính vi phân hàm một biến 77
4 Tích phân 121
5 Chuỗi số - Dãy hàm - Chuỗi hàm 180
6 Giới thiệu về giải tích Fourier 272
7 Một số định lý quan trọng 287
1
Chương 1
Giới hạn dãy số
Định lí 1.1. (Định lí Toeplitz) Giả sử
i) Pnk ≥0;
ii) n
X
k= 1
Pnk = 1;
iii) lim
n→∞ Pnk = 0 với mọi k≥1;
iv) lim
n→∞ xn=a.
Khi đó lim
n→∞ tn=a, ở đó tn=
n
X
k= 1
Pnkxk.
Sau này ma trận vô hạn (Pnk)thỏa mãn i), ii), iii) được gọi là ma trận Toeplitz; còn
tnđược gọi là trung bình Toeplitz thứ ncủa dãy xn. Như vậy trung bình Toeplitz của
một dãy hội tụ là dãy có cùng giới hạn với dãy đã cho.
Chứng minh
Rõ ràng ta chỉ cần xét khi a= 0, nếu a= 0 thì đưa về dãy {yn}với yn=xn−acó
tn−a=n
P
k= 1 Pnkxk−n
P
k= 1 Pnka=n
P
k= 1 Pnkyn.
Từ lim
n→∞ xn= 0 khi đó với mọi ϵ > 0tồn tại N1sao cho với x > N1thì
|xn|<ε
2
Mặt khác, cũng do {xn}hội tụ nên {xn}bị chặn nên tồn tại M > 0để
|xn|< M, n ≥1
1K73CLC – Mã sinh viên: 735101175
2K73CLC – Mã sinh viên: 735101102
3K73CLC – Mã sinh viên: 735101146
2
Do đó với mọi n > N1ta có
|tn|=
n
X
k= 1
Pnkxk
≤n
X
k= 1
|Pnkxk|=
n
X
k= 1
Pnk|xk|=
N1
X
k= 1
Pnk|xk|+
n
X
k= N1+ 1
Pnk|xk|
≤MN1
X
k= 1
Pnk +ε
2
n
X
k= N1+ 1
Pnk ≤MN1
X
k= 1
Pnk +ε
2.
Do lim
n→∞ Pnk = 0 nên tồn tại N2sao cho
Pnk <ε
2·M·N1, n > N2.
Chọn N= max{N1,N2}thì khi n > N , ta có
|tn| ≤ M·N1·ε
2·M·N1+ε
2=ε.
Từ đó theo định nghĩa giới hạn thì lim
n→∞ tn= 0.
Định lí 1.2. (Định lý Stolz) Nếu
i) {bn}tăng thực sự đến +∞;
ii) lim
n→∞
an+ 1 −an
bn+ 1 −bn=A
thì
lim
n→∞
an
bn=A.
Chứng minh
Không mất tính tổng, giả sử dãy {bn}chứa toàn các số dương và với mỗi số tự nhiên
n, đặt xn=an−Abn. Với ε > 0, luôn tồn tại M∈Nđể với mọi n≥Mthì
an+ 1 −an
bn+ 1 −bn−A
<ε
2.
Do đó với mọi n≥Mta cũng có
xn+ 1 −xn
bn+ 1 −bn
<ε
2.
Vì dãy {bn}tăng ngặt nên với mọi n≥Mta có
−ε
2(bn+ 1 −bn)< xn+ 1 −xn<ε
2(bn+ 1 −bn).
Cộng các bất đẳng thức như trên với n=M,n =M+ 1,... theo vế, ta được
−ε
2(bn−bM)< xn−xM<ε
2(bn−bM), n > M.
3
Chia các vế của bất đẳng thức trên cho bn>0ta được
−ε
2<−ε
2
1−bM
bn
<xn
bn−xM
bn<ε
2
1−bM
bn
<ε
2, n > M.
Do đó với mọi n > M ta có
−ε
2<xn
bn−xM
bn<ε
2.(1.1)
Mặt khác vì lim
n→∞
xM
bn= 0 (vì dãy {bn}tăng ngặt đến +∞), nên với mỗi ε > 0luôn tồn
tại N∈Nsao cho khi n > N thì
−ε
2<xM
bn<ε
2.(1.2)
Cộng các vế của 1.1với 1.2khi đó với n > max {M,N}thì
−ε < xn
bn< ε.
Do đó với mọi n > max {M,N}thì
an
bn−A
=
xn
bn
< ε. Theo định nghĩa giới hạn ta
được
lim
n→∞
an
bn=A.
Bài toán được chứng minh.
Định lí 1.3. (Định lý trung bình Cesaro) Nếu dãy {un}hội tụ đến uthì
lim
n→+∞
u1+u2+··· +un
n=u.
Chứng minh
Ta chỉ cần xét trường hợp u= 0, nếu u= 0 thì xét dãy {vn}với vn=un−u.
Do lim
n→+∞un= 0 nên với mọi ϵ > 0tồn tại N1để với mọi n > N1thì
|un|<ε
2.
Lúc đó
u1+u2+··· +un
n
≤N1
X
k= 1
|uk|
n+
n
X
k= N1+ 1
|uk|
n≤N1
X
k= 1
|uk|
n+ε
2
Với mọi n > max
N1,2N1
P
k = 1 |uk|
ε
thì
u1+u2+··· +un
n
≤N1
X
k= 1
|uk|
n+ε
2<ε
2+ε
2=ε.
4