Giáo trình Hình học vi phân - Đoàn Thế Hiếu

Giáo trình này được biên soạn cho khóa học Hình học vi phân cổ điển về đường và mặt, một môn học nền tảng trong Toán học hiện đại. Với mục tiêu trang bị kiến thức sâu rộng về lý thuyết địa phương của các đối tượng hình học này, tài liệu đặc biệt nhấn mạnh tầm quan trọng của phép tính vi tích phân và khái niệm đường tham số như biến dạng của các đoạn thẳng hoặc đường thẳng trong không gian R2 và R3. Nó cũng giới thiệu mặt chính quy như đa tạp con hai chiều. Việc tiếp cận này không chỉ giúp sinh viên nắm vững kiến thức cơ bản mà còn tạo tiền đề vững chắc cho việc nghiên cứu các khái niệm phức tạp hơn trong Hình học vi phân hiện đại, thúc đẩy khả năng thực hiện tiểu luận và các công trình nghiên cứu sau này.

Sinh viên đại học, học viên cao học và nghiên cứu sinh ngành Toán học, đặc biệt là những người theo học hoặc quan tâm đến lĩnh vực Hình học vi phân.

Giáo trình tập trung vào việc trình bày lý thuyết địa phương của đường và mặt trong Hình học vi phân cổ điển, đồng thời đan cài một số kết quả toàn cục quan trọng. Tài liệu bắt đầu với việc định nghĩa và phân tích các đường tham số trong không gian R2 và R3, sử dụng công cụ giải tích mạnh mẽ. Các khái niệm cốt lõi như độ cong, độ xoắn và công thức Frenet được giới thiệu chi tiết, cung cấp nền tảng cho việc nghiên cứu hình dạng địa phương của đường. Sau đó, giáo trình mở rộng sang lý thuyết mặt chính quy, xem chúng như các đa tạp con 2 chiều trong R3, trình bày các khái niệm cơ bản như mặt phẳng tiếp xúc và metric nội tại. Phần cuối khám phá ánh xạ Gauss, độ cong Gauss, độ cong trung bình, và các đường đặc biệt trên mặt, cùng với các bài toán toàn cục như bất đẳng thức đẳng chu và định lý bốn đỉnh. Phương pháp tiếp cận này giúp sinh viên không chỉ giải quyết các bài tập lý thuyết mà còn tiếp cận các vấn đề nghiên cứu hiện đại, chuẩn bị cho các tiểu luận, niên luận hoặc khóa luận tốt nghiệp. Giáo trình cung cấp cái nhìn tổng quan về sự tiến hóa của các đối tượng hình học từ đơn giản đến tổng quát hơn, khuyến khích tư duy phản biện và khả năng ứng dụng các công cụ hình học vi phân vào các bối cảnh khác nhau.