1
§¹i Häc HuÕ
Trung t©m ®µo t¹o tõ xa
ts. TrÇn ®¹o dâng - ts. TrÇn vui - ts. lª anh vò
Gi¸o tr×nh
H×nh häc vi ph©n
S¸ch dïng cho hÖ ®µo t¹o tõ xa
HuÕ - 2008
2
Lêi nãi ®Çu
H×nh häc vi ph©n lµ mét ngµnh cña h×nh häc trong ®ã c¸c ®èi tîng
h×nh häc ®îc nghiªn cøu b»ng ph¬ng ph¸p cña gi¶i tÝch to¸n häc mµ
tríc hÕt ®ã lµ phÐp tÝnh vi ph©n.
C¸c ®èi tîng quan träng nhÊt cña h×nh häc vi ph©n lµ c¸c ®êng,
c¸c mÆt trong kh«ng gian Euclide th«ng thêng vµ c¸c hä (liªn tôc) cña
chóng.
NÕu h×nh häc s¬ cÊp vµ h×nh häc gi¶i tÝch nãi riªng, h×nh häc tuyÕn
tÝnh (tæng qu¸t nhiÒu chiÒu cña h×nh häc s¬ cÊp) nãi chung còng nghiªn
cøu c¸c ®êng, c¸c mÆt mét c¸ch t¸ch biÖt hoÆc ®«i khi còng kh¶o s¸t
mét vµi hä ®Æc biÖt nµo ®ã cña ®êng vµ mÆt th× bao qu¸t h¬n h¼n lµ h×nh
häc vi ph©n u tiªn kh¶o s¸t tÊt c¶ c¸c ®êng, c¸c mÆt bÊt k× miÔn lµ cã
thÓ m« t¶ chóng b»ng c¸c ph¬ng tr×nh gi¶i tÝch. §Æc trng c¬ b¶n cña
h×nh häc vi ph©n lµ nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña c¸c ®èi tîng h×nh häc
(c¸c ®êng, c¸c mÆt vµ c¸c hä cña chóng). C¸c tÝnh chÊt nµy ®îc gäi lµ
c¸c tÝnh chÊt vi ph©n.
PhÇn ®Çu trong h×nh häc vi ph©n ngêi ta nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt
vi ph©n cña c¸c ®èi tîng h×nh häc mµ c¸c tÝnh chÊt nµy kh«ng thay ®æi
(bÊt biÕn) qua c¸c phÐp biÕn h×nh. PhÇn nµy cña h×nh häc vi ph©n gäi lµ
h×nh häc cæ ®iÓn.
C¸c híng nghiªn cøu míi cña h×nh häc vi ph©n bao gåm :
1) LÝ thuyÕt nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña c¸c ®èi tîng h×nh
häc trong kh«ng gian Euclide bÊt biÕn ®èi víi c¸c phÐp affine, x¹ ¶nh hay
c¸c biÕn ®æi kh¸c.
2) LÝ thuyÕt nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña c¸c ®èi tîng
h×nh häc trong kh«ng gian phi Euclide.
Lo¹i bá c¸c tÝnh chÊt riªng biÖt cña c¸c ®èi tîng h×nh häc ®îc
nghiªn cøu trong h×nh häc vi ph©n, tæng qu¸t ho¸ c¸c tÝnh chÊt chung
3
nhÊt cña chóng, ngêi ta ®i ®Õn kh¸i niÖm ®a t¹p vi ph©n chøa c¸c kh¸i
niÖm vÒ c¸c ®êng, c¸c mÆt, hä c¸c ®êng, c¸c mÆt trong kh«ng gian
Euclide vµ
phi Euclide còng nh chÝnh c¸c kh«ng gian Êy nh lµ c¸c trêng hîp ®Æc biÖt.
Nh vËy, c¸c ®a t¹p vi ph©n chÝnh lµ c¸c ®èi tîng tæng qu¸t cña h×nh häc vi
ph©n.
Gi¸o tr×nh nµy ®îc viÕt trªn c¬ së tãm lîc nh÷ng bµi gi¶ng vÒ h×nh
häc vi ph©n mµ c¸c t¸c gi¶ ®· gi¶ng trong nhiÒu n¨m t¹i Khoa To¸n
Trêng §¹i häc S ph¹m HuÕ, cã c©n nh¾c ®Õn tÝnh võa søc ®èi víi c¸c
®èi tîng míi-c¸c häc viªn ®µo t¹o tõ xa.
VÒ bè côc vµ néi dung, gi¸o tr×nh gåm 3 ch¬ng :
Ch¬ng 1 : PhÐp tÝnh vi ph©n trong n.
Ch¬ng 2 : LÝ thuyÕt ®êng trong mÆt ph¼ng vµ kh«ng gian.
Ch¬ng 3 : LÝ thuyÕt mÆt trong kh«ng gian.
Ngoµi ra cßn cã mét hÖ thèng bµi tËp sau mçi ch¬ng vµ phÇn híng
dÉn gi¶i bµi tËp.
Ch¬ng 1 tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc c¬ së, Ch¬ng 2 vµ Ch¬ng 3 dµnh
cho viÖc giíi thiÖu nh÷ng néi dung c¬ b¶n nhÊt cña lÝ thuyÕt c¸c ®êng vµ
mÆt trong mÆt ph¼ng vµ kh«ng gian.
Do khu«n khæ h¹n chÕ cña gi¸o tr×nh, ®ång thêi còng ®Ó phï hîp víi
®èi tîng, chóng t«i ®· kh«ng ®a vµo phÇn nhËp m«n vÒ lÝ thuyÕt c¸c
®a t¹p vi ph©n còng nh c¸c kiÕn thøc c¬ së kh¸c cã liªn quan.
V× lµ lÇn ®Çu tiªn biªn so¹n cho hÖ ®µo t¹o míi nªn ch¾c ch¾n kh«ng
thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. C¸c t¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®îc nhiÒu ý
kiÕn ®ãng gãp cña ®ång nghiÖp gÇn xa còng nh cña b¹n ®äc víi môc
®Ých chung lµ gãp phÇn cïng Trung t©m §µo t¹o tõ xa cña §¹i häc HuÕ
cã méthÖ thèng gi¸o tr×nh hoµn thiÖn h¬n.
C¸c t¸c gi¶ ch©n thµnh c¶m ¬n PTS. Lª V¨n ThuyÕt ®· ®äc vµ cho
nh÷ng gãp ý gióp hoµn thiÖn gi¸o tr×nh nµy.
HuÕ, th¸ng 12 n¨m 1997
C¸c t¸c gi¶
4
Híng dÉn ®äc gi¸o tr×nh
(dµnh cho häc viªn)
§Ó cã thÓ ®äc tèt gi¸o tr×nh nµy, häc viªn cÇn phi n¾m v÷ng
nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ §¹i sè tuyÕn tÝnh, vÒ c¸c bé m«n H×nh häc
cao cÊp vµ H×nh häc gii tÝch (Affine, Euclide) vµ phÐp tÝnh vi tÝch
ph©n mét chiÒu.
VÒ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu gi¸o tr×nh, häc viªn cÇn lu ý mét sè ®iÓm
sau :
1. §äc thËt cÈn thËn lÝ thuyÕt, ®Æc biÖt lµ c¸c kh¸i niÖm, nhËn xÐt, c¸c
tÝnh chÊt, ®Þnh lÝ. C¸c nhËn xÐt sau mçi kh¸i niÖm hay ®Þnh lÝ thêng lµ
nh÷ng bæ sung, gi¶i thÝch nh»m gióp viÖc hiÓu vµ vËn dông c¸c kh¸i
niÖm, ®Þnh lÝ ®îc s©u s¾c h¬n.
2. Cè g¾ng ®éc lËp gi¶i c¸c bµi tËp tríc khi xem híng dÉn. HoÆc
Ýt ra còng nªn tù gi¶i l¹i cÈn thËn bµi tËp sau khi ®· xem híng dÉn.
C¸c t¸c gi mong vµ chóc c¸c b¹n thµnh c«ng.
5
Häc phÇn : H×nh häc vi ph©n
Ch¬ng 1
PhÐp tÝnh vi ph©n trong n
§1. S¬ lîc vÒ T«P« trong n.
1.1. Nh¾c l¹i c¸c kh«ng gian n vµ
n
TËp hîp
n = x = (x1, ..., xn)x1, ..., xn
víi hai phÐp to¸n
1 1 1 1
1 1
, ..., , ..., : , ...,
. , ..., : , ..., ,
n n n n
n n
x x y y x y x y
x x x x

lËp thµnh mét kh«ng gian vector n - chiÒu trªn . C¬ së chÝnh t¾c cña n
lµ
e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en = (0, ..., 0, 1).
Cã thÓ xem n lµ kh«ng gian affine n - chiÒu liªn kÕt víi chÝnh nã bëi
¸nh x¹ liªn kÕt
(x, y)
xy
= y - x, x, y n.
Trong n xÐt tÝch v« híng chÝnh t¾c
(x1, ..., xn).(y1, ..., yn) =
1
n
i i
i
x y