NGUYỄN DUY BÌNH
BÀI GIẢNG
HÌNH HỌC PHI EUCLID
NGHỆ AN 2024
MỤC LỤC
Trang
Chương 1. Hình học tuyệt đối. Định đề 5 của Euclid về song song…………....6
1.1 Hệ tiên đề Hilbert của Hình học Euclid…………………………………….6
1.2 Hình học tuyệt đối…………………………………………………………..7
1.2.1 Hệ tiên đề của Hình học tuyệt đối và hình học tương ứng………………..7
1.2.2 Một số định lý mở đầu của Hình học hyperbolic…………………………8
1.3 Định đề 5 của Euclid và sự ra đời của Hình học Lobachevsky…………….10
1.3.1 Định đề 5 của Euclid và một số mệnh đề tương đương…………………10
1.3.2 Sự ra đời của Hình học Lobachevsky……………………………………14
Chương 2. Hình học hyperbolic 2 chiều……………………………………….16
2.1. Tiên đề song song hyperbolic, các mệnh đề tương đương và một số
hệ quả……………………………………………………………………..16
2.2 Các đường song song và phân kỳ………………………………………….18
2.3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng………………………………………..26
2.4 Tổng các góc của tam giác và diện tích tam giác………………………….30
Chương 3. Mô hình nửa phẳng Poincaré của Hình học hyperbolic 2 chiều
3.1 Nửa phẳng Poincaré……………………………………………………….34
3.2 Phép đẳng cự trên nửa phẳng Poincaré……………………………………36
2
3.3 Thể hiện các tiên đề của Hình học hyperbolic trên Mô hình nửa
phẳng Poincaré…………………………………………………………….47
3.4 Hệ thức lượng trong tam giác Lobachevsky……………………………....56
3.5 Một số mô hình khác của Hình học hyperbolic…………………………….61
Câu hỏi và bài tập………………………………………………………………65
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………...70
3
MỞ ĐẦU
Hình học Euclid hình thành từ rất lâu và đạt đến độ hoàn thiện bằng hệ tiên đề
đầy đủ của Hilbert. Trong sự hình thành Hình học Euclid, nhiều định đề đã xuất
hiện, trong đó đáng chú ý là Định đề 5 về đường song song. Do sự phát biểu hơi
khác thường của định đề này mà đã nảy sinh sự nghi ngờ là liệu nó có thể được sinh
ra từ các định đề khác. Điều này đã làm rất nhiều nhà toán học bỏ công đi chứng
minh nó, nhiều khi tưởng chừng đi đến đích, tuy nhiên cuối cùng lại phải công nhận
các kết quả mà thực chất tương đương với Định đề 5. Phải đến giữa thế kỷ 19,
Lobachevsky và đồng thời với ông là Bolyai đã công bố kết quả nghiên cứu về sự
độc lập của Định đề 5 đối với các tiên đề khác. Gauss cũng đã cho cùng kết quả
nghiên cứu về điều này nhưng đã không công bố vào thời điểm đó. Công trình
nghiên cứu của Lobachevsky khẳng định tính độc lập của Định đề 5 bằng cách thay
nó bằng định đề phủ định và ông đã xây dựng được một lý thuyết hình học độc lập,
gọi là Hình học Lobachevsky. Sự nghiên cứu của Lobachevsky đạt được một sự
hoàn thiện thông qua chỉ ra mô hình cho hình học tương ứng. Như vậy, hình học
của Lobachevsky là một hình học phi Euclid. Cũng bằng cách thay thế một số tiên
đề trong Hình học Euclid, người ta đi đến các hình học phi Euclid khác nhau. Trong
khuôn khổ bài giảng, một dạng của hình học phi Euclid được xét là Hình học
hyperbolic (hay Hình học Lobachevsky) và cụ thể là hình học hyperbolic trong mặt
phẳng hay hình học hyperbolic 2 chiều. Với nội dung đề cập, Bài giảng được bố trí
thành 3 chương. Chương 1 trình bày các vấn đề về Hình học tuyệt đối và sự ra đời
của Hình học hyperbolic (Hình học Lobachevsky). Chương 2 trình bày Hình học
hyperbolic 2 chiều, bao gồm hệ tiên đề, đặc biệt là tiên đề song song hyperbolic và
các hệ quả của nó. Chương 3 trình bày về mô hình nửa phẳng Poincaré của Hình
học hyperbolic 2 chiều. Dựa trên các kết quả của hình học Euclid trong mặt phẳng,
các đối tượng và tương quan giữa chúng trong Hình học hyperbolic nghiệm đúng
các tiên đề. Trong chương này một vài mô hình khác của Hình học hyperbolic 2
chiều cũng được giới thiệu sơ lược. Do giới hạn về thời lượng, các vấn đề của các
4
hình học tương ứng chỉ đề cập đến những vấn đề đặc trưng, chúng cho sự khác biệt
với Hình học Euclid truyền thống, mà không đi quá sâu vào các vấn đề khác của các
hình học này. Để nắm vững nội dung, người học cần những kiến thức tối thiểu về
hình học tuyến tính và hình học vi phân, đồng thời biết vận dụng phương pháp tiên
đề trong xây dựng hình học.
Cuối bài giảng là hệ thống bài tập, trong đó có nhiều kết quả trong lý thuyết mà
chưa được chứng minh. Các bài tập giúp người học bổ sung thêm các khác biệt với
Hình học Euclid trong Hình học hyperbolic. Để tìm hiểu chi tiết hơn về nhiều nội
dung liên quan, người học có thể tham khảo thêm trong các tài liệu đã dẫn.
5