Tập đề cương bài giảng học phần Hình học cao cấp

M C L C Ụ Ụ

N I DUNG

Trang

Ộ

Ờ

NG I

ƯƠ

ng I ươ

ng d n bài t p ch ng I ẫ ậ ươ

NG II

ươ

ng d n bài t p ch ng II ậ ươ

ẫ NG III

ươ

ng d n bài t p ch ng III ậ ươ

ẫ NG IV

ươ

ng d n bài t p ch ng IV

L I NÓI Đ U Ầ BÀI T P CH Ậ Bài t p ch ậ i, đáp s , h L i gi ố ướ ả ờ BÀI T P CH ƯƠ Ậ Bài t p ch ng II ậ i, đáp s , h L i gi ố ướ ả ờ BÀI T P CH ƯƠ Ậ Bài t p ch ng III ậ i, đáp s , h L i gi ố ướ ả ờ BÀI T P CH ƯƠ Ậ Bài t p ch ng IV ậ L i gi i, đáp s , h ờ

ố ướ ả ẫ ậ ươ

1 2 2 4 7 7 15 34 34 40 48 48 51

TÀI LI U THAM KH O Ả Ệ

60

L I NÓI Đ U

Ờ

Ầ

ọ ọ ấ ầ ả ề ươ

c vi ọ ố ầ ả T p đ c ậ ế ự

ụ ấ ủ ố Văn Nh ồ

ng lí thuy t v i ph n đ bài t p không có h ả ề ướ

ọ ế ớ ấ

ớ ế

ng lí thuy t c a h c ph n t ố ặ kì V c a ch ng 75 ti ọ

ư ng d n gi ẫ ậ ng trình đào t o Cao đ ng S ạ ươ ủ t lí thuy t và 30 ti t (45 ti ế ế ế ng đ i n ng và l ầ ươ ố ộ ượ ậ

ư ẳ

ậ ng d n gi ẫ ộ

ệ ậ ố ớ ậ ả

ế ệ ậ

ạ ậ ầ

ẽ ậ

ố ợ ả ệ ọ ậ

i h n trong vi c h c t p không ch theo ch ọ ẳ ả

ạ ắ ẽ ắ ả ố

ế ể ố ạ

ng bài gi ng h c ph n Hình h c cao c p (Ph n bài t p) ậ đ ư t d a trên cu n giáo trình Hình h c cao c p c a tác gi ượ C ng (giáo trình CĐSP – NXB Giáo d c 2004). Cu n giáo trình g m 5 ươ i. H c ph n ch ầ ầ ọ ươ Hình h c cao c p h c ư ẳ ọ ở ậ t bài t p). ph m Toán v i th i l ờ ượ ạ ng bài t p là Kh i l ậ ế ủ ố ượ i cũng ch a có m t cu n giáo trình bài t p hình h c cao khá l n. Hi n t ọ ệ ạ ớ ầ ng trình đào t o Cao đ ng S ph m. Vì v y vi c ph n c p dành cho ch ạ ạ ươ ấ bài t p không có h i là m t khó khăn r t l n đ i v i không ấ ớ ả ướ ch sinh viên mà c gi ng viên nh t là các gi ng viên tr . Vì v y, tôi đã ẻ ả ả ấ ỉ ộ t ph n bài t p hình h c cao c p v i vi c b sung thêm m t m nh d n vi ổ ớ ấ ọ ầ ạ ng d n, đáp s , g i ý tùy vào m c đ khó, d c a s bài t p và ph n h ễ ủ ứ ộ ẫ ướ ố ng bài gi ng s là m t tài li u tham kh o bài t p. Hy v ng cu n đ c ả ệ ố ộ ề ươ ọ ươ ng giúp cho sinh viên thu n l ỉ ậ ợ ơ ế trình đào t o Cao đ ng s ph m Toán theo niên ch mà c theo h c ch ư ạ ế ng bài gi ng s còn thi u sót, kính mong tín ch . Ch c ch n cu n đ c ề ươ ề ươ ng các th y cô và các b n sinh viên cùng đóng góp ý ki n đ cu n đ c ế bài gi ng ngày càng hoàn thi n h n. ơ ệ

ỉ ầ ả Xin c m n các th y cô và các b n! ầ ả ơ ạ

NG I

CH

TÁC GIẢBÀI T PẬ ƯƠ

: ụ ươ : Bài t p ch ậ

ng này nh m m c đích ằ ề ị ể ọ

ề ủ Ơ ử -clit đ i v i s phát tri n c a hình h c. Hi u đ ể ủ ọ

ố ớ ự ự ươ ủ ọ

ể ộ ệ ọ ề ể ọ ấ

ứ ư ộ ố ự ế ọ ọ

A. M c tiêu ụ - Giúp sinh viên có cái nhìn v l ch s phát tri n hình h c. Vai trò c ượ c a tiên đ V c a ủ ề ng pháp tiên đ đ xây d ng hình h c, mô hình c a m t h tiên đ , ph vai trò c a toán h c cao c p trong vi c nghiên c u hình h c. Sinh viên ủ ệ hi u đ c vi c xây d ng hình h c cũng nh m t s lí thuy t Toán h c đã ượ ể t b ng ph bi ế ằ ệ ươ

- Sinh viên bi ơ t v n d ng lí thuy t đ đ a ra m t s mô hình đ n ế ể ư ộ ố ng pháp tiên đ . ề ụ ế ậ

gi n.ả

đ a ra m t s h tiên đ đ n gi n và ộ ố ệ ề ơ ả ậ ể ự ư

ữ

ng I bao g m 3 v n đ sau: ề ấ

ệ n i dung: ơ ượ ị - Sinh viên th o lu n đ t ả ề Bài t p ch ươ ậ c l ch s hình h c. ọ ử

-clit ba chi u. ươ ộ ố ệ ề ề ủ ọ Ơ ề

tìm cho các h tiên đ đó nh ng mô hình c th . ụ ể B. Mô t ồ ả ộ - S l ng pháp tiên đ - Ph - M t s h tiên đ c a hình h c C. N i dung c th : ụ ể ộ I. Bài t pậ

Bài 1. Xét h tiên đ H sau: ệ

ể

ệ ề ể

ề + Khái ni m c b n: “đi m” và “đi tr c”. ơ ả ướ c chính nó + Tiên đ : 1) Không đi m nào đi tr ướ c đi m B, đi m B đi tr ể ể ướ ể ướ c đi m C ể

2) N u đi m A đi tr thì A đi tr ướ

Nêu ra m t vài mô hình c a H. ế c đi m C. ể ộ ủ

ủ ề ầ ộ

Bài 2. Nêu ra m t vài mô hình c a h tiên đ H đã nói trong ph n lí thuy t. Tìm m t mô hình c a h tiên đ H sao cho mô hình đó có đúng n vect ng cho tr c. ế ộ , v i n là s nguyên d ố ơ ớ ủ ệ ươ ệ ề ướ

ệ

ng, quan h thu c. Bài 3. H tiên đ K g m: ồ ơ ả ề ệ ệ ộ ể ườ

ộ ể

ng. ệ ộ ườ

+ Khái ni m c b n: đi m, đ + Các tiên đ : ề 1) Có ít nh t m t đi m. ấ 2) Qua hai đi m phân bi ể 3) M i đ ng có ba đi m phân bi ể 4) M i đi m n m trên ba đ t có không quá m t đ t. ệ ng phân bi t. ườ ằ ệ

ứ

1) Hai đ

ị ng phân bi t có không quá m t đi m chung. ỗ ườ ể ỗ a. Ch ng minh các đ nh lí: ệ ườ ể ộ

ấ ả ấ

2) Có ít nh t là b y đi m, có ít nh t là b y đ ả ườ ể b. Xây d ng mô hình c a K g m b y đi m, b y đ ả đi m, chín đ

ủ ự ể ả ồ ng. ườ ng ho c chín ặ

ng. ườ ể

ệ

ề ệ ể ườ ng th ng, đi m thu c đ ể ộ ườ ẳ ng th ng. ẳ

Bài 4. H tiên đ P g m: ồ + Khái ni m c b n: đi m, đ ơ ả + Các tiên đ : ề

ệ ỉ ộ t nào đ u thu c m t và ch m t ề ộ ộ

1) B t kì hai đi m phân bi ể ng th ng. ẳ

2) B t kì hai đ

ng th ng phân bi ộ t nào đ u ch thu c m t ỉ ề ộ ấ ườ ấ ẳ ệ

3) Có ít nh t b n đi m trong đó b t kì ba đi m nào cũng

và ch m t đi m. ỉ ộ

ể ể

r ng h tiên đ P phi ự ỏ ằ ệ ề

ẫ ứ ề

ườ ể ấ ố ấ ng th ng. không thu c cùng m t đ ẳ ộ ườ ộ a. Hãy xây d ng các mô hình c a P. Ch ng t ứ ủ mâu thu n n u s h c phi mâu thu n. ẫ ế ố ọ r ng tiên đ 3) là đ c l p. b. Hãy ch ng t ộ ậ ỏ ằ c. Ch ng minh h tiên đ P không đ y đ . ầ ủ ệ ứ ề

Bài 5. Tìm m t mô hình c th c a hình h c Lôbasepxki ph ng. ụ ể ủ ẳ ộ ọ

ng ph thông đ ệ ề ủ ẳ ọ tr ở ườ ổ ể

ứ

ị ấ ẳ

Bài 6. Hãy dùng h tiên đ c a hình h c ph ng ch ng minh các đ nh lí sau: a. Có ít nh t ba đi m không th ng hàng. ể b. Cho b n đi m A, B, C, D phân bi ể ứ ệ ẳ

ố ế ữ ằ ằ

c. Đ nh lí Pasch (t c tiên đ Pasch trong h tiên đ c a Hilbert).

ữ ằ ữ

t và th ng hàng. Ch ng minh r ng n u C n m gi a A và B, còn D n m gi a B và C thì D n m ằ ằ gi a A và B còn C n m gi a A và D. ữ ị ề ủ ứ ề ệ

ệ ọ tr ở ườ ng ph thông ổ

Bài 7. Hãy dùng h tiên đ c a hình h c không gian ề ủ đ ch ng minh các đ nh lí sau: ể ứ ị

ẳ ể ướ

a. Ngoài m t ph ng cho tr c còn có nhi u đi m khác. ề ặ b. Cho m t ph ng (P) và ba đi m phân bi ệ ể ẳ ẳ

ắ ằ ắ ẳ ặ ặ ế

ẳ ị ẳ ặ ặ ề ệ

ạ ỗ ng t nh m i đ ươ ự ẳ ặ

ể ẳ

t A, B, C không n m trên (P). N u m t ph ng (P) c t đo n th ng AB thì nó còn c t đo n ạ ạ th ng BC ho c đo n th ng CA. c. Đ nh lí v vi c m i m t ph ng chia không gian thành hai n a ử ẳ ẳ không gian (t ng th ng trong m t ph ng ư ỗ ườ chia m t ph ng đó thành hai n a m t ph ng). Hãy phát bi u đ nh ị ặ ử ẳ ặ lí và ch ng minh. ứ d. Ch ng minh các tr ườ ứ ấ

ằ

c m r ng trong tr ở ộ ườ ằ

ỉ

ng h p b ng nhau c a hai tam giác b t kì ằ ợ ủ trong không gian (chú ý r ng đ nh nghĩa hai tam giác b ng nhau ị ằ ặ ng h p hai tam giác n m trong hai m t đ ợ ượ ph ng khác nhau, còn tiên đ 12 ch nói v hai tam giác cùng ề ề ẳ n m trong m t ph ng) ằ ặ ẳ

ề ứ ẳ ọ ề

ườ Bài 8. Hãy dùng tiên đ 12 c a hình h c ph ng (t c là không dùng tiên đ 13 v hai đ ề ị

ề ớ ỗ

ng th ng t o v i m t cát tuy n hai góc so le trong ủ ng song song) đ ch ng minh đ nh lí sau: ể ứ ơ ớ ạ ườ

a. Góc ngoài tam giác l n h n m i góc trong không k v i nó. b. N u hai đ ẳ ế ớ b ng nhau thì hai đ ườ ằ

ế ộ ng th ng đó song song. ẳ

ứ ố ọ ị

ứ ổ

i cách ch ng minh đ nh lí “t ng s đo góc trong m i tam ổ ớ ạ 0” trong sách giáo khoa ph thông. Cách ch ng minh đó ph i ả ng song song. Sau đây là cách ch ng minh khác ề ề ườ ứ

ề ta gi thi ấ t t ng s đo góc trong tam giác là S. L y ố Bài 9. Hãy nh l giác b ng 180 ằ d a vào tiên đ v đ ự không dùng đ n tiên đ đó: ế Ch ng minh: ả

ế ổ tam giác b t kì ABC, ta có + + = S. ứ ấ

gi a c a đo n th ng BC, ta có hai tam giác ABD ẳ ọ ể ở ữ ủ

ạ t ta có: + + = S thi và ACD. T gi G i D là đi m ừ ả

ế + + = S

Suy ra: + + + + + = 2S Hay + + + 1800 = 2S, t c là S = 180 ứ Hãy bình lu n v cách ch ng minh đó. ậ ứ ề

ườ

ọ ng s th c). Hãy g i -clit n chi u (trên tr ố ự ề c a V là m t “đi m”, và v i b t kì hai đi m và c a V ta cho ủ ể ớ ấ c a V. Hãy ch ng minh r ng khi đó V là không gian ằ ộ ơ ủ ứ

Bài 10. Cho V là không gian Ơ m i vect ơ ủ ể ỗ ng ng v i vect t ứ ớ ươ -clit n chi u. ề Ơ

II. L i gi i, đáp s , h ng d n bài t p ch ng I ờ ả ố ướ ẫ ậ ươ

Bài 1.

+ Mô hình 1: “Đi m” là nh ng đi m thông th ng trên m t đ ữ ể ườ ộ ườ ng

c” là “ bên trái”. ằ ẳ ướ

+ Mô hình 2: “Đi m” là nh ng “s nguyên” và “đi tr ể th ng n m ngang và “đi tr ể ở ữ ố ướ ớ c” là “l n

h n”.ơ

Bài 2. Mô hình c a h tiên đ H: ủ ệ

: s nguyên b t kì, phép c ng là phép c ng hai s nguyên. Ta ơ ố ố

ề ấ d dàng ki m tra th a mãn các tiên đ c a h tiên đ H. ễ ộ ề ủ ệ + Vect ể ộ ề ỏ

Bài 3.

s hai đ Ch ng minh 1) Gi ng phân bi ứ ườ ể

t có hai đi m chung phân t hai ng (trái gi thi ế ả

t). bi ệ đ ườ ệ

ệ ả ử t. Khi đó theo tiên đ 1) có không quá m t đ ộ ườ ề ng là phân bi ứ ề ấ

ể ng phân bi Ch ng minh 2) Theo tiên đ 1) có ít nh t 1 đi m. G i đi m đó là A. s đó là m, n, ườ Khi đó, theo tiên đ 4) A n m trên ba đ ề ọ ể t, gi ả ử ệ ằ

t. Gi ặ ề ng có ba đi m phân bi ể ệ

ng còn có hai đi m phân bi ề ể ỗ ườ ể ả ử ộ s m t t khác ệ

ậ

ả ng t p. M t khác theo tiên đ 3) m i đ ỗ ườ trong ba đi m đó đ u là A, thì m i đ A. V y có ít nh t là b y đi m. ấ L p lu n t ậ ươ ự ậ ể ta cũng ch ng minh đ ứ ượ ả c có ít nh t là b y ấ

đ ng. ườ

Bài 4. Mô hình c a P:ủ

ng th ng: đ nh thu c c nh c a t ộ ạ

+ Đi m: đ nh c a t di n. ủ ứ ệ ỉ ủ ứ ệ . di n + Đ ng th ng: c nh c a t ẳ ạ + Đi m thu c đ ỉ ẳ ộ ườ Ta d dàng ki m tra mô hình th a mãn các tiên đ c a h P. ỏ ể di n. ủ ứ ệ ề ủ ệ ể ườ ể ễ

Bài 5. (Hình 1)

ẳ Mô hình c a hình h c Lôbasepxki ph ng – mô hình n a ph ng ử ủ ẳ ọ

Poincare:

Hình 1

+ “Đi m Lôba”: cũng là đi m ể Ơ ể -clit trên m t ph ng tr ặ ẳ ừ

nh ng đi m n m trên b XX’ ằ ữ ể ờ

ườ ườ ử Ơ -clit thu c có tâm ộ

thu c XX’ ho c là n a đ + “Đ ng Lôba”: là n a đ ặ ử ườ ẳ ộ

D th y đ nh đ ph đ nh c a đ nh đ 5 đ c th a mãn. ng tròn ng th ng g c thu c XX’. ộ ố ượ ề ủ ị ề ủ ị ễ ấ ị ỏ

Bài 6.

ứ

ng th ng, mà m t đ ề ề

ể ườ ấ ẳ

ề ẳ ể ấ

ể ườ ườ ể ế ẳ ệ ế ể

ng th ng ch a ứ ẳ ộ ườ ẳ ỗ ườ ng th ng phân bi ng t, m i đ ườ ệ ng th ng không có đi m chug thì t nên ể ẳ ng th ng có đi m chung thì vì chúng phân bi ỉ ể ề ố ỉ

ể ể ậ ẳ

Ch ng minh a, Theo tiên đ 1, có nhi u đ nhi u đi m nên ta suy ra có ít nh t 2 đ th ng có ít nh t hai đi m. N u hai đ có 4 đi m. N u hai đ ch có 1 đi m chung (tiên đ 2). Vì v y trong b n đi m nói trên ch có th ậ ể có hai đi m trùng nhau. V y có ít nh t ba đi m không th ng hàng. ấ 6

ị ẳ

Đ nh lí Pasch: Trong m t ph ng (P) cho đ ế ẳ ẳ ẳ ắ

ẳ ạ

ể ng th ng a và ba đi m ặ ườ ng th ng a c t đo n th ng AB thì nó c t A, B, C không thu c a. N u đ ắ ộ ạ ườ đo n th ng AC ho c c t đo n th ng BC. ặ ắ ẳ ạ : (Hình 2) Ch ng minh ứ

B

A

a

C

Hình 2

ề ẳ ặ ẳ

Theo tiên đ 5, đ ộ ẳ ườ ể ể

ạ ặ ẳ ẳ ử ả

ử ng th ng a chia m t ph ng (P) thành hai n a ắ m t ph ng, m t ch a đi m A, m t ch a đi m B (vì đo n th ng AB c t ộ ứ ặ ng th ng a). Đi m C ph i thu c m t trong hai n a m t ph ng đó nên đ ườ ộ ộ ng th ng a ph i c t m t trong hai đo n th ng AC ho c BC. đ ườ ứ ể ả ắ ẳ ẳ ặ ẳ ạ ộ

Bài 7.

ể ộ ộ

ề s là A, B, C, D. Gi ẳ ẳ ộ

ườ ớ

ể ẳ ể ẳ

ặ a, Theo tiên đ 14, có ít nh t b n đi m không cùng thu c m t m t ấ ố ph ng, gi s A, B, C thu c m t ph ng (P) nào đó. ả ử ặ ả ử ng th ng AD ch có m t đi m chung v i (P). D không thu c (P) nên đ ộ ộ ỉ ẳ Mà m t đ ề ng th ng có nhi u đi m nên ngoài m t ph ng (P) có nhi u ặ ề ộ ườ đi m.ể

đ nh lí Pash trong m t ph ng. ng t ứ ặ ẳ

ự ị ẳ ủ ỗ ị

ươ ặ t p đi m không r ng, không giao nhau, sao cho: ậ

b, Ch ng minh t c, Đ nh lí: M i m t ph ng c a không gian chia không gian thành hai ỗ ể - Hai đi m A, B phân bi t thu c cùng m t t p h p khi và ch khi ệ ể ộ ợ ỉ

đo n th ng AB không có đi m chung v i m t ph ng đó. ể ẳ ạ ớ ộ ậ ẳ

t không thu c cùng m t t p h p khi và ch ể ệ ộ ậ ợ ỉ ặ ộ

khi đo n th ng AB có đi m chung v i m t ph ng đó. - Hai đi m A, B phân bi ạ ể ẳ ẳ ặ ớ

Bài 10.

Ch ng minh: S d ng các tiên đ v không gian vect -clit. ứ ử ụ ề ề ơ Ơ

NG II

BÀI T P CH Ậ

ƯƠ

: : Bài t p ch ậ ụ

A. M c tiêu ằ ụ - Có kĩ năng trong vi c dùng ph ươ ng này nh m m c đích rèn cho sinh viên ươ ệ ậ i các bài t p

ế ạ ẳ

t cách v n d ng các phép bi n hình nói trên đ gi v các phép bi n hình afin, phép bi n hình đ ng c , phép đ ng d ng. ế ề ụ ế ể ả i ng pháp t a đ đ gi ọ ộ ể ả ự ồ ế

các bài toán hình h c trong ch ậ ươ

- T ch c s u t m phân lo i các bài t p hình h c trong ch ng trình THCS. ậ ạ ổ

ng pháp bi n hình. So sánh v i ph ươ ng ng pháp ươ ọ ớ - Sinh viên bi ọ ứ ư ầ i b ng ph ả ằ ế ươ

ng II bao g m các v n đ sau: ả ộ ươ ề ấ ồ

ộ

trình THCS gi s c p. ơ ấ B. Mô t Bài t p ch n i dung: ậ - Phép bi n hình afin ế - Phép đ ng c ự ẳ - Phép đ ng d ng. ồ ạ C. N i dung c th : ụ ể I. Các ki n th c c b n c n n m v ng: ứ ơ ả ầ

ữ ấ ủ ế

ế ấ ủ ấ ạ

ắ 1. Đ nh nghĩa và các tính ch t c a phép bi n hình afin. 2. Đ nh lí v s xác đ nh phép afin. ị ề ự 3. Bi u th c t a đ c a phép bi n hình afin. ứ ọ ộ ủ 4. Đ nh nghĩa và các tính ch t c a phép th u x afin. ấ 5. Đ nh lí v phân tích m t phép afin thành tích c a các phép th u ủ ộ ế ị ị ể ị ị ề

x afin. ạ

6. Đ nh nghĩa và các tính ch t c a phép đ ng c c a m t ph ng ấ ủ ự ủ - ẳ Ơ ặ ẳ ị

clit.

ị ứ ọ ề ự ủ ự ể ẳ ị

7. Đ nh lí v s xác đ nh c a phép đ ng c , bi u th c t a đ c a ộ ủ phép đ ng c . ự ẳ ờ 8. Phép d i hình và phép ph n chi u. D ng chính t c c a phép d i ế ắ ủ ạ ả

ờ ả ế

hình và phép ph n chi u. II. Bài t p:ậ

Ế

ể ế ẳ ấ

PHÉP BI N HÌNH AFIN Bài 1. Cho song ánh f: P P có tính ch t: f bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng. Ch ng minh: ứ ể ẳ

ẳ a. f bi n ba đi m không th ng hàng thành ba đi m không th ng ế ể ể ẳ

hàng.

ng th ng thành đ ng th ng. ẳ ườ

ẳ ng th ng song song thành hai đ ng th ng song b. f bi n đ ế ườ c. f bi n hai đ ế ườ ẳ ườ ẳ

song.

d. f b n đ nh c a m t hình bình hành thành b n đ nh c a m t hình ủ ủ ộ ố ố ộ ỉ ỉ

bình hành.

e. f không làm thay đ i t s đ n c a ba đi m th ng hàng. ổ ỉ ố ơ ủ ể ẳ

ể ệ ế t. Ch ng minh r ng n u ằ

Bài 2. Cho phép afin f và hai đi m A, B phân bi ứ f(A) = B và f(B) = A và I là trung đi m c a AB thì f(I) = I. ủ ể

giác ABCD. G i f là phép afin sao cho f(A) = B và f(B) = A, ứ ọ

Bài 3. Cho t f(C) = D và f(D) = C. Ch ng minh: ứ

ọ ng th ng đi qua trung đi m AB và CD thì f bi n m i ể ế ẳ ế ườ

ể

a. N u d là đ đi m c a d thành chính nó. ủ b. T giác ABCD là hình thang. ứ

ỗ ườ ế ằ

ng th ng a thành ị ng th ng a’ song song ho c trùng v i a thì f là phép t nh ti n ho c v ị ẳ ế ứ ẳ ặ ặ ớ

Bài 4. Ch ng minh r ng n u phép afin f bi n m i đ ế đ ườ .ự t

Bài 5. Có bao nhiêu phép afin bi n m t tam giác đã cho thành chính nó? ế ộ

giác ABCD và A’B’C’D’. V i đi u ki n nào thì có phép afin ệ ớ

t thành các đ nh A’, B’, C’, D’. Bài 6. Cho t ứ f bi n các đ nh A, B, C, D l n l ỉ ế ầ ượ ề ỉ

ủ ấ

ỗ ườ ằ ỉ

t thành các đ nh B, C, D, E, A. ng chéo c a ngũ giác song Bài 7. Ngũ giác ABCDE có tính ch t: M i đ song v i m t c nh c a nó. Ch ng minh r ng có phép afin bi n các đ nh A, ộ ạ ế ủ ớ B, C, D, E l n l ầ ượ ứ ỉ

Các bài t p t 8 đ n 18 đ c xét trong h t a đ afin ậ ừ ế ượ ệ ọ ộ

ứ ọ ế

Bài 8. Tìm bi u th c t a đ c a phép afin bi n các đi m A(1, 0), B(0,2), ể t thành các đi m A’(2, 3), B’(1,4), C’(2, 1). C(3, 0) l n l ể ầ ượ ộ ủ ể

Bài 9. Tìm bi u th c t a đ c a phép đ o ng c c a phép afin sau: ứ ọ ộ ủ ể ả ượ ủ

t f và g là hai phép afin: Bài 10. Xác đ nh gf và f g bi ị ế

f: ; g:

Bài 11. Cho phép afin:

ả

a. Tìm nh và t o nh c a đ b. Tìm trên đ ườ ng th ng . ẳ ủ ườ ể ộ ủ ả

ạ ả ng th ng d: m t đi m sao cho nh c a nó cũng n m ằ ằ ủ ể ộ

ng th ng đi qua đi m A(1, 1) sao cho nh c a đ ẳ trên d; m t đi m sao cho t o nh c a nó cũng n m trên d. ạ ả ẳ ủ ườ ng ườ ể ả

c. Tìm trên đ th ng đó cũng đi qua A. ẳ

ng th ng b t đ ng (đ ấ ộ ườ ấ ộ ẳ ườ ế ng th ng bi n ẳ

Bài 12. Tìm đi m b t đ ng và đ ể thành chính nó) c a các phép afin sau: ủ

f: ; g:

ấ ộ ứ ấ

Bài 13. Ch ng minh r ng n u phép afin có đi m b t đ ng duy nh t thì m i đ ế ể ng th ng b t đ ng đ u đi qua đi m đó. ề ằ ấ ộ ọ ườ ể ẳ

Bài 14. Vi

ng h p sau: ợ ế a. M i đi m c a tr c Ox đ u là đi m b t đ ng và đi m (2, 6) bi n t bi u th c t a đ c a các phép afin trong các tr ế ề ọ ứ ọ ộ ủ ụ ủ ườ ể ấ ộ ể

ng th ng đ u là đi m b t đ ng và đi m (1, 2) ể ể thành đi m (1, 4). ể b. M i đi m c a đ ể ủ ườ ấ ộ ể ề ể ẳ

ọ bi n thành đi m (2, 2). ể ế

Bài 15. Vi ứ ọ ộ ủ

ế a. Các đ t bi u th c t a đ c a các phép afin trong các tr ế ng h p sau: ợ ế ng th ng và bi n thành chính nó, còn đi m (1, 1) bi n ườ ể ẳ

ể ườ thành đi m (2, 1). ể ườ ế ẳ ườ ng th ng và , ẳ

t bi n thành các đ ng th ng và l n l ầ ượ còn đi m (6, 4) bi n thành đi m (2, 1). ế b. Các đ ể ể

ế ạ ấ

Bài 16. Các phép afin sau có ph i là phép th u x hay không? N u có hãy ch rõ là th u x có t s hay th u x tr t. ạ ượ ả ấ ỉ ố ạ ấ ỉ

a. b.

c. d. e.

ấ ớ ổ ị

Bài 17. V i giá tr nào c a k, m, các phép bi n đ i sau là phép th u x . ạ Khi đó hãy ch rõ đó là th u x tr ế t hay th u x có t s . ỉ ố ạ ượ ủ ấ ấ ạ

ỉ a. b.

ứ ế ọ

Bài 18. Ch ng minh m i phép afin bi n tam giác ABC đã cho thành chính nó đ u có th phân tích thành tích c a không quá hai phép th u x . ạ ủ ể ề ấ

ạ ế

Bài 19. Có hay không các phép th u x bi n m t hình bình hành ABCD đã cho thành chính nó và th a mãn m t trong các đi u ki n sau: ộ ề ệ ỏ

ấ ộ a. Bi n A thành B, D thành C. b. Bi n A thành B, C thành D. c. Bi n A thành C, C thành A. ế ế ế

ứ ị ự ế ậ ợ ị

và các phép t nh ti n làm thành ệ ậ ợ ộ

Bài 20. Ch ng minh t p h p các phép v t m t nhóm, t p h p các phép t nh ti n làm thành m t nhóm. Xét quan h ế gi a các nhóm đó v i nhau và v i nhóm các phép afin Af( P). ị ớ ộ ữ ớ

ẳ Ơ ụ ế ề ầ

ố ớ ườ ặ ằ ỉ

ứ ụ ệ ề ạ ầ ố

ng đ Bài 21. Trong m t ph ng -clit, hình l c giác g i là g n đ u n u các ọ c nh đ i di n b ng nhau và song song v i đ ng chéo đi qua hai đ nh ệ ạ không thu c hai c nh đ i di n đó. Ch ng minh các l c giác g n đ u là t ươ ộ ng afin. ươ

ộ ế

ồ ộ ộ ế ứ

ng afin. N u có thêm gi thi ế ả ớ ọ

Bài 22. Hình H g m m t tam giác ABC n i ti p elip (E), hình H’ g m m t ộ ồ ươ ng tam giác A’B’C’ n i ti p elip (E’). Ch ng minh hình H và H’ không t t tâm elip (E) trùng v i tr ng tâm tam đ ế ươ giác ABC và tâm elip (E’) trùng v i tr ng tâm tam giác A’B’C’ thì hình H ớ ọ và H’ có t ng afin không? ng đ ươ ươ

ớ ằ ủ

ủ ớ

ạ

Bài 23. Ch ng minh r ng v i m i đ nh t đ ấ ườ trong hai đ nhau. Hai đ ng kính liên h p c a elip. ợ ủ ườ

ỗ ườ ỗ ng kính đó đ u b đ ề ị ườ ng kính nh v y g i là hai đ ọ ư ậ a. Ch ng minh khái ni m đ ườ ệ ng kính AB c a elip (E) luôn có duy ứ ộ ng kính CD sao cho m i dây cung c a elip song song v i m t ằ ng kính kia chia thành hai đo n b ng ườ ườ ứ ệ ng kính liên h p c a elip là khái ni m ợ ủ

afin.

b. Ch ng minh t ng t đ i v i hypebol. ứ ươ ự ố ớ

ệ ng ti m c n c a đ ườ ậ ậ ng b c ườ ế ng b c hai, ti p ủ ệ ậ

Bài 24. Ch ng minh các khái ni m sau là các khái ni m afin: đ ứ ệ hai, tâm c a đ ậ ườ ủ tuy n c a đ ế ủ ườ ng b c hai, đ ườ ng b c hai. ậ

ầ ượ ọ

ứ

t là trung ườ ng ủ t song song v i OA’, OB’, OC’ t đi qua A, B, C và l n l ầ ượ ớ

Bài 25. Cho tam giác ABC n i ti p elip (E). G i A’, B’, C’ l n l ộ ế đi m các c nh BC, CA, AB và O là tâm c a (E). Ch ng minh các đ ể ạ th ng l n l ầ ượ ẳ đ ng qui. ồ

ể ọ

ủ ộ ể ạ

ể ọ

ứ

Bài 26. Cho tam giác ABC n i ti p elip (E) và m t đi m M trên (E). G i O ộ ế t là trung đi m các c nh BC, CA, AB. là tâm c a (E) và A’, B’ C’ l n l ầ ượ t n m trên các c nh BC, CA, AB sao G i A”, B”, C” là các đi m l n l ạ ầ ượ ằ cho MA” // OA’, MB” // OB’, MC” // OC’. Ch ng minh A”, B”, C” th ng ẳ hàng.

ộ ế ứ ế ằ ặ ộ

Bài 27. Ch ng minh r ng n u m t hình bình hành n i ti p (ho c ngo i ạ ti p) elip thì tâm c a hình bình hành trùng v i tâm elip. ủ ế ớ

ầ ượ ể

t thay đ i trên ng th ng AD và DC sao cho (A, D, M) = (D, C, N). Tìm qu tích ổ ỹ ẳ

Bài 28. Cho hình bình hành ABCD, hai đi m M, N l n l hai đ giao đi m BM và AN. ườ ể

PHÉP Đ NG C Ẳ Ự

ự ủ ứ ẳ ặ

clit: phép đ i x ng tr c, đ i x ng tâm, t nh ti n, quay. Bài 29. Ch ng minh các phép sau đây là các phép đ ng c c a m t ph ng ẳ Ơ ố ứ ố ứ ụ ế ị

ự ế ữ ẳ ấ

Bài 30. Hãy ch ra nh ng phép đ ng c bi n hình vuông ABCD b t kì ỉ thành chính nó.

ườ ẳ ng tròn (O, R) và (O’, R). Hãy ch ra nh ng phép đ ng ữ ỉ

ng tròn (O, R) thành (O’, R). Bài 31. Cho hai đ c bi n đ ự ế ườ

ự ế ữ ề ẳ ấ

Bài 32. Hãy ch ra nh ng phép đ ng c bi n tam giác đ u ABC b t kì ỉ thành chính nó.

ữ ẳ ạ ằ

Bài 33. Cho hai đo n th ng b ng nhau AB = A’B’. Có nh ng phép đ ng ẳ c nào bi n A thành A’, B thành B’? ự ế

Các bài toán sau đ c xét trong m t ph ng v i h t a đ tr c chu n ượ ớ ệ ọ ộ ự ặ ẳ ẩ

Bài 34. Vi t bi u th c t a đ c a các phép sau: ế ể

ng th ng Ox và đ i x ng qua đ ứ ọ ộ ủ a. Phép đ i x ng qua đ ố ứ ườ ẳ ố ứ ườ ng

th ng Oy. ẳ

ị

b. Phép đ i x ng qua đi m I(a, b). ể ố ứ (a, b). c. Phép t nh ti n theo vect ơ ế ng th ng Ax + By + C = 0. d. Phép đ i x ng qua đ ẳ ườ ố ứ

ế t bi u th c t a đ c a phép đ ng c bi n đi m (1,0) thành ẳ ự ế ứ ọ ể

Bài 35. Vi đi m (0, 0)và đi m (0, 0) thành đi m (0, 1). ộ ủ ể ể ể ể

Bài 36. Tìm đi m b t đ ng c a phép bi n đ i đ ng c : ự ấ ộ ổ ẳ ủ ế ể

Bài 37. Ch ng t r ng r ng phép đ ng c : ứ ỏ ằ ự ằ ẳ

là m t phép đ i x ng tr c. Tìm tr c đ i x ng. ụ ụ ố ứ ố ứ ộ

t. Tìm ố ứ ượ

t: tr ơ ượ

Bài 38. Ch ng minh các phép bi n hình sau là phép đ i x ng tr ế ứ tr c đ i x ng và vect ụ ố ứ b. a. c.

ứ ế ế ộ

ươ ứ ể ặ

Bài 39. Ch ng minh n u f là m t phép ph n chi u thì qu tích trung đi m ể ỹ ả ộ c a đo n th ng n i các c p đi m t ng ng M và M’ = f(M) là m t ố ủ đ ườ ẳ ạ ng th ng. ẳ

t trên hai đ ẳ ổ ầ ượ ẳ

ằ ườ ỹ ủ ể ạ

Bài 40. Cho hai đoan th ng AB và A’B’ b ng nhau và không song song. Hai đi m M, M’ thay đ i l n l ỉ ng th ng AB và A’B’ sao cho t ể s kép (A, B, M) = (A’, B’, M’). Tìm qu tích trung đi m c a đo n th ng ẳ ố MM’.

ẳ ạ ằ

ế ế ị

Bài 41. Cho hai đo n th ng b ng nhau AB và A’B’ và không song song. Hãy xác đ nh tâm quay và góc quay c a phép quay bi n A thành A’, bi n B ủ thành B’.

Bài 42. Cho phép quay Q1 có tâm quay O1, góc quay và phép quay Q2 có tâm quay O2, góc quay . Tìm Q2Q1 trong các tr ng h p sau: ợ ườ

a. O1 và O2 trùng nhau. b. O1 và O2 không trùng nhau và + k.3600. c. O1 và O2 không trùng nhau và + = k.3600.

ặ ủ ứ ủ ế

Bài 43. Ch ng minh tích c a phép t nh ti n và phép quay ho c c a phép ị quay và phép t nh ti n đ u là phép quay. ế ề ị

ề ẽ

ể ọ

ằ ề ứ ủ

Bài 44. Cho tam giác ABC. V các tam giác đ u ABC’, BCA’, ACB’ sao ầ ượ t cho các đi m A’, B’, C’ n m ngoài tam giác ABC. G i O 1, O2, O3 l n l là tâm c a các tam giác đ u đó. Ch ng minh tam giác O 1O2O3 là tam giác đ u.ề

ẽ

ể ề ằ ọ

Bài 45. Cho tam giác ABC. V các tam giác vuông cân ABC’ và ACB’ có đ nh là C’ và B’ đ u n m ngoài tam giác ABC. G i A’ là trung đi m c a ủ ỉ BC. Ch ng minh tam giác A’B’C’ là tam giác vuông cân. ứ

ẳ ể ẽ

ề ở ữ ằ ề ộ

ủ ể ẳ ọ

gi a A và C). V các tam Bài 46. Cho ba đi m th ng hàng A, B, C (B giác đ u ABC’ và BCA’ có các đ nh C’ và A’ n m v m t phía đ i v i ố ớ ỉ ứ t là trung đi m c a AA’ và CC’. Ch ng ng th ng AB. G i I, J l n l đ ầ ượ ườ minh tam giác BIJ là tam giác đ u.ề

ự ng th ng a, b và đi m C không n m trên chúng. D ng ằ

Bài 47. Cho hai đ ể ườ tam giác đ u ABC có hai đ nh thu c a, b. ẳ ỉ ề ộ

ẳ

ườ ng phân giác c a góc t o b i hai đ ng tròn (O), (O’) và đ ườ ng th ng d. Hãy d ng đi m D ể ự ng th ng đi ẳ ườ ủ ạ ở

t ti p xúc v i (O) và (O’). ớ Bài 48. Cho hai đ ườ trên d sao cho d là đ qua D và l n l ầ ượ ế

ể ườ

ng tròn (O, R) và (O’, R’). D ng hai đi m M và M’ ự ng đó sao cho MM’ // OO’ và MM’ có đ dài ườ ộ

t n m trên hai đ c. Bài 49. Cho hai đ l n l ầ ượ ằ b ng a cho tr ằ ướ

ng tròn (O), (O’) và đi m A. D ng tam giác vuông cân ự ể ườ

i l n l t n m trên (O) và (O’). ạ ầ ượ ằ Bài 50. Cho hai đ đ nh A và hai đ nh còn l ỉ ỉ

ủ ộ

ộ ạ ộ ể ỉ ự

Bài 51. Cho hình vuông ABCD và m t đi m M thu c m t c nh c a hình ộ vuông. D ng hình vuông MNPQ có các đ nh N, P, Q cũng thu c các c nh ạ c a hình vuông ABCD. ủ

PHÉP Đ NG D NG Ồ Ạ

ứ ằ

ị ộ

và m t phép t nh ti n ho c tích m t phép t nh Bài 52. Ch ng minh r ng: a. Tích hai phép v t ị ự b. Tích m t phép v t ộ ị ự ị ị ự ặ ế ho c phép t nh ti n. ế ộ ặ

là phép v t ti n và m t phép v t ộ ị ự ế là m t phép v t ị ộ . ị ự

ứ ạ ồ ớ ị

Bài 53. Ch ng minh r ng tích c a m t phép đ ng d ng ngh ch v i chính ộ nó là m t phép v t ị ủ ế ho c m t phép t nh ti n. ằ ị ự ặ ộ ộ

ứ P P là phép đ ng d ng khi và ch khi f ạ ồ ỉ

Bài 54. Ch ng minh phép afin f: bi n góc vuông thành góc vuông. ế

ứ ồ ỉ

ng tròn nào đó thành đ P P là phép đ ng d ng khi và ch khi f ạ ng tròn. Bài 55. Ch ng minh phép afin f: bi n đ ườ ế ườ

Bài 56. Trong h t a đ tr c chu n, cho phép bi n hình f: ệ ọ ộ ự ế ẩ

ạ ị

Ch ng minh f là phép đ ng d ng ngh ch. Hãy phân tích f thành tích ị và phép đ i x ng tr c có tr c đ i x ng đi qua tâm v ụ ộ ồ ố ứ ụ ố ứ ị ự

ứ c a m t phép v t ủ .ự t

Bài 57. Trong h t a đ tr c chu n, cho phép bi n hình f: ệ ọ ộ ự ế ẩ

ạ ậ ồ

và phép quay có tâm quay trùng tâm v t ứ c a m t phép v t ủ Ch ng minh f là phép đ ng d ng thu n. Hãy phân tích f thành tích ộ . ị ự ị ự

ớ ặ ỉ ố ạ ồ

ứ ấ

ể Bài 58. Cho f là phép đ ng d ng ngh ch t s k > 0 và k 1. V i c p đi m ị t ng ng M và M’ = f(M), ta l y đi m I và J sao cho (M’, M, I) = k và ể ươ (M’, M, J) = k. Tìm qu tích c a I và J. ủ ỹ

ọ ỉ

Bài 59. Cho tam giác nh n ABC. D ng hình vuông MNPQ có hai đ nh M, ự i n m trên c nh AB và AC. N n m trên c nh BC, hai đ nh còn l ạ ạ ằ ạ ằ ỉ

ng tròn (O). D ng hình vuông MNPQ có ủ ườ

Bài 60. Cho dây cung AB c a đ hai đ nh M, N n m trên dây cung AB, còn P, Q n m trên cung AB. ằ ự ằ ỉ

ng tròn ti p xúc v i hai c nh c a góc xOy đã cho và đi ườ ự ủ ạ ớ

Bài 61. D ng đ ế qua đi m A n m trong góc đó. ằ ể

ự ạ

ộ i A. D ng qua A m t ắ i B và C sao cho AB = kAC, k là t t ng tròn (O) và (O’) c t nhau t ầ ượ ạ

ườ ng th ng c t (O) và (O’) l n l c. Bài 62. Cho hai đ đ ẳ ườ s d ố ươ ắ ng cho tr ướ

ủ ườ ố ị ể ể

ố ủ ể ấ

Bài 63. Cho hai đi m A, B c đ nh c a đ ng tròn (O), m t đi m M thay ộ đ i trên đ ng tròn. Trên tia đ i c a tia MA l y đi m N sao cho MN = ổ ườ MB. Tìm qu tích đi m N. ỹ ể

ườ

Bài 64. D ng tam giác ABC trong các tr ạ ộ

t hai c nh AB, AC và đ t và đ dài hai đ t góc , và OH = ườ d (O là tâm đ ự a. Bi b. Bi c. Bi ng h p sau: ợ ng phân giác c a . ủ m, CN = n. ng trung tuy n BM = ế ng tròn ngo i ti p tam giác, H ạ ế ườ ế ế ế

là tr c tâm tam giác) ự

ỉ ố ỉ ố ườ

ườ

ng phân giác góc B. ớ ạ m. a, trung tuy n BM = t góc , t s hai c nh AB, AC và chu vi tam giác. d. Bi ạ ế t góc , t s hai c nh AB, AC và đ e. Bi ạ ế t hai góc , , đ f. Bi ng trung tuy n ng v i c nh BC. ế ứ ế t góc c nh BC = g. Bi ế ạ ế

ộ ườ ố ị

ố ị ẽ ộ ổ ể ỹ

ộ Bài 65. Cho m t đi m A c đ nh, m t đ ng tròn (O) c đ nh và m t ể đi m C thay đ i trên (O). V hình vuông ABCD. Tìm qu tích các đi m B ể và D.

giác ABCD có các đ ứ

ủ ứ

ườ ế ng th ng BD. G i B’, D’ là các hình chi u vuông góc c a B, D t

ng chéo AC và BD không vuông góc ng ng trên ươ ươ ng ủ giác ABCD và A’B’C’D’ ế ng th ng AC. Ch ng minh hai t ọ ẳ ườ ứ ứ

ạ

Bài 66. Cho t v i nhau. G i A’, C’ là các hình chi u vuông góc c a A, C t ọ ớ đ ẳ ườ ng trên đ ứ đ ng d ng. ồ III. L i gi ng d n bài t p ch i, đáp s , h ng II ố ướ ờ ả ươ ậ ẫ

Bài 1. Áp d ng các tính ch t c a phép bi n hình afin. ấ ủ ụ ế

ể ạ

Bài 2. (A, B, I) = 1 suy ra (B, A, f(I)) = 1 nên f(I) là trung đi m đo n th ng ẳ BA.

ế

ng th ng IJ thì t ủ ẳ ừ ể ộ

Bài 3. a. Theo bài 2, suy ra trung đi m I, J c a AB và CD bi n thành chính ể nó. G i M là m t đi m b t kì c a đ tính ch t b o toán ấ ả ủ ườ ọ t s đ n c a ba đi m th ng hàng c a f ta suy ra f(M) = M. ủ ỉ ố ơ ủ

ng h p 1: n u AD // BC thì ABCD là hình thang. ng h p 2: n u AD c t BC t ườ ườ i E thì ta đi ch ng minh E, I, J ứ ắ ạ ấ ẳ ế ế ể ợ ợ

b. Tr Tr th ng hàng. ẳ

Bài 4. Lí thuy t.ế

Bài 5. Có 3! = 6 phép.

ầ ượ ế ộ

ệ

t là giao đi m c a AC và BD, A’C’ và B’D’. đó I, I’ l n l ấ ầ ầ ượ ủ ể ở Bài 6. Luôn có duy nh t m t phép afin f bi n A, B, C l n l t thành A’, B’ C’. Đ f(D) = D’ ta c n có đi u ki n (A, C, I) = (A’, C’, I’) và (B, D, I) = ề ể (B’, D’, I’) 16

Bài 7. (Hình 3)

Hình 3

ấ Luôn có duy nh t m t phép bi n hình afin f bi n A, B, C l n l ế

ử ụ ế ớ ạ ườ ứ

c (A, C, I) = (B, D, J), (D, B, I) = (E, C, J) t ừ

ệ ả

ầ ượ t ộ ng chéo song song v i c nh ta ch ng minh thành B, C, D. S d ng các đ đ đó suy ra f(D) = E. Mà E = ượ CE DE. Ch ng minh f(CE) = DA, f(DE) = EA (b o toàn quan h song ứ song). T đó suy ra f(E) = A. ừ

Bài 8.

Bài 9.

Bài 10. gf: ; f g:

Bài 11.

a. f(d): 2x + y + 13 = 0; f-1(d): 10x + 5y 19 = 0 b. (4, 2). c. 7x + y 8 = 0

Bài 12.

ấ ộ ể

-1(d): (7A + 4B)x

+ Xét f: Đi m b t đ ng là I( , 2). G i đ ng th ng b t đ ng là d: Ax + By + C = 0; f ọ ườ ấ ộ ẳ

ng. T đó ta tìm đ c hai đ ấ ộ ừ ỉ ượ ệ ầ ườ ấ ng th ng b t ẳ

+ (2B A)y + A + 4B + C = 0. d b t đ ng khi và ch khi: có nghi m không t m th ườ đ ng:ộ

ấ ng th ng g m toàn đi m b t đ ng là: 2x + y 2 = 0 2x 2y 3 = 0 và 4x y = 0 + Xét g: a 4: f có đi m b t đ ng duy nh t. ể a = 4: f có đ ẳ ấ ộ ồ ấ ộ ườ ể

ng th ng b t đ ng: t ng t nh v i f, bi n lu n theo tham ườ ấ ộ ẳ ươ ự ư ớ ệ ậ

Tìm đ s a.ố

Bài 13.

Dùng ph ươ ng pháp t a đ đ ch ng minh. ọ ộ ể ứ

Bài 14.

a. b.

Bài 15.

a. b.

Bài 16.

ng th ng x + y 1 = 0, t s 1. ườ ỉ ố ẳ

ấ

a. k = 1: f = e. b. f là phép th u x v i tr c là đ ạ ớ ụ ấ c. f không là phép th u x . ạ d. k = 0: f không là phép afin. k 0: p 0: f không là phép th u x . ạ p = 0, k = 1, q 0: f không là phép th u x . ạ ấ

ạ ụ ỉ ố

p = 0, k = 1, q = 0: f = e. p = 0, k 1: f là phép th u x tr c là y = , t s k. ấ t. f. f là phép th u x tr ạ ượ ấ

Bài 17.

a. f là phép th u x ạ ả b. f là phép th u x k = 5, m = 2. ( chú ý khi đ nh th c c a f ph i ạ ứ ủ ấ ấ ị

khác 0)

ự ủ ứ ộ ị

ề ự ự ấ ạ ấ ạ

Bài 18. D a vào ch ng minh đ nh lý v s phân tích c a m t phép afin thành tích không quá 3 phép th u x và d a vào phép th u x afin v i tr c ớ ụ là m t đ ng trung tuy n c a tam giác. ế ủ ộ ườ

Bài 19.

ng th ng đi qua trung đi m c a AB a. không có. b. phép th u x v i tr c là đ ấ ạ ớ ụ ườ ủ ể ẳ

và CD.

c. phép th u x tr c là đ ạ ụ ấ ườ ng th ng BD. ẳ

Bài 21. (Hình 4)

B

B'

A

A'

C

C'

O'

O

F'

F

D'

E'

D

E

Hình 4

V i hai l c giác g n đ u ABCDEF và A’B’C’D’E’F’ luôn t n t ớ ụ ề ầ

ế

ủ ẳ

ấ ả ồ ỉ ố ơ ủ ng ng bi n thành C’, E’, D’. ồ ạ i phép afin f bi n hình bình hành AFEO thành hình bình hành A’F’E’O’. Do tính ch t b o t n t s đ n c a ba đi m th ng hàng c a f ta suy ra C, E, D ể t ươ ứ ế

ng đ ộ ộ ươ ặ ng afin đ c ươ

Bài 23. Xét m t phép afin bi n elip thành m t hình t bi ế ng tròn (C). Ta d dàng ch ng minh đ ệ ễ

t là đ ườ ứ T đó, ta suy ra cách v đ ng kính liên h p v i đ ừ ẽ ườ c nh sau: k m t dây cung MN song song v i đ ướ c bài toán. ượ ớ ườ ợ ớ ườ ư

c đ ẽ ượ ườ ể

ứ ẽ

ng kính liên h p là khái ni m afin. ợ ệ

ng t ng kính AB ng kính AB. ng kính đi qua hai trung ng kính liên h p c a AB. Khi đó ta s ch ng minh ợ V i hypebol làm t ươ cho tr ẻ ộ N i hai trung đi m c a AB và MN ta s đ ủ ố đi m đó chính là đ ủ ườ ể c đ đ ượ ườ ớ . ự

Bài 25. (Hình 5)

(C)

Hình 5

ệ ủ ươ

ng tròn ng cao Xét m t hình t t c a (E) đó là đ ng afin đ c bi ộ ng th ng c n ch ng minh đ ng quy tr thành ba đ ườ ng đ ầ ươ ứ ặ ồ ẳ ở ườ ườ

(C). Ba đ trong tam giác. T đó ta có ngay đi u ph i ch ng minh. ứ ừ ề ả

Bài 26. (Hình 6)

C1

(C)

B1

A1

Hình 6

Chuy n sang bài toán v đ ng th ng Simpson. ề ườ ể ẳ

ể ộ ế

ở

ườ ữ ậ ạ ế ng h p hình ch nh t n i ti p đ ữ ợ ườ

Bài 27. (Hình 7) Chuy n sang hình bình hành n i ti p (C) khi đó hình bình ng h p ngo i ti p hình bình hành tr thành hành là hình ch nh t. Còn tr ợ hình thoi. Tr ề ng tròn ta có ngay đi u ậ ộ ế ườ ph i ch ng minh. ứ ả

Hình 7

Tr ng h p hình thoi ngo i ti p đ ườ ạ ế ng tròn. G i O là tâm đ ọ ườ

ườ ng đó suy ra A, O, C th ng hàng. Ch ng minh ẳ ứ ợ ứ ừ

ta có B, O, D th ng hàng. ng t tròn (C), ta đi ch ng minh t t ươ ự ẳ

Bài 28. (Hình 8)

Hình 8

ế

ng đ ế ng afin đ c bi ệ ươ Dùng 1 phép bi n hình afin bi n hình bình hành ABCD thành m t ộ ừ ả gi ươ

ặ t ta suy ra AM = DN, MD = NC. Ch ng minh đ c ABM = DAN. hình t thi ế t là hình vuông (Hình 1). Khi đó, t ượ

ườ ườ ằ

ng tròn đ ớ ng kính ạ AD ủ

AB, đ và BC t

Suy ra góc AIB b ng 90 ườ ạ Tr l ộ

ộ ườ ủ

ứ 0 nên qu tích I là đ ỹ ng tròn này đi qua tâm c a hình vuông, ti p xúc v i hai c nh ế . i A và B ở ạ ố ớ bình hành có m t đ ph ng là AD; AD và BC là hai ti p tuy n c a elip t i đ i v i hình bình hành, qu tích I là m t elip đi qua tâm hình ng kính liên h p c a nó có ợ ườ i A và B. ế ủ ỹ ng kính là AB, đ ế ươ ạ

ố ứ ụ ấ ồ

Bài 30. Có 8 phép: phép đ ng nh t, 4 phép đ i x ng tr c, 1 phép đ i x ng ố ứ tâm, hai phép quay.

ố ứ ụ ế ị

Bài 31. 1 phép t nh ti n, 1 phép đ i x ng tr c, 1 phép đ i x ng tâm, 1 ố ứ phép quay.

Bài 32. Có 6 phép: phép đ ng nh t, 3 phép đ i x ng tr c, hai phép quay. ố ứ ụ ấ ồ

ng h p: AB và A’B’ n m trên hai đ ườ ẳ

ợ ặ ườ ế ằ ố ứ ộ

ng th ng; AB và A’B’ n m trên hai đ ộ ườ ị ẳ ườ ằ ẳ

ng th ng song Bài 33. Chia ba tr song (1 phép t nh ti n ho c m t phép đ i x ng tâm); AB và A’B’ n m trên ằ m t đ ng th ng c t nhau (phép ắ quay). 22

Bài 34.

a. b. c. d.

Bài 35. ho c ặ

Bài 36. + , p = q = 0: m i đi m c a m t ph ng đ u b t đ ng. ấ ộ ủ ề ặ ọ

ẳ ấ ộ ể

ể + , p2 + q2 0: f không có đi m b t đ ng. + : f có đi m b t đ ng duy nh t. ấ ộ ể ấ

ủ ứ ấ

ấ ộ ừ ể ấ ộ ố ứ ụ ụ ớ

ộ Bài 37. Tìm đi m b t đ ng c a f. Ch ng minh f luôn có duy nh t m t đ đó suy ra f là phép đ i x ng tr c v i tr c là ườ đ ườ ng th ng b t đ ng t ẳ ng th ng . ẳ

Bài 38. + Tr c là đ ng th ng y = , vect t là ụ ườ ẳ tr ơ ượ

+ Tr c là đ ụ ườ ng th ng: ẳ

vect t là tr ơ ượ

ng th ng x + 3y + 15 = 0, vect t là . + Tr c là đ ụ ườ ẳ tr ơ ượ

t nên ta ố ứ ế ả ượ

Bài 39. D ng chính t c c a phép ph n chi u là phép đ i x ng tr có ngay đi u ph i ch ng minh. ả ắ ủ ứ ạ ề

Bài 40.

ố ứ

ẽ ế Hình 9) AA’ // BB’: phép đ i x ng tr c s bi n ng ng thành B, B’. Do đó M s bi n thành M’ nên qu tích trung ẽ ế ụ ỹ

A, A’ t đi m c a đo n th ng MM’ là tr c c a phép đ i x ng. ể ng h p 1: ( ợ ườ ứ ạ + Tr ươ ủ ố ứ ụ ủ ẳ

Hình 9

+ Tr ượ ng h p 2: ( ợ ự ủ

minh đ ự ủ và BB’. Ch ng minh tam giác OAA’ đ ng d ng v i tam giác OMM’. ẽ ứ Hình 10) AA’ không song song BB’. Ta s ch ng ườ c trung tr c c a MM’ đi qua O là giao c a hai trung tr c c a AA’ ủ ớ ứ ạ ồ

Hình 10

i phép đ ng d ng thu n f tâm O, góc , t s k mà f(M) = I ừ ậ ồ ạ ỉ ố ạ ậ ồ

nên qu tích M là đ ng th ng f(AB). T đó ta suy ra: V y t n t ỹ ườ ẳ

ng h p 1: A, B, A’, B’ th ng hàng nh hình v : phép quay tâm Bài 41. (Hình 11) + Tr ư ẽ ẳ ợ ườ

I, góc quay (2k+1)1800 (k ).

+ Tr

ng h p 2: AB, A’B’ không n m trên m t đ ng th ng. Phép ộ ườ ẳ Hình 11 ằ ợ

ườ quay tâm I, góc quay .

1 (trùng O2), góc quay .

Bài 42.

2 tâm O2 bi nế

a. là phép quay v i tâm O ớ b. là phép quay v i tâm O, góc quay . ớ c. là phép t nh ti n theo mà . ế ị

3 = .

Bài 44. Xét phép quay Q1 tâm O1 bi n A thành B, phép quay Q B thành C, phép quay Q3 tâm O3 bi n C thành A và ch ng minh Q ế ế ứ

Bài 45. (Hình 12)

A

B'

C'

C

A'

B

Hình 12

ế

ế ộ

ụ ề ả ả

Xét phép quay Q1 tâm B’, góc quay 900, bi n C thành A, phép quay Q2 tâm C’, góc quay 900, bi n A thành B. Xét tích là m t phép quay v i ớ góc quay + = 1800 k.3600. Áp d ng k t qu bài 42, ta có đi u ph i ch ng ứ ế minh.

600

Bài 46. (Hình 13)

Hình 13

Xét phép quay tâm B, góc quay 600 thì các đi m C’, C l n l ầ ượ ể ế t bi n

thành A và A’.

Bài 47. (Hình 14)

Hình 14

0, A là t o nh ạ ả

ủ ả

• Phân tích: Gi

B = a’ b, a’ là nh c a a qua phép quay tâm C, góc quay 60 c a B qua phép quay đó. ủ

s ta d ng đ c ả ử ự ượ

Bài 48. (Hình 15)

d

D

O"

O'

O

Hình 15

(O”) là nh c a (O) qua phép đ i x ng tr c d ố ứ ụ ủ ả

Bài 49. (Hình 16)

M'

l

M

O'

O"

O

Hình 16

M’ = (O’) (O”), đó (O”) là nh c a (O) qua phép t nh ti n theo ở ủ ế ả ị

vect . ơ

Bài 50. (Hình 17)

C

A

O'

O

B

Hình 17

Bài 51. H ng d n: s d ng phép quay tâm M, góc quay 90 ử ụ ướ ẫ

Q

D

A

P

M

C

B

N

Hình 18

Bài 52. S d ng lí thuy t v phép v t ế ề ử ụ . ị ự

Bài 53, 54, 55. S d ng bi u th c t a đ c a phép đ ng d ng. ứ ọ ộ ủ ử ụ ể ạ ồ

Bài 56. Bi n đ i f: ế ổ

ộ ố ứ ụ

tr c đi qua tâm v t nên là m t phép đ ng d ng ngh ch t s k = 5. Suy ra f là tích c a m t phép v t ị ự ủ ồ ị ự ụ ị

và m t phép đ i x ng tr c có ỉ ố ỉ ố ố có tâm I, t s 5 và phép đ i ộ ộ ủ

ộ x ng tr c có tr c đ i x ng đi qua I. ứ

ạ Phân tích f thành tích c a m t phép v t ị ự ụ Tìm đi m b t đ ng c a f: Đó là I() suy ra bi u th c c a V(I, 5): ụ ố ứ ấ ộ ứ ủ ủ ể ể

d: mà Đd(I) = I nên: ụ ố ứ

đó tr c đ i x ng d: x – 2y – 5 = 0. , g i Đọ t ừ

tâm I(1, 3), t s 5 và phép ị ự ủ ỉ ố

Bài 57. Phân tích f thành tích c a phép v t quay v i góc quay tâm I, góc quay mà cos = , sin = . ớ

Bài 58. (Hình 19)

d'

M

H

d

O

I

M'

M1

J

Hình 19

ồ ị

ị ự ủ

ạ ạ ố ứ ế ộ ả ớ

Cho f là phép đ ng d ng ngh ch t s k > 0 và k 1 nên f không là m t ộ ỉ ố tâm O, phép ph n chi u. Khi đó d ng chính t c c a f là tích c a phép v t ắ ủ t s k v i m t phép đ i x ng tr c có tr c d đi qua O. Khi M d, ta ch ng ứ ụ ụ ỉ ố minh I d, khi M d, hi n nhiên I d. Suy ra qu tích I là đ ể ỹ

Ch ng minh JO // MM ng th ng d. ẳ ườ 1 suy ra JO d. Suy ra qu tích J là đ ỹ ứ ườ ng

th ng d’ d và đi qua O. ẳ

Bài 59. (Hình 20)

A

P

Q

C

B

N

M

N'

M'

Hình 20

Bài 60. (Hình 21)

P'

Q'

Q

P

B

A

N

M

I

Hình 21

Bài 61. (Hình 22)

x

A

A'

t

I

O

I'

y

Hình 22

Bài 62. (Hình 23) HD: Dùng phép v t ị ự tâm A, t s k ho c k. ỉ ố ặ

O"

C

A

B

O'

O

Hình 23

ứ ả ồ

ạ N là nh c a M qua phép đ ng d ng Bài 63. (Hình 24) HD: Ch ng minh tâm B, góc quay , t s đ ng d ng k ( tính theo s đo cung AB, k tính theo ). ỉ ố ồ ủ ố ạ

B

A

N

M

O

Hình 24

Bài 64. D ng tam giác ABC trong các tr ự ườ ng h p sau: ợ

t hai c nh AB, AC và đ ủ

a. (Hình 25) Bi G i AB = ế b, AC = b đ ườ ng phân giác AD = ng phân giác c a . d. ạ ườ ọ

A

b

c

d

C

B

D

Hình 25

s đã d ng đ ỏ

ượ ự t n m trên các đ b, c. c tam giác ABC th a mãn bài toán. ườ

nói trên. T đó suy ậ ị ự ừ

ng tròn nh c a (A, c) và nh c a (A, ng tròn tâm A, bán kính tâm D t s . ỉ ố ị ự b) qua phép v t b). 1) Phân tích: Gi ả ử Ta có B, C l n l ầ ượ ằ Ta có nên B là nh c a C qua phép v t ả ủ V y B thu c đ ộ ườ ra B là giao c a (A, ủ ủ ủ ả ả

b) qua phép v t ủ

b). nói trên. ị ự c) và nh c a (A, ủ ả

b). 2) Cách d ngự : - D ng AD = ự - D ng (A, b), (A, c). ự - D ng nh c a (A, ự ả - D ng B là giao c a (A, ủ ự - D ng C = BD (A, ự

3) Ch ng minh : T cách d ng có ngay đi u ph i ch ng minh. ứ ứ ự ừ ề ả

c) và nh c a (A, b). 4) Bi n lu n ệ ậ : Bài toán có nghi m n u có giao c a (A, ủ ệ ế ủ ả

b. Bi t và đ dài hai đ ng trung tuy n BM = m, CN = n. ế ộ ườ ế

A

M

N

n

m

G

B

C

Hình 26

ạ

ể ấ ể ườ

m luôn d ng đ ượ ể ủ ng tròn (G, ể ứ ể ạ

ở ỉ ố

tâm B t s 2. t góc , và OH = d (O là tâm đ c. Bi c, suy ra: HD: (Hình 26) Ta th y đo n th ng BM = ự ẳ ộ n); đi m A thu c đi m G luôn xác đ nh, đi m N thu c đ ộ ị cung ch a góc ch n b i đo n BM. Mà nên đi m A là nh c a đi m N ả ắ qua phép v t ị ự ế ng tròn ngo i ti p tam giác, H ạ ế ườ

ự

ườ ng

d’. Dùng phép v t là tr c tâm tam giác) HD: D ng tam giác A’B’C’ sao cho có H’ là tr c tâm, O là tâm đ ự tròn ngo i ti p; OH’ = ạ ế ự tâm O, t s . ỉ ố ị ự

Bài 65. (Hình 26)

HD: AC = AD = AB.

O

C

B

450 D

450 A

Hình 27

Bài 65. (Hình 28)

B

C'

A

D'

B'

A'

C

D

Hình 28

NG III

BÀI T P CH Ậ

ƯƠ

: ươ

ượ ng này giúp cho sinh viên ẳ ệ ặ

A. M c tiêu ụ - N m đ ắ ạ ả ủ ể ể ữ ệ ẳ ậ

: Bài t p ch ậ c khái ni m m t ph ng x nh, các mô hình c a m t ặ ạ ả ề ng pháp tiên ậ ọ ươ ứ ằ

ph ng x nh, rèn luy n cho sinh viên nh ng l p lu n logic đ hi u v các mô hình đó. Có thói quen nghiên c u hình h c b ng ph đ . ề

ng pháp t a đ đ làm các bài t p v ử ụ ươ ọ ậ ề

ặ ạ ả

ế t v n d ng phép bi n hình x nh đ gi ế ộ ể ạ ả ạ ả ế ậ ụ ể ả ậ i các bài t p

- Có kĩ năng s d ng ph m t ph ng x nh, ánh x x nh và bi n hình x nh. ẳ ạ ạ ả - Sinh viên bi ơ ấ

ng III bao g m các v n đ sau: ề ấ ồ ươ

ẳ

ạ ả ẳ

ụ

ạ ả ế

ộ

ế

hình s c p . Bài t p ch n i dung: B. Mô t ậ ả ộ - M t ph ng x nh ạ ả ặ - Mô hình c a m t ph ng x nh ặ ủ - M c tiêu x nh. ạ ả - Ánh x x nh và bi n hình x nh ạ ạ ả C. N i dung c th : ụ ể I. Các ki n th c c b n c n n m v ng: ứ ơ ả ầ 1. Đ nh nghĩa đi m, đ ị ể ạ ả ữ ẳ

đ ẳ ườ

ơ ẳ ị

ẳ ặ ủ

ủ ể ố

hàng. T s kép c a b n đ

ầ ố ị ỉ

ủ ố ườ ề ắ ố

ạ ạ ả ệ ữ ế

ẫ ạ ả hình x nh và bi n hình afin. ữ ế ạ ạ ả ữ ể

ụ ế

ắ ng th ng x nh và các tính ch t c a ấ ủ ườ ng th ng trong m t ph ng x nh. ạ ả ặ 2. Đ nh lí Đ -dác (Desargues). 3. Các mô hình c a m t ph ng x nh. ạ ả ẳ 4. Đ nh nghĩa và các tính ch t c a t s kép c a b n đi m th ng ấ ủ ỉ ố ị ng th ng đ ng quy. ỉ ố ồ ẳ 5. Các đ nh lí v hình b n c nh toàn ph n, hình b n đ nh toàn ph n. ầ ố ạ 6. Nguyên t c đ i ng u. 7. Phép bi n hình x nh. Phép th u x x nh. Liên h gi a bi n ế ấ ạ ả ườ ng 8. Ánh x x nh gi a các hàng đi m và gi a các chùm đ ấ ủ th ng. (Chú ý phép chi u xuyên tâm, xuyên tr c và các tính ch t c a ẳ chúng). II. Bài t p:ậ

M T PH NG X NH Ạ Ả Ặ Ẳ

P g i là đ c l p n u ba vect ơ ạ đ i ạ ả ế

ộ ậ ứ ệ ằ

Bài 1. Ba đi m trong m t ph ng x nh ặ ể di n cho chúng là ba vect ế a. Ba đi m A, B, C là đ c l p khi và ch khi chúng không th ng hàng ọ đ c l p tuy n tính. Ch ng minh r ng: ỉ ẳ ể

ứ ằ ng th ng). ẳ

ộ ườ t A, B, C không đ c l p thì có th tìm cho ộ ậ ể

ệ t là . ẳ ơ ộ ậ ộ ậ (t c là chúng không n m trên m t đ b. N u ba đi m phân bi ể đ i di n l n l ệ ầ ượ ế nó các vect ơ ạ

ố ể ặ ẳ

ạ ả ể ể ể ằ

Bài 2. Cho b n đi m A, B, C, D trong m t ph ng x nh P trong đó b t kìấ ba đi m nào cũng đ c l p. Ch ng minh r ng có th tìm cho các đi m đó các vect ộ ậ đ i di n cho chúng l n l t là . ứ ầ ượ ơ ạ ệ

ố ể ạ ả ẳ

ể ặ ẳ

ộ ậ i Q, AD và BC c t nhau t ng th ng AB và CD c t nhau t ườ ắ ứ ể ạ ạ

P trong đó b t kìấ Bài 3. Cho b n đi m A, B, C, D trong m t ph ng x nh ba đi m nào cũng đ c l p. Các đ i P, AC ạ ắ và BD c t nhau t i R. Ch ng minh ba đi m P, ắ Q, R đ c l p. ộ ậ

ẳ ể

ể ố ườ ẳ

P cho b n đi m A, B, C, D trong đó không có ba ầ ượ ấ t l y ng th ng MN, AC, PQ ế ể

ẳ ng th ng MQ, BD, NP cũng đ ng quy. Bài 4. Trong m t ph ng ặ đi m nào th ng hàng. Trên các đ ẳ các đi m M, N, P, Q. Ch ng minh r ng n u ba đ ứ đ ng quy thì ba đ ẳ ồ ng th ng AB, BC, CD, DA l n l ườ ằ ồ ườ

MÔ HÌNH C A M T PH NG X NH Ặ Ạ Ả Ủ Ẳ

ặ ầ ể ặ

ậ -clit ba chi u. Kí hi u {S} là t p ệ ề r ng có th xây đ ng ự ể ỏ ằ ườ ng ứ ạ ả ộ

Bài 5. Cho m t c u S trong không gian h p các c p đi m xuyên tâm đ i c a S. Ch ng t ố ủ ợ {S} thành m t mô hình c a m t ph ng x nh. Trong mô hình đó đ ủ ẳ ặ th ng x nh là nh ng t p h p nào? ậ ạ ả ữ ẳ ợ

ẳ Ơ ặ

ườ ậ

ọ ố ủ ẳ ặ ở

ợ ủ ậ Bài 6. Cho đ -clit. G i [C] là h p c a t p ng tròn C trong m t ph ng ườ h p đi m n m trong và t p c p đi m xuyên tâm đ i c a đ ng tròn C. ể ặ ằ ể ợ Hãy làm cho [C] tr thành m t mô hình c a m t ph ng x nh. Trong mô ạ ả ộ hình đó đ ợ ủ ng th ng là nh ng t p h p nào? ữ ườ ẳ ậ

Bài 7. Trong mô hình s th c c a m t ph ng x nh, hãy ch ra: ố ự ủ ạ ả ẳ ặ ỉ

ể ể ẳ

ể ẳ ố

a. Ba đi m th ng hàng. ẳ b. Ba đi m không th ng hàng. c. B n đi m trong đó không có ba đi m nào th ng hàng. ư ế ờ c th hi n th nào n u xem ế

ể ệ ị

ể ệ ờ

ể c th hi n nh th nào? Bài 8. Trong mô hình bó, đ nh lí Đ -dác đ ượ Bài 9. Trong mô hình afin, đ nh lí Đ -dác đ ị ế ượ ng th ng AA’, BB’, CC’ là đi m vô t n? đi m đ ng quy c a các đ ườ ủ ể ể ậ ẳ ồ

M C TIÊU X NH Ạ Ả Ụ

i; E} cho các

P v i m c tiêu x nh {A ạ ả ẳ ạ ả ụ ớ

Bài 10. Trong m t ph ng x nh ặ đi m:ể

ứ

ng th ng AB đi qua đi m A A(a1: a2: a3), B(b1: b2: b3), C(); (a3.b3 0) a. Ch ng minh ba đi m A, B, C th ng hàng. ể b. Tìm đi u ki n c a a ẳ ẳ ệ ủ i, bi đ các đ ườ ể ề ể

ế t công th c đ i m c tiêu x nh c a ụ ạ ả ủ P trong các tr ứ ổ ườ ợ ng h p

Bài 11. Vi sau:

a. T m c tiêu {A b. T m c tiêu {A c. T m c tiêu {A

3, A1, A2; E}. 1, A2; A3}. 1, A2, A3; E’} bi

ụ ụ

1: a2: a3).

tế

1, A2, A3; E} sang m c tiêu {A 1, A2, A3; E} sang m c tiêu {E, A 1, A2, A3; E} sang m c tiêu {A ố ớ

ừ ụ ừ ụ ừ ụ t a đ c a E’ đ i v i m c tiêu th nh t là (a ọ ộ ủ ụ ứ ấ ụ

P v i m c tiêu x nh cho tr ớ ẳ ụ

c: ướ ẳ

ể ườ Bài 12. Trong m t ph ng x nh ặ ạ ả a. Tìm x đ ba đi m A(a ể b. Tìm u2 đ ba đ ể ạ ả 1, a2, x), B(b1, b2, b3), C(c1, c2, c3) th ng hàng. ẳ ồ

ạ ả ạ ả ụ ẳ ớ

1, A2, A3; E} ườ ng 3A, A1B,

ể ứ 3B, A1C, A2A đ ng quy khi và ch khi ba đ ng th ng sau đ ng quy: x1 – x2 + x3 = 0, x1 + x2 – x3 = 0, 2x1 + u2x2 + x3 = 0. P v i m c tiêu x nh {A ằ ng th ng A ẳ ườ ồ ỉ

Bài 13. Trong m t ph ng x nh ặ cho ba đi m: A(a: 1: 1), B(1: b: 1), C(1: 1: c). Ch ng minh r ng ba đ th ng Aẳ A2C đ ng quy. ồ

1E2 A1A2, E2E3 A2A3, E3E1 A3A1 n m trên m t đ

P cho m c tiêu x nh {A ạ ả ạ ả ụ ẳ

1, A2, A3; E}, Bài 14. Trong m t ph ng x nh ặ g i Eọ 1 = A1E A2A3; E2 = A2E A3A1; E3 = A3E A1A2. Ch ng minh các giao đi m Eể

ứ ộ ườ ng th ng. ẳ ằ

ị ạ ả ặ ẳ

ể ệ ẳ

ọ

P: Cho 6 Bài 15. Ch ng minh đ nh lí Pap-puyt trong m t ph ng x nh ứ ẳ đi m phân bi t không th ng hàng A, B, C, D, E, F trong đó A, C, E th ng hàng, B, D, F th ng hàng. G i M = AB DE, N = BC EF, P = CD FA. ẳ Ch ng minh M, N, P th ng hàng. ứ ẳ

P v i m c tiêu x nh cho tr c, cho ba ớ ẳ ụ ạ ả ạ ả ướ

ể

ứ

c). ướ

Bài 16. Trong m t ph ng x nh ặ đi m A(1: –1: 0), B(1: 0: –1), C(0: 1: –1). a. Ch ng minh A, B, C th ng hàng. b. Tìm t a đ đi m D bi ọ ộ ể ẳ ườ ứ

ẳ t (A, B, C, D) = k (k cho tr ế Bài 17. Trên đ ng th ng d cho 6 đi m A, B, C, A’, B’, C’. Ch ng minh ể n u (A, A’, B, C) = (B, B’, C, A) = (C, C’, A, B) = – 1 thì (A’, A, B’, C’) = ế (B’, B, C’, A’) = (C’, C, A’, B’) = – 1.

c (đ ỉ ướ ể

t th ng hàng A, B, C. Ch dùng th ng th ng) hãy d ng đi m D sao cho (A, B, C, D) = 1. Bài 18. Cho ba đi m phân bi ệ d ng các đ ự ự ẳ ể ể ẳ ườ

ỉ ố ệ ể

ộ ặ ứ ấ

t th ng hàng A, B, C, D sao cho t s kép ta Bài 19. Cho b n đi m phân bi ố ẳ có (A, B, C, D) > 0. Ch ng minh r ng có m t c p đi m P, Q duy nh t sao ể ằ cho (A, B, P, Q) = (C, D, P, Q) = – 1.

ẳ

t thu c các đ ể ườ ể ớ ể ẳ ộ

ầ Bài 20. Cho ba đi m không th ng hàng A, B, C và ba đi m P, Q, R l n l ng th ng BC, CA, AB và không trùng v i các đi m A, ượ B, C.

ng th ng BC, CA, AB. ộ ộ ọ ườ

ọ

ề ệ ầ ủ ể

ồ ẳ

ủ ể ể ẳ

b. M t đ a. G i E là m t đi m không thu c các đ ẳ ể G i A’ = AE BC, B’ = BE CA, C’ = CE AB. Ch ng minh: ứ (B, C, A’, P). (C, A, B’, Q). (A, B, C’, R) = 1 là đi u ki n c n và đ đ ba đ ng th ng AP, BQ, CR đ ng quy và (B, C, A’, P). (C, A, B’, Q). (A, B, ườ C’, R) = –1 là đi u ki n c n và đ đ ba đi m P, Q, R th ng hàng. ườ ắ ẳ ng th ng

t t ng th ng d không đi qua A, B, C c t các đ ứ

ệ ầ ủ ể ề

ể ẳ

ủ ể ườ ầ

ệ ầ ề ẳ ộ ườ BC, CA, AB l n l i A”, B”, C”. Ch ng minh: ầ ượ ạ (B, C, A”, P). (C, A, B”, Q). (A, B, C”, R) = 1 là đi u ki n c n và đ đ ba đi m P, Q, R th ng hàng (đ nh lí Mê-nê-la-uyt) và và (B, C, A”, P). (C, A, ị B”, Q). (A, B, C”, R) = –1 là đi u ki n c n và đ đ ba đ ng th ng AP, ẳ ệ ề BQ, CR đ ng quy (đ nh lí Xê-va). ồ ị

ẳ ỉ

ng th ng phân bi ườ ng th ng) hãy d ng đ ướ c ng th ng d sao cho (a, b, c, d) = ể ự t đ ng quy a, b, c. Ch dùng th ệ ồ ườ ự ẳ ẳ

Bài 21. Cho ba đ (đ d ng các đ ườ – 1.

ng th ng có ph ng trình: ố ườ ẳ

Bài 22. Cho b n đ

r ng chúng thu c m t chùm, tìm t a đ tâm c a chùm và ủ ọ ộ

tính t s kép c a b n đ ươ x1 – x2 + 2x3 = 0, 3x2 + 2x3 = 0, x1 + 2x2 + 3x3 = 0, 3x1 + 7x3 = 0 Ch ng t ộ ộ ứ ng th ng đó. ẳ ỉ ố ỏ ằ ủ ố ườ

ng th ng phân bi ẳ

ể

ấ i A. Trên d l y t B’, C’, D’. ệ ồ ng th ng BB’, CC’, DD’ đ ng ệ ầ ủ ể ườ

t d và d’ c t nhau t Bài 23. Cho hai đ ắ ườ ạ ệ ba đi m phân bi t B, C, D và trên d’ l y ba đi m phân bi ể ấ ệ Ch ng minh đi u ki n c n và đ đ ba đ ẳ ề ứ quy là:

(A, B, C, D) = (A, B’, C’, D’).

ể ẳ ằ

ng th ng thay đ i c t a, b l n l ng th ng a, b và đi m M không n m trên chúng. Qua ườ i A và B. Tìm qu tích ầ ượ ạ ẳ ổ ắ ỹ

Bài 24. Cho hai đ t t M v m t đ ẽ ộ ườ nh ng đi m N sao cho (A, B, M, N) = k không đ i. ổ ể ữ

ẳ ng th ng thay đ i, c t a ườ ẳ ng th ng a, b và đi m M không n m trên chúng. V ể B và B’. Tìm qu A và A’, c t b ở ằ ở ắ ắ ẽ ỹ

Bài 25. Cho hai đ qua M hai đ ổ ườ tích giao đi m c a AB’ và A’B. ủ ể

Bài 26. Phát bi u đ nh lí đ i ng u c a đ nh lí Đ -dác và Pap-puyt. ẫ ủ ị ể ố ờ ị

Bài 27. Phát bi u đ nh lí đ i ng u c a đ nh lí Mê-nê-la-uyt và Xê-va. ẫ ủ ị ể ố ị

ủ ể ẫ

Bài 28. Phát bi u bài toán đ i ng u c a các bài toán 22, 23, 24. Nêu k t ế ố qu các bài toán đ i ng u đó. ẫ ả ố

ủ ặ ằ ẳ ị

ứ ạ ả

Bài 29. Ch ng minh các đ nh lí sau c a m t ph ng afin b ng cách dùng mô hình x nh: 39

ủ ắ ạ ủ i trung đi m c a ể

a. Hai đ ườ m i đ ỗ ườ ườ

ng chéo c a hình bình hành c t nhau t ng.

ủ ớ

ề ặ

b. Đ ng trung bình c a hình thang song song v i hai đáy. c. Trong m t hình thang, trung đi m hai đáy chia đi u hòa c p giao ể ạ d. Qua giao đi m S c a hai c nh bên hình thang k m t đ ạ

ng chéo và hai c nh bên. ộ đi m hai đ ể

ườ ể

ẻ ộ ườ ng ng chéo hình thang ớ ạ ắ ườ

ng chéo R và S. ắ ườ ở

ồ

ủ th ng song song v i hai c nh đáy c t hai đ ẳ i M, N thì SM = SN. t ạ e. Đ ng trung bình c a hình thang c t hai đ ườ ủ Ch ng minh RP = SQ. ứ f. Trong m t tam giác ba đ ộ g. Trong tam giác ABC đ ng trung tuy n đ ng quy. ế ạ ng th ng đi qua trung đi m hai c nh ể ẳ

AB, AC thì song song v i c nh BC. ườ ườ ớ ạ

i bài toán d ng hình sau c a hình h c afin b ng cách ch dùng ả ủ ự ằ ọ ỉ

Bài 30. Gi c:ướ th

c khi đã cho ạ ủ ướ ẳ

a. D ng trung đi m c a các đo n th ng AB cho tr ng th ng d song song v i AB. ủ

ể ẳ ự m t đ ộ ườ ớ

b. Cho C là trung đi m c a đo n th ng AB và m t đi m D không ng th ng song song

ể ể ẳ ạ ộ

ộ ườ ự ẳ ớ

th ng hàng v i A, B, C. D ng qua D m t đ ẳ v i AB. ớ

ừ ặ ẳ ờ ạ

Bài 31. T các đ nh lí Đ -dác, Mê-nê-la-uyt, Xê-va trong m t ph ng x ả nh hãy suy ra nh ng k t qu c a hình h c afin. ế ả ủ ị ữ ọ

CÁC PHÉP BI N HÌNH X NH Ạ Ả Ế

ế ằ

c hay không? t r ng có ba đi m A, B, C không Bài 32. Cho phép bi n hình f: P P, bi ể th ng hàng là đi m b t đ ng c a f, t c là f(A) = A, f(B) = B, f(C) = C.Có ủ ứ ể th k t lu n đó là phép đ ng nh t đ ấ ượ ế ấ ộ ồ ẳ ể ế ậ

ứ ạ ả ấ

r ng phép bi n hình x nh f: ỏ ằ ố ế ấ ộ ể

P P là phép đ ng nh t khi Bài 33. Ch ng t ồ và ch khi nó có b n đi m b t đ ng trong đó không có ba đi m nào th ng ẳ ể ỉ hàng.

P P có ph ng trình (X’) = A(X). ế ạ ả ươ

1: u2: u3) 1’: x2’: x3’)

1’: u2’: u3’)

ng th ng u(u ẳ

Bài 34. Cho phép bi n hình x nh f: Hãy tìm t a đ c a: ọ ộ ủ nh c a đ Ả ạ ả ạ ả ủ ườ a. b. T o nh c a đi m X’(x ủ ể ng th ng u’(u c. T o nh c a đ ẳ ủ ườ

1, A2, A3; E}. ề ng trình c a phép bi n hình x nh th a mãn m t trong các đi u

ạ ả ụ ẳ

P cho m c tiêu x nh {A ỏ ạ ả ế ạ ả ủ ộ

Bài 35. Trong m t ph ng x nh ặ Tìm ph ươ ki n sau: ệ

ề ấ ộ

2, A3, A1 còn

a. Các đi m Aể b. Các đi m Aể

t bi n thành các đi m A ế ể

2A3 bi n thành chính nó và

đi m E thì b t đ ng.

ng th ng A ẳ ế

i đ u là đi m b t đ ng. ể 1, A2, A3 l n l ầ ượ ấ ộ 1 b t đ ng, đ ấ ộ ườ 2 bi n thành đi m A ể ế d. T t c các đi m c a đ ủ ườ A3 bi n thành đi m E.

ể ng th ng A ẳ ể 1A2 đ u b t đ ng, còn đi m ấ ộ ề

ể c. Đi m Aể đi m Aể ấ ả ế ể

Bài 36. Cho phép bi n hình x nh f: P P có ph ng trình: ạ ả ế ươ

Tìm nh ng đi m b t đ ng và nh ng đ ấ ộ ữ ữ ể ườ ng th ng b t đ ng c a f. ấ ộ ủ ẳ

ẳ ặ ọ

ng th ng b t đ ng. Bài 37. Ch ng minh r ng m i phép bi n hình x nh c a m t ph ng đ u ề ế có ít nh t m t đi m b t đ ng và m t đ ộ ườ ằ ấ ộ ủ ấ ộ ạ ả ẳ ứ ộ ể ấ

1, d2, d3, d4 l nầ

ạ ả ng th ng d ẳ ườ ố

1’, d2’, d3’, d4’ l n l

t có ph ặ ng trình: ươ

ng trình: t có ph ng th ng d ẳ ố ườ ầ ượ ươ

Bài 38. Trong m t ph ng x nh cho b n đ ẳ l ượ x1 + x2 + x3 = 0, 3x1+ 2x2 – 2x3 = 0, 3x1 – x2 + x3 = 0, 6x1 – 2x2 – 7x3 = 0 và b n đ 5x1 +2x3 = 0, 25x1 –2x2 +4x3 = 0, 19x1 –12x2 +16x3 = 0, 11x1 –14x2 +5x3 = 0

ươ ế

t ph 1, d2, d3, d4 l n l ng trình c a phép bi n hình x nh sao cho các 1’, d2’, d3’, Hãy vi ế ng th ng d ẳ ủ t bi n thành các đ ầ ượ ạ ả ng th ng d ẳ ườ ế

đ ườ d4’.

ụ ể ạ ấ ả

a. Nêu cách d ng nh c a đ ủ ườ ộ b. Nêu cách d ng nh c a m t đi m N tùy ý và nh c a m t ủ

ủ Bài 39. Cho phép th u x có tâm S, tr c s và cho đi m M và nh M’ c a nó.

ng th ng d đi qua M. ộ ẳ ể ủ ả

ự ả ả ự ng th ng tùy ý. đ ẳ ườ

ỉ ố ấ ạ ạ ạ ế

Bài 40. Cho f là phép th u x lo i 1. Hãy tìm t s th u x n u f có tính ch t đ i h p, nghĩa là f ấ 2 = Id. ấ ố ợ

a. Tâm th u x là đi m A

Bài 41. Vi t ph ạ ấ ế

b. Tâm th u x là đi m S(1: 1: 1), tr c th u x là đ

1 +

ạ ủ ể ấ

ươ ấ qua hai đi m Aể ấ ng trình c a phép th u x trong các tr ườ ạ ỉ ố ấ ạ ấ ng h p sau: ợ 1(1: 0: 0), tr c th u x là đ ng th ng đi ẳ ườ ạ ườ ng th ng x ẳ ạ

c. Tâm th u x là đi m S(1: 0: 1), tr c th u x là đ

1 +

ạ

ụ 1(0: 1: 0), A3(0: 0: 1) và t s th u x là k. ụ ể x2 + x3 = 0 và t s th u x là k = 2. ỉ ố ấ ụ ể ng th ng x ẳ ườ ấ ạ ấ ạ

ổ ạ ả

x2 – x3 = 0. Bài 42. Cho phép bi n đ i x nh ế (f): 1. Tìm các đi m b t đ ng và các đ ể ấ ộ ườ ng th ng b t đ ng c a f. ấ ộ ủ ẳ

f là m t phép th u x . Xác đ nh tâm, tr c th u x và t ụ ấ ạ ỉ ỏ ấ ạ ộ ị

ứ ạ ế

ụ ạ ấ ườ ng th ng vô ẳ

2. Ch ng t s th u x (n u có) . ố ấ 3. Nêu th hi n afin c a f khi coi tr c th u x là đ ủ ể ệ t n.ậ

ế ằ ỏ

ứ ệ ủ ị ứ ẳ ồ

ề Bài 43. Ch ng minh r ng n u hai tam giác ABC và A’B’C’ th a mãn đi u ki n c a đ nh lí Đ -dác (t c là các đ ng th ng AA’, BB’, CC’ đ ng quy) ờ ườ thì có phép th u x bi n tam giác này thành tam giác kia. ạ ế ấ

ạ ấ

ấ ấ ứ ằ

ạ 1 và f2 có chung tr c th u x s và có tâm ụ 1 và S2 (không n m trên s). Ch ng minh r ng ằ 3 sao cho S1, S2, S3 th ngẳ ạ ớ ụ

Bài 44. Cho hai phép th u x f ấ t là S th u th u x l n l ạ ầ ượ tích f2f1 cũng là phép th u x v i tr c s và tâm S ấ hàng.

ườ ộ ườ ạ

ằ t d, d’ và hai đi m A, B không n m ng th ng phân bi ể ệ ng th ng a thay đ i đi qua A l n l i D t c t d và d’ t ầ ượ ắ ổ ng th ng MN luôn đi ẳ ườ ứ

Bài 45. Cho hai đ ẳ trên chúng. M t đ ẳ và D’. G i M = d’ BD, N = d BD’. Ch ng minh đ ọ qua m t đi m c đ nh. ể ố ị ộ

ườ ẳ

ể ắ

t d, d’ và hai đi m A, B không n m ằ ệ ắ i M’, BM c t ạ ổ ng th ng AN’ và BM’ luôn ườ ạ ẳ

ủ ng th ng c đ nh. ng th ng phân bi Bài 46. Cho hai đ trên chúng. G i M là m t đi m thay đ i trên d, AM c t d’ t ể d’ t ể n m trên m t đ ố ị ằ ộ i N. Ch ng minh giao đi m c a hai đ ẳ ọ ứ ộ ườ

ườ ể ẳ

t a, a’ và ba đi m th ng hàng P, Q, R ệ A và ẳ ng th ng d thay đ i đi qua P c t a ổ ắ ở

ng th ng phân bi Bài 47. Cho hai đ ẳ không n m trên chúng. M t đ ộ ườ ằ B. Tìm qu tích giao đi m c a QA và RB. c t b ể ắ ủ ở ỹ

ả ủ ế ể ố

Bài 48. Phát bi u bài toán đ i ng u c a bài 46. Nêu k t qu c a bài toán ẫ ủ đ i ng u. ố ẫ

III. L i gi i, đáp s , h ng d n bài t p ch ng III ờ ả ố ướ ẫ ậ ươ

đ nh nghĩa thông qua s đ c l p tuy n tính ừ ị ự ộ ậ ế

đ i di n. Bài 1. a. D dàng suy ra t ễ c a các vect ơ ạ ủ ệ

đ i di n là ph ệ ộ ậ ơ ạ

ụ t không đ c l p có ba vect ả i 2 s k, l : . Đ t thì ta có ngay đi u ph i ề ặ ố ế

b. A, B, C phân bi ệ thu c tuy n tính nên t n t ồ ạ ch ng minh. ộ ứ

Bài 2. T ng t 1b. ươ ự

đ i di n cho các đi m A, B, C, D. Theo bài 2 ta có ọ ơ ạ ệ ể

Bài 3. G i là các vect th ch n sao cho = . ể ọ

ng t ự ể

Khi đó ta có = đ i di n cho đi m P = AB CD. T ươ t là các vect ấ ta có = , = ộ ậ đ i di n cho các đi m Q, R. Ta th y ngay , , đ c l p ạ ơ ạ ể

l n l ầ ượ tuy n tính nên P, Q, R đ c l p. ế ệ ệ ộ ậ

ề ị

Bài 4. Áp d ng đ nh lí Đ -dác cho c p tam giác BMN và DQP (nhi u cách ặ ờ ụ khác ch n c p tam giác). ọ ặ

ự ườ

ặ ầ ứ ủ

ặ ươ ố ặ ầ ớ

ng th ng là các đ ng tròn l n. ng th ng tâm O là tâm Bài 5. Xây d ng song ánh p: B {S} (B là bó đ ẳ ộ ặ ng th ng a c a bó B v i m t c p c a m t c u S) đ t t ng ng m i đ ớ ẳ ỗ ườ ủ đi m xuyên tâm đ i (A, A’) là giao c a a v i m t c u S. Trong mô hình đó ủ ể đ ườ ườ ẳ ớ

ự ầ ử ặ

ộ ặ ớ ể ằ ộ

ặ ắ ẳ ế ộ

ặ

ng th ng s là các đ ẽ ẽ ở ườ ủ

là các c p đi m xuyên tâm đ i thu c ộ Bài 6. Xây d ng {S} v i ph n t ố ể thành m t m t m t c t ho c là m t đi m không n m trên m t c t tr ặ ở ặ ắ ọ {S} lên [C] (ch n ph ng x nh. Sau đó dùng m t phép chi u thích h p t ợ ừ [C] là m t c t c a {S}) thì [C] s tr thành m t ph ng x nh. Trong mô ẳ ạ ả hình đó đ ng kính c a C ho c các cung tròn đi qua ặ m t c p đi m xuyên tâm đ i. ộ ặ ạ ả ặ ắ ủ ườ ẳ ể ố

Bài 7. Chú ý đi u ki n v t a đ c a các vect đ i di n cho các đi m. ề ọ ộ ủ ề ệ ơ ạ ệ ể

ng th ng c a bó, đ ườ ạ ả ủ ẳ

ẳ ể ẳ

ư ẳ

ể ồ ọ ẳ ồ

ườ ứ ẳ ẳ

ng th ng s (đi qua O) thì các đ ườ ẳ ẳ

ườ ng Bài 8. Trong mô hình bó đi m x nh là các đ th ng x nh là các m t ph ng đi qua tâm c a bó nên ta có th phát bi u ể ạ ả ủ ặ ẳ ng th ng a, b, c không đ ng ph ng đ nh lí Đ -dác nh sau: Cho ba đ ườ ờ ị i O. G i (a, a’) là i O; a’, b’, c’ không đ ng ph ng đ ng quy t đ ng quy t ạ ồ ạ ồ m t ph ng ch a các đ ng th ng a và a’ và n u (a, a’) (b, b’) (c, c’) = ế ặ đ ng th ng d = (a, b) (a’, b’); e = (b, c) ườ (b’, c’); f = (a, c) (a’, c’) đ ng ph ng. ẳ ồ

ồ

ể ể ệ ể ế

ẳ ặ

ứ ứ ủ ặ ặ

ứ ỉ

ỉ ạ ng ng song song thì c p còn l ạ ươ

ạ ng ng song song thì đ ớ ặ ứ ứ

ủ Bài 9. Trong mô hình afin, đ nh lí Đ -dác khi xem đi m đ ng quy S c a ị ờ AA’, BB’, CC’ là đi m vô t n thì đ nh lí th hi n: N u hai tam giác có ậ ị ng ng song song thì ho c các giao đi m đ ể ng th ng n i các đ nh t ươ ườ ố ặ ng ng th ng hàng ho c n u có hai c p (n u có) c a ba c p c nh t ế ẳ ươ ế i cũng song song ho c n u ch có c nh t ặ ế ặ ươ ạ ặ ng n i giao đi m c a hai c p m t c p c nh t ủ ể ườ ộ ặ nh t ng ng song song đó. ạ ạ ươ (m t đ nh lí x nh tr thành ba đ nh lí afin khi xem S là đi m vô t n). ị ộ ị ố ứ i song song v i c p c nh t ươ ạ ở ng ng còn l ạ ả ể ậ

1, A2, A3; E} sang m c tiêu {A

3, A1, A2; E}

Bài 11.

ụ ổ

2, k1, k3) = (1, 1, 1).

+ + đ i di n cho đi m đ n v E nên ta có (k ệ ể ạ

a. Đ i m c tiêu t {A ừ ụ đ i di n là A3(0: 0: 1) có vect ơ ạ ệ đ i di n là A1(1: 0: 0) có vect ơ ạ ệ đ i di n là A2(0: 1: 0) có vect ệ ơ ạ ị ơ T đó ta có công th c đ i m c tiêu: ứ ổ ụ ừ

b,c. T .

ươ Bài 14. S d ng ự ử ụ đ nh lí Đ -dác. ng t ị ờ

ng pháp t a đ ch n m c tiêu x nh sao cho các ụ ạ ả ươ ộ

1, A2, E3 l n l

Bài 15. S d ng ph ử ụ đ nh và đi m đ n v trùng vào b n trong s các đi m nói trong đ nh lí. ị ể ỉ ọ ố ọ ố ể ơ ị

ọ ụ ớ

i g i có t a đ l n l t trùng v i các ầ ượ t là: (1: a: 0), (1: b: 0), ạ ọ ọ ộ ầ ượ

Bài 17. Ch n m c tiêu x nh sao cho A ạ ả đi m A, B, C. Ba đi m còn l ể ể (1: c: 0) (a, b, c khác 0 và khác 1).

Bài 18. Dùng tính ch t c a hình b n c nh toàn ph n. ố ạ ấ ủ ầ

t trùng v i các ầ ượ ạ ả ọ ớ

1, A2, E3 l n l Bài 19. Ch n m c tiêu x nh sao cho A đi m A, B, C. G i D(1: d: 0) (d khác 0). G i P(1: p: 0), Q(1: q: 0). ọ

1, A2, A3,

1, A2, A3; E} sao cho các đi m Aể

ụ ọ ể

Bài 20. Ch n m c tiêu x nh {A ụ E l n l ạ ả ọ t trùng v i các đi m A, B, C và E. ể ầ ượ ớ

ứ ỉ ầ ề ế

ạ

ồ ầ ạ

Bài 23. Ta ch c n ch ng minh chi u ng C’, D’) thì BB’, CC’, DD’ đ ng quy. Gi SD c t d’ t ắ có (A, B, C, D) = (A, B’, C’, D”) t c l i: n u (A, B, C, D) = (A, B’, ượ ạ s BB’ và CC’ đ ng quy t i S, ồ ả ử i D” thì theo ph n thu n ta có BB’, CC’, DD” đ ng quy nên ta ậ ồ đó suy ra D’ trùng D” hay DD’ đi qua S. ừ

Bài 24. (Hình 29)

Hình 29

Qu tích N là đ ỹ ườ ng th ng n \ {S} th a mãn (a, b, m, n) = k ỏ ẳ

ng t bài 24 qu tích giao đi m AB’ và A’B là đ ươ ể ỹ

ự ể ủ ỏ ng th ng n \ ẳ ẳ ng th ng ườ

Bài 25. T ườ {S}, S là giao đi m c a a và b th a mãn: (a, b, m, n) = 1 (m là đ đi qua hai đi m M và S). ể

ẫ ủ ị ả ậ ố ờ ờ ị

Bài 26. Đ nh lí đ i ng u c a đ nh lí Đ -dác thu n là đ nh lí Đ -dác đ o và ng ị i. c l ượ ạ

Chú ý: Nên vi ế ị ể ẳ

ẳ ẳ

t là giao c a các c p đ ủ ầ ượ ườ ặ ẳ

t đ nh lí Pap-puyt: Cho 6 đi m không th ng hàng A, ọ B, C, D, E, F trong đó A, C, E th ng hàng, B, D, F th ng hàng. Khi đó g i ng th ng AB và DE, BC và EF, M, N, P l n l CD và FA thì M, N, P th ng hàng. ẳ

T đó ta vi t đ nh lí đ i ng u s đ n gi n h n. ừ ế ị ẫ ẽ ơ ả ơ ố

ị ố ẫ

ạ ể ủ ủ ằ ọ

ị ộ t là các đ ườ ể

ẽ

ườ ồ

ẳ ỉ ủ ố ị

ủ ể ẳ ỉ ỉ

Bài 27. Đ nh lí đ i ng u c a đ nh lí Xêva và Mê-nê-la-uyt: Cho tam giác ABC. M t đi m D không n m trên c nh nào c a tam giác. G i a’; b’; c’ ọ ng th ng đi qua các đi m D và A; D và B; D và C. G i l n l ầ ượ ẳ t là a, b, c. Qua các đ nh A, B, C v các các c nh BC, CA, AB l n l ầ ượ ạ ỉ ng th ng p, q, r đ ng quy đ ng th ng p, q, r. Ch ng minh r ng các đ ẳ ằ ứ ườ khi và ch khi (b, c, a’, p)(c, a, b’, q)(a, b, c’, r) = 1 (đ i ng u c a đ nh lí ẫ Mê-nê-la-uyt). Ba giao đi m c a a và p, b và q, c và r th ng hàng khi và ch khi tích các t s kép nói trên: (b, c, a’, p)(c, a, b’, q)(a, b, c’, r) = 1. ố

A m t đ ng th ng vô t n thì P = ổ ộ ườ ẳ ậ

Bài 29. Ta b sung vào m t ph ng afin ẳ A tr thành m t ph ng x nh. ẳ ặ ặ ạ ả ở

ố ạ ầ

ở ủ ộ ố ầ ạ ỉ ị

a. Khi đó hình bình hành tr thành m t hình b n c nh toàn ph n có hai đ nh thu c . Áp d ng đ nh lí c a hình b n c nh toàn ph n ta có ngay ụ đi u ph i ch ng minh. ộ ứ ề ả

ỉ ố ị

f. S d ng m i liên h gi a t s đ n và t s kép và đ nh lí Xêva. ử ụ Các ý còn l ệ ữ ỉ ố ơ i. ố i sinh viên t gi ự ả ạ

ươ ườ ự ệ ề ng th ng vô t n có nhi u ậ

Bài 30. T ẳ ố cách nên m i đ nh lí x nh ta s có nhi u đ nh lí afin. bài t p s 9. Vi c ch n đ ị ẽ ng t ỗ ị ậ ạ ả ọ ề

ự ể

ấ ủ ể ườ ẽ ạ ẳ

ể Bài 31. D a vào tính ch t c a hình thang: trung đi m hai đáy, giao đi m hai đ ng chéo, giao đi m hai c nh bên th ng hàng ta s suy ra cách d ng.ự

ể ấ ặ ể

ồ ạ ồ ạ ộ

ổ ạ ả ầ ượ ế

Bài 32. f không là phép đ ng nh t vì ta có th l y c p đi m M, M’ sao cho ấ i phép M, M’ không thu c các c nh c a tam giác ABC. Khi đó luôn t n t ủ bi n đ i x nh bi n các đi m A, B, C, M l n l ớ t thành A, B, C, M’. V i ể m i c p đi m M, M’ ta s có các phép x nh khác nhau. ế ỗ ặ ạ ả ẽ ể

Bài 33. Lí thuy t.ế

ng th ng u: (U) ng trình đ ươ

1’: u2’: u3’).

ng th ng u ườ ẳ t (X) = 0. T bi u th c t a ứ ọ ừ ể tA-1) ng trình u’: ((U) ươ

Bài 34. Kí hi u (U), (U’) là các ma tr n c t t a đ c a các đ ệ ậ ộ ọ ộ ủ và u’ = f(u). Ph ẳ ườ -1(X’) ta có ph đ c a f: (X)’ = A(X) ta có (X) = A ộ ủ (X) = 0. ng t T ươ , tìm t o nh c a X’ và c a u’(u ủ ạ ả ủ ự

Bài 35. a. Ma tr n c a f: ậ ủ

1 + x2 + x3 = 0.

b. ; c. ; d.

t c các đi m c a: x ể ấ ả

Bài 36. Đi m b t đ ng: M(1: 2: 3); t ấ ộ ẳ ể ườ ấ ộ

đó A + 2B + 3C = 0. (cách làm t ủ 1 + x2 + x3 = 0; Ax1 + Bx2 + Cx3 = 0 trong nh trong phép bi n hình afin). ng t Đ ng th ng b t đ ng: x ươ ự ư ế

ể ế ứ ọ ổ ạ ả

ỉ ộ ọ ộ ỏ

i khi và ch khi det(A – k I ồ ạ ỉ

ươ ệ

ớ ườ ề ậ

i và b n giao đi m A

i’

ng t . ể Bài 37. Bi u th c t a đ c a phép bi n đ i x nh k (X’) = A (X). Đi m ộ ủ 3)(X) = 0. Đi m b t X b t đ ng khi và ch khi c t t a đ th a mãn (A – k I ấ ể ấ ộ ậ 3) = 0. Đây là m t ph đ ng t n t ng trình b c ươ ộ ộ ng trình luôn có ít nh t m t nghi m k ba đ i v i k (d khác 0) nên ph ộ ấ ố ớ khác 0. T đó suy ra đi u ph i ch ng minh. V i đ ậ ng th ng l p lu n ẳ ứ ả ừ t ươ ự

ể ố

i c a các đ ủ i’. Tìm f bi n Aế

ng th ng d ẳ ườ i thành Ai’. Bài 38. Ta tìm 4 giao đi m Aể c a các đ ủ ng th ng d ẳ ườ

1, A2 thu c tr c th u x f, A ụ

Bài 39. Lí thuy t.ế

ạ ấ ộ

ạ ả ng trình f: Bài 40. Ch n m c tiêu x nh sao cho: A ọ trùng tâm th u x S. Ph ấ ụ ạ ươ

Mà f2 = e nên ta suy ra a2 = b2 do đó a = – b và t s th u x b ng – ỉ ố ấ ạ ằ

Bài 41. a. f có A1, A2, A3 b t đ ng nên ph ng trình c a f có d ng: ấ ộ ươ ủ ạ

1E c t s t ắ

ạ 1(0: 1: 1). Ta có: ế

E(1: 1: 1) bi n thành E’(a: b: b); A (E) = (S) + (E1); (E’) = a.(S) + b.(E1). V y t s th u x b ng b/a = i E ậ ỉ ố ấ ạ ằ

k. T đó ta suy ra bi u th c t a đ c a f: ể ứ ọ ộ ủ ừ

b. f: c. f:

Bài 42.

1.Các đi m b t đ ng c a f: t ấ ộ ủ ể ấ ả t c nh ng đi m n m trên đ ể ữ ằ ườ ng

1 + x2 + x3 = 0; đi m S(1: 1: 1); đ

th ng s: x ẳ ể ườ ng th ng b t đ ng c a f là : ấ ộ ủ ẳ

x1 + x2 + x3 = 0 ho c uặ 1x1 + u2x2 + u3x3 = 0 v i uớ 1 + u2 + u3 = 0 và .

2. Ta có S không thu c s nên f là phép th u x lo i 1. Tâm th u x là S(1: ạ ạ ấ ấ ạ ộ

1: 1). T s c a phép th u x b ng 4. ỉ ố ủ ạ ằ ấ

Bài 43. (Hình 30)

Hình 30

ng th ng đi qua E, F, G, t ẳ ỉ

Ta có (S, M, B, B’) = (S, N, A, A’) = (S, P, C, C’) = k = không đ i. ổ Khi đó xét phép th u x tâm S, tr c là đ ườ ụ ạ ấ t thành A’, B’, C’. ầ ượ s k thì f bi n A, B, C l n l ố ế

Bài 44. (Hình 31)

Hình 31

1, k2. Khi đó ta có:

t là k G i fọ 1, f2 là các phép th u x có t s l n l ỉ ố ầ ượ ấ ạ

(S1, T1, M, M’) = k1, (S1, T1, M’, M”) = k2.

Chuy n sang t s kép c a các chùm đ ể ỉ ố ườ ủ ẳ

1S2, s, DM, DM”) = k1.k2 hay

ng th ng ta có: (DS1, DT1, DM, DM’) = k1, (DS2, DT2, DM, DM’) = k2.

(S3, T3, M, M”) = k1.k2. T đó suy ra đi u ph i ch ng minh. Hay: (S1S2, s, DM, DM’) = k1, (S1S2, s, DM, DM’) = k2 Theo tính ch t c a t s kép ta suy ra: (S ấ ủ ỉ ố ả ừ ứ ề

Bài 45. (Hình 32)

Hình 32

1: d d’ tâm B , f2: d’ d tâm A.

Xét phép chi u xuyên tâm f ế

Xét f = f1f2f1: d d’ thì f(N) = M mà I t ự ứ ế ng nên f là phép chi u

xuyên tâm S nào đó c đ nh. V y MN luôn đi qua đi m c đ nh S. ố ị ố ị ể ậ

Bài 46. Là đ i ng u c a bài 45. (SV t ch ng minh tr c ti p). ẫ ủ ố ự ứ ự ế

t xét hai t ọ ầ ượ ươ ừ

ng ng t ứ ứ

ng ng đó là hai ánh x x nh gi a hai chùm đ ế ứ ườ ẳ

ng th ng mà QR t ỹ ừ ụ

chùm Bài 47. G i I = QB RA; J = QA RB. L n l tâm Q đ n chùm tâm R bi n QB thành RA; QA thành RB. Ch ng minh hai ế ự t ạ ạ ả ươ ữ ng nên chúng là các phép chi u xuyên tr c. T đó suy ra qu tích I, J là ế ứ các tr c c a các phép chi u đó. ụ ủ ế

NG IV

BÀI T P CH Ậ

ƯƠ

ng IV nh m rèn luy n cho sinh viên : : Bài t p ch ậ ằ

ạ ậ ậ

ự ậ ng b c hai nh : ph ươ ươ ng ư ắ ủ ng trình chính t c c a

A. M c tiêu ệ ươ ụ - Có kĩ năng làm các d ng bài t p v đ ề ườ trình c a đ ng b c hai, c c đi m, c c tuy n, ph ủ ườ ế ể ự ng b c hai. đ ậ ườ

ườ ệ ữ

i các bài toán s c p. ặ ể ả ử ụ ườ

ng cônic ng ôvan trong ơ ấ ườ ế

t cách s d ng m i liên h gi a đ ố ế ng cônic đ gi ớ ư ầ i b ng ph ạ ả

ề ấ ồ

ng IV bao g m các v n đ sau: ươ ng b c hai ậ

ắ ủ ườ

ng b c hai ậ ng ôvan, đ nh lí Steiner, đ nh lí Pascal. ị

ộ

ế ắ

ữ ắ ủ ườ ườ ậ ậ

ng ôvan trong m t ph ng x nh và đ - Sinh viên bi m t ph ng x nh v i các đ ẳ ạ ả - T đó s u t m các bài toán s c p liên qua đ n các đ ơ ấ ừ ng pháp x nh. mà có th gi ươ ể ả ằ Bài t p ch B. Mô t n i dung: ậ ả ộ ng trình c a đ - Ph ủ ườ ươ - C c đi m, c c tuy n ế ự ể ự ng trình chính t c c a đ - Ph ươ - Tính ch t c a đ ấ ủ ườ ị C. N i dung c th : ụ ể I. Các ki n th c c b n c n n m v ng: ứ ơ ả ầ 1. Đ ng b c hai. D ng chính t c c a đ ạ ườ ẳ ạ ả ặ ng b c hai. Liên h gi a ệ ữ ẳ ng cônic trong m t ph ng ặ

đ ườ afin.

ế ủ 2. Đi m liên h p, c c tuy n, c c đi m, đi m kì d . Ti p tuy n c a ự ự ế ể ể ể ế ợ ị

đ ườ

3. Các đ nh lí: Steiner thu n, đ o; Pascal, Brianchon. ậ ả ng b c hai. ậ ị

II. Bài t pậ

PH NG TRÌNH C A Đ ƯƠ Ủ ƯỜ NG B C HAI Ậ

Bài 1. Cho đ ng b c hai trong m t ph ng x nh có ph ng trình: ườ ạ ả ậ ặ ẳ ươ

ng b c hai là suy bi n. Tìm các giá tr c a k sao cho đ ị ủ ườ ế ậ

i; E}

ng b c hai suy bi n trong h t a đ {A ệ ọ ế ậ ộ

ng trình đ ườ 1, A2, A3, E. Bài 2. L p ph ươ ậ đi qua các đi m Aể

1x2 + x2x3 + x3x1 = 0 là

ng trình x ườ ậ ươ

ng b c hai có ph 1, A2, A3. Bài 3. Ch ng minh đ ứ không suy bi n và đi qua A ế

ng trình nh S’ c a đ ng b c hai S có ph ng trình qua ủ ườ ả ậ ươ

Bài 4. L p ph ậ phép bi n đ i x nh: ế ươ ổ ạ ả

(f):

ng b c hai có ph ườ ủ ể

ậ 1A3, A2A3, A1A2, A3E, A1E trong h t a đ x nh {A ng trình v i các ớ i; E}. Bài 5. Tìm các giao đi m c a đ đ ườ ươ ệ ọ ộ ạ ả ng th ng A ẳ

C C ĐI M, C C TUY N Ự Ự Ế Ể

ứ ể ề ể ằ

1 và ườ ng

ợ ng b c hai không suy bi n S thì c c tuy n c a U là đ ớ ế ủ ự ế ậ

Bài 6. a. Ch ng minh r ng đi m U liên h p đi u hòa v i hai đi m V V2 đ i v i đ ố ớ ườ 1V2. th ng Vẳ

ủ b. Cho S không suy bi n, U không thu c S. D ng c c tuy n c a ự ự ế ế ộ

1, V2 v i đ

đi m U đ i v i S. ố ớ ể

ế ạ ế ắ ng b c hai không suy bi n S c t ế ậ

Bài 7. Hai ti p tuy n t nhau t i V i U. Tìm c c tuy n c a U đ i v i S. ế ủ ớ ườ ố ớ ự ạ

ế ể

1, U2, U3 có các ng b c hai không suy bi n S và ba đi m U 1, U2, U3 th ng hàng khi và ẳ

1, d2, d3. Ch ng minh U ứ

ậ t là d

Bài 8. Cho đ ườ c c tuy n l n l ế ầ ượ ự 1, d2, d3 đ ng quy. ch khi d ồ ỉ

Bài 9. Cho đ ng b c hai (S) có ph ng trình: ườ ậ ươ

1, A2, A3, E đ iố

ươ ng trình các c c tuy n c a các đi m A ế ủ ự

1 + x2 – x3 = 0 đ i v i S.

a. Tìm ph v i S trong h t a đ x nh đã cho {A ệ ọ ộ ạ ả ớ b. Tìm t a đ c c đi m c a đ ể

ể i; E}.

ọ ộ ự ủ ườ ng th ng x ẳ ố ớ

a. Tìm ph

Bài 10. Cho đ ng b c hai (S) có ph ng trình: ườ ậ ươ

b. Tìm t a đ c c đi m c a đ

ng trình c c tuy n đ i v i (S) c a các đi m A(1: 2: – ươ ố ớ ự ủ ế ể

1); B(1: 1: –1). ọ ộ ự ủ ườ ể ng th ng AB. ẳ

ng trình: . L p ph ng trình các ườ ậ ậ ươ

ươ 1, A2, A3, E. ng b c hai (S) có ph Bài 11. Cho đ ti p tuy n v i (S) đi qua m i đi m A ỗ ớ ể ế ế

PH NG TRÌNH CHÍNH T C C A Đ ƯƠ Ủ ƯỜ Ắ NG B C HAI Ậ

ằ ầ ố ố ỉ

ườ ậ

ứ ng b c hai không suy bi n (S) thì ba đ liên h p đ i v i (S). Bài 12. Ch ng minh r ng hình b n đ nh toàn ph n có b n đ nh A, B, C, D ỉ ạ ng chéo c a nó t o thu c đ ủ ế ườ ộ thành m t tam giác t ố ớ ộ ự ợ

Bài 13. Tìm d ng chính t c c a các đ ng b c hai sau: ắ ủ ạ ườ ậ

a. b. c. d.

ng ôvan S và U là c c đi m c a đ ườ ự ể ẳ

ng th ng d đ i v i S ố ớ ố ứ t U không thu c S. Ch ng minh r ng đi m U là tâm đ i x ng ộ

ng th ng vô t n. Bài 14. Cho đ v i gi thi ứ ế ả ớ c a th hi n afin c a S khi coi d là đ ể ệ ủ ủ ườ ể ằ ậ ẳ ườ ủ

ế ủ ườ ẳ ặ

ng ôvan S trong m t ph ng x ủ ể ệ

ạ Bài 15. Cho a, b là hai ti p tuy n c a đ ự P, và I là giao đi m c a a, b. Xác đ nh th hi n afin c a S khi coi c c nh ả ị ể tuy n d c a đi m I là đ ậ ế ế ủ ng th ng vô t n. ườ ủ ể ẳ

ế ặ ạ

ặ Bài 16. Ch ng minh r ng trong m t ph ng afin, đo n ti p tuy n b ch n gi a hai đ ị ẳ ng ti m c n c a hypebol có trung đi m là đi m ti p xúc. ằ ậ ủ ứ ườ ế ể ữ ể ế ệ

ng ti m c n t i các ắ ộ ườ ậ ạ ệ

Bài 17. M t cát tuy n b t kì c t hypebol và hai đ ấ ế đi m A, B, C, D. Ch ng minh AC = BD. ứ ể

ng elip n i ti p trong m t hình bình ườ ứ ằ ộ

ế ng chéo hình bình hành là tâm c a elip. Bài 18. Ch ng minh r ng n u đ hành thì giao đi m c a hai đ ể ế ườ ộ ủ ủ

ứ ế

i các đi m A, B v i parabol. Ch ng minh ể ng n i giao đi m I c a a, b v i trung đi m M c a AB thì song ớ ớ ể ủ

Bài 19. Cho hai ti p tuy n a, b t ế ạ r ng đ ủ ể ố ằ ườ song v i tr c c a parabol. ớ ụ ủ

ẳ ệ

a’ là đ ườ ộ

ậ a, b. G iọ ng th ng đi qua A và song song ẳ t là ớ b. G i P, Q l n l ầ ượ

Bài 20. Trong m t ph ng afin, cho hypebol (H) có hai ti m c n ặ A, B, C, D là b n đi m thu c (H), ể ố v i ớ a; b’ là đ ng th ng đi qua B và song song v i ẳ ọ ườ b’, BD và a’. Ch ng minh PQ // CD. giao đi m c a AC và ủ ể ứ

NG CÔNIC. Đ NH LÍ STEI-NE, PASCAL. TÍNH CH T C A Đ Ấ Ủ ƯỜ Ị

ố ị ố ị ườ ể ẳ

ủ ứ

Bài 21. Cho ba đi m c đ nh C, D, E và hai đ t ể ỹ ẳ ươ và BE trong m t ph ng x nh. Phát bi u bài toán đ i ng u. ng th ng c đ nh d, d’ ng ng sao cho A, B, C th ng hàng. Tìm qu tích giao đi m M c a DA ể ạ ả ẳ ặ ẫ ố

ố ị ể ộ

ộ i M, N. Tìm qu ạ ẳ ộ

Bài 22. Cho hai đi m A, B c đ nh thu c ôvan (S) và m t đi m F không ể ỹ ng th ng thay đ i đi qua F c t (S) t thu c (S). M t đ ổ ộ ườ tích giao đi m c a AM và BN, AN và BM. Phát bi u bài toán đ i ng u. ủ ắ ể ể ẫ ố

ặ ệ ậ

ườ

ể ẳ ẳ

ng th ng b. G i P, Q l n l

ọ ng th ng PQ song song v i đ Bài 23. Trong m t ph ng afin, cho hypebol (H) có hai đ ườ ẳ b. Trên (H) l y 4 đi m A, B, C, D. G i a’ là đ ấ ẳ ng th ng a; b’ là đ song v i đ ớ ườ đ ầ ượ ẳ ườ Ch ng minh đ ứ ng ti m c n là a, ng th ng đi qua A và song ọ ớ ng th ng đi qua B và song song v i ườ t là các giao đi m c a AC và b’; BD và a’. ủ ng th ng CD ẳ ể ớ ườ ườ ẳ

ẳ

ng ti m c n và chúng c t nhau ẻ C, D. ng hypebol k ộ ườ ắ ẳ ớ ở

hai đi m A, B thu c đ Bài 24. Trong m t ph ng afin, t ừ ặ ng th ng song song v i các đ đ ậ ườ ườ G i O là giao đi m c a hai ti m c n. Ch ng minh O, C, D th ng hàng. ậ ọ ể ệ ứ ủ ể ệ ẳ

ặ ẳ ộ

i các ti p đi m M, N, P t ể ạ ng elip n i ti p trong m t tam ng ng thu c các c nh AB, BC, ứ ộ ế ộ ạ

a.T m t đi m E tùy ý trên c nh BC d ng môt ti p tuy n v i elip ch

Bài 25. Trong m t ph ng afin, cho m t đ ộ ườ giác ABC t ươ ế CA.

ự ế ế ạ ớ ỉ

c. ể ướ

ừ ộ b ng th ằ b. Tính

1 và S2 có ph

ng b c hai S ậ ẳ ườ ạ ả ngươ

Bài 26. Trong m t ph ng x nh cho đ trình l n l

ủ 1 và S2. ng th ng d sao cho m i đ ườ ậ ị

ng b c hai c a chùm các ủ ậ ỗ ườ i c p đi m M’, M” ở 1 và S2 c t d t ng b c hai xác đ nh b i S ể ạ ặ ắ ng ng v i nhau qua m t phép đ ng c u x nh đ i h p f có ố ợ ạ ả ộ ứ ẳ ấ

ặ t là: và ầ ượ a.Tìm các giao đi m c a S ể b. Tìm đ ẳ đ ườ t ươ hai đi m b t đ ng c a hàng đi m d lên chính nó. ớ ấ ộ ể ể

ố ị ố ủ ổ

ủ ủ ế

i C, D Tìm qu tích M, N. Bài 27. Cho ôvan (S) thay đ i luôn đi qua b n đi m c đ nh A, B, C, D. ể G i M là giao đi m c a hai ti p tuy n c a (S) t ể i A, B; N là giao đi m ể ạ ế ọ c a hai ti p tuy n t ế ạ ế ủ ỹ

III. L i gi i, đáp s , h ng d n bài t p ch ng IV ờ ả ố ướ ẫ ậ ươ

Bài 2. ho c ho c ặ ặ

1, A2, A3, E đ i v i (S) l n l

Bài 4. (S’):

t là: ế ủ ự ể ố ớ ầ ượ

Bài 9.a) C c tuy n c a các đi m A ; ; ;

b) U(3: 1: 1)

t là: và . C c đi m c a AB là giao hai ế c aủ A, B l n l ầ ượ ự ủ ể

Bài 10. C c tuy n ự c c tuy n nói trên. ế ự

ự ế ế

ộ ế ủ ự ắ

Bài 11. A1, A2, A3 thu c (S) nên c c ti p tuy n cũng là c c tuy n. E không ự ế ế i ti p tuy n thu c (S) và c c tuy n c a E: không c t (S) nên không t n t ồ ạ ế ộ qua E.

Bài 12. (Hình 33)

Hình 33

ố ấ ủ ầ ỉ

ố ớ ẳ

ừ ế ủ i đ nh R ta l ấ ủ

Theo tính ch t c a hình b n đ nh toàn ph n ta có (QA, QD, QN, QR) ợ = 1 nên ta có (B, C, M, R) = (A, D, N, R) = 1. T đó suy ra M, N liên h p ng th ng PQ là c c tuy n c a R đ i v i (S). Áp v i R đ i v i (S) hay đ ố ớ ự ườ ớ d ng tính ch t c a hình b n đ nh toàn ph n t ự i có PR là c c ố ạ ỉ ụ tuy n c a Q đ i v i (S). T đó suy ra đi u ph i ch ng minh. ừ ầ ạ ỉ ả ế ủ ố ớ ứ ề

Bài 13.

ng th ng trùng nhau. ẳ

2 = 0: c p đ ặ ườ ng th ng o c t nhau. ả ắ

ng trình () ẳ

ng th ng o c t nhau. a) ph ươ b) c p đ ặ ườ c) ôvan o.ả d) c p đ ặ ườ ả ắ ẳ

ng th ng c t ôvan t i hai đi m M, N, c t d t i V. T ắ ẻ ườ ạ ắ

ạ ậ

ể ẳ t suy ra (M, N, U, V) = 1 nên khi coi d là đ ườ ủ ẳ ẳ ể ậ

ủ ẳ

ừ Bài 14. Qua U k đ ng th ng vô t n ta có gi thi ế ả t s đ n (M, N, U) = 1. V y U là trung đi m c a đo n th ng MN v i M, ớ ạ ỉ ố ơ N b t kì thu c (S) th ng hàng v i U nên U là tâm đ i x ng c a th hi n ể ệ ố ứ ộ ấ ng th ng vô t n. afin c a (S) khi coi d là đ ớ ẳ ườ ủ ậ

Bài 15. S d ng m i quan h gi a đ ng ôvan và các đ ng cônic. ệ ữ ườ ử ụ ố ườ

Bài 16. (Hình 34)

(S)

Hình 34

ng ôvan và đ ệ ữ ườ

ế ủ ạ ả ẳ ặ

ợ ớ

i m t ph ng afin cho ra vô t n ta đ c đi u ph i ch ng minh. ng cônic ta chuy n bài Dùng m i liên h gi a đ ể ườ ố toán sang m t ph ng x nh. Ch ng minh OM là c c tuy n c a I, t đó ta ừ ự ứ có I và N liên h p v i nhau đ i v i (S). Suy ra (A, B, M, I) = (P, Q, N, I) = ố ớ 1. Tr l ậ ở ạ ượ ứ ề ặ ẳ ả

Bài 17. (Hình 35)

(S)

Hình 35

bài 16, chuy n sang m t ph ng x nh, gi ng t ạ ả ươ ự ể ẳ ặ ả ử ỏ s M th a

T mãn (A, B, M, I) = 1. Ch ng minh (C, D, M, I) = 1. ứ

(S)

Bài 18. (Hình 36)

Hình 36

ẳ ặ

ế ủ ố ớ ự

Chuy n bài toán sang m t ph ng x nh. Theo bài 12, ta có OPQ là ạ ả ể liên h p đ i v i (S) t c PQ là c c tuy n c a đi m O. Theo bài ự ủ tam giác t ứ 14, khi cho ra vô t n O là tâm đ i x ng c a th hi n afin c a (S). ố ứ ể ệ ợ ậ ể ủ

Bài 19. (Hình 37)

(S)

Hình 37

Chuy n bài toán sang m t ph ng x nh. Ta ph i ch ng minh I, M, ạ ả ứ ể ặ ẳ

P th ng hàng. Ta ch c n ch ng minh IM là c c tuy n c a đi m N. ỉ ầ ự ứ ể ẳ ả ế ủ

Bài 20. (Hình 38) Chuy n bài toán sang m t ph ng x nh: ạ ả ể ặ ẳ

Hình 38

A đ ẳ ườ ẳ

ặ ạ ả B sung vào m t ph ng afin ặ ổ ẳ ạ ở

ệ

ng th ng l n l ở ườ ẳ

ng th ng PQ, CD,

thi t ta ng th ng vô t n sao cho trong ậ i hai đi m E và F. ắ t P = A , (H) tr thành ôvan (S) c t ể ẳ i E và F. Đ ng th ng ườ ạ ế ế t đi qua A và E; B và F. Yêu c u ầ ầ ượ đ ng quy. ẳ ồ ườ Th t v y, xét l c giác EFBDCA n i ti p ôvan (S). Theo gi ả ộ ế m t ph ng x nh Hai ti m c n a và b tr thành hai ti p tuy n a, b t ậ a’ và b’ tr thành hai đ ở bài toán tr thành ch ng minh ba đ ứ ở ụ ậ ậ ế

ị

đ ng quy t i I. có: P = FB CA; Q = BD AE. G i I = EF DC. Theo đ nh lí Pascal ta có: P, Q, I th ng hàng hay PQ, CD, ạ ọ ồ ẳ

Bài 21. (Hình 39)

Hình 39

Xét phép chi u xuyên tâm f: d d’ tâm C ta có f(A) = B. f c m sinh ế

ả m t phép bi n hình x nh g: (D) (E) mà g(DA) = EB. M = DA EB. ạ ả ế ộ

+ Tr ợ ẳ ặ ẳ

ụ ế ậ ỹ

ng nên g không là phép chi u xuyên +Tr ự ứ ườ

tr c. Khi đó theo đ nh lí Steiner đ o qu tích M s là m t đ ế ng ôvan. ng h p 1: C, D, E th ng hàng ho c I, D, E th ng hàng. Khi đó ườ ụ qua g DE là t ng nên g là phép chi u xuyên tr c. V y qu tích M là tr c ự ứ c a phép chi u (đi qua I). ế ủ ng h p 2: DE không t ả ộ ườ ợ ị ụ ẽ ỹ

(S)

Bài 22. (Hình 40)

Hình 40

ư ỹ

Vai trò I, J nh nhau, ta ch c n tìm qu tích I. ỉ ầ Xét f: (A) (B) mà f(AM) = BN. Phân tích f = hg, trong đó:

ạ ạ ị

ị

g: (A) (B): AM BM; h: (B) (B): BM BN. Theo đ nh lí Steiner g là ánh x x nh, h là ánh x x nh đ i h p (đ nh lí Fregier) nên f là ánh x x nh. ạ ạ ả ả ng h p 1: N u A, B, F th ng hàng thì AB là t ợ ố ợ ế ườ ẳ

ạ ạ ả ng nên f là ự ứ phép chi u xuyên tr c. Khi đó qu tích I là tr c c a phép chi u. ế ụ ỹ

+ Tr ế + Tr ườ ế ợ ụ ủ ẳ

chi u xuyên tr c. Khi đó theo đ nh lí Steiner đ o qu tích là ôvan. ị ng h p 2: N u A, B, F không th ng hàng, f không là phép ụ ế ả ỹ

Bài 23. (Hình 41) Chuy n bài toán sang m t ph ng x nh: ạ ả ể ẳ ặ

Hình 41

Yêu c u bài toán tr thành ch ng minh ba đ ng th ng PQ, CD, ầ ở ứ ườ ẳ

thi đ ng quy.Th t v y, xét l c giác EFBDCA n i ti p ôvan (S). Theo gi ồ ộ ế ậ ậ ụ ả ế t

ta có: P = FB CA; Q = BD AE. G i I = EF DC. Theo đ nh lí Pascal ta có: P, ọ ị

Q, I th ng hàng hay PQ, CD, đ ng quy t i I. ẳ ồ ạ

Bài 24. (Hình 42)

(S)

Hình 42

ể ẳ ặ

Chuy n bài toán sang m t ph ng x nh, áp d ng đ nh lí Pascal cho ạ ả i P và Q). ầ ượ ụ t là các ti p tuy n t ế l c giác suy bi n APPBQQ (PP, QQ l n l ụ ị ế ạ ế

(S)

Bài 25. (Hình 43)

Hình 43

s ti p tuy n c a (S) k t ế ủ E c t AC t ắ ẻ ừ ế ạ

ể ng h p l c giác suy bi n thành t ụ ợ ụ ườ ứ

ế ừ ồ

a) Gi i F, ti p đi m là Q. ả ử ế Áp d ng đ nh lí Brianchon cho tr giác ị ABEF ngo i ti p (S) ta có AE, BF, MQ, PN đ ng quy. T đó suy ra cách ạ ế d ng.ự

ụ ồ ị

theo đ nh lí Ceva ta có ngay t s đó b ng 1. b) Áp d ng đ nh lí Brianchon ta có AN, BP, CM đ ng quy. Do đó ị ỉ ố ằ

Bài 26. (Hình 44) ể

a) Giao đi m: A(0: 1: 1); B(0: 1: 1); C(1: 1: 0); D(1: 1: 0). b) Theo a) (S1) và (S2) c t nhau t ắ ự

i b n đi m A, B, C, D th c phân 1) và (S2) bi t. Đó là b n đi m c s c a chùm xác đ nh b i (S ạ ố ị ể ở ệ ơ ở ủ ể ố

(S)

Hình 44

G i (S) là đ ấ ậ ủ ườ ể

ẳ ườ ọ

ứ ị

ấ ộ ừ

ọ ả ỉ ố

ng b c hai b t kì c a chùm ((S) có th suy bi n là ba ế ọ ng th ng c p đ ẳ ng th ng AB và CD; AD và BC; AC và BD). G i d là đ ặ ườ ạ ạ ả b t kì đi qua I = AC BD. Theo đ nh lí Desargues th hai có ánh x x nh ấ đ i h p f t d lên chính nó và I là đi m b t đ ng. G i d (S) = {M’; M”} ể ố ợ thì ta có f(M’) = M”; f(M”) = M’. G i f(F) = F’. Do f b o toàn t s kép và ọ JK là c c tuy n c a I đ i v i (S), nên ta có: ế ủ ố ớ ự

(F’, I, M”, M’) = (F, I, M’, M”) = 1. ấ ủ ỉ ố

ng th ng d c n tìm là đ Theo tính ch t c a t s kép ta có (F’, I, M’, M”) = 1 nên F’ trùng F. ườ ng ườ ể ầ ẳ

V y f có hai đi m b t đ ng là I và F. Và đ th ng b t kì đi qua I ho c J ho c K. ấ ộ ặ ậ ẳ ấ ặ

Bài 27. (Hình 45)