M C L CỤ Ụ
N I DUNGỘTrang
L I NÓI Đ UỜ Ầ 1
BÀI T P CH NG IẬ ƯƠ 2
Bài t p ch ng Iậ ươ 2
L i gi i, đáp s , h ng d n bài t p ch ng Iờ ả ố ướ ẫ ậ ươ 4
BÀI T P CH NG IIẬ ƯƠ 7
Bài t p ch ng IIậ ươ 7
L i gi i, đáp s , h ng d n bài t p ch ng IIờ ả ố ướ ẫ ậ ươ 15
BÀI T P CH NG IIIẬ ƯƠ 34
Bài t p ch ng IIIậ ươ 34
L i gi i, đáp s , h ng d n bài t p ch ng IIIờ ả ố ướ ẫ ậ ươ 40
BÀI T P CH NG IVẬ ƯƠ 48
Bài t p ch ng IVậ ươ 48
L i gi i, đáp s , h ng d n bài t p ch ng IVờ ả ố ướ ẫ ậ ươ 51
TÀI LI U THAM KH OỆ Ả 60
1
L I NÓI Đ UỜ Ầ
T p đ c ng bài gi ng h c ph n Hình h c cao c p (Ph n bài t p)ậ ề ươ ả ọ ầ ọ ấ ầ ậ
đ c vi t d a trên cu n giáo trình Hình h c cao c p c a tác gi Văn Nhượ ế ự ố ọ ấ ủ ả ư
C ng (giáo trình CĐSP – NXB Giáo d c 2004). Cu n giáo trình g m 5ươ ụ ố ồ
ch ng lí thuy t v i ph n đ bài t p không có h ng d n gi i. H c ph nươ ế ớ ầ ề ậ ướ ẫ ả ọ ầ
Hình h c cao c p h c kì V c a ch ng trình đào t o Cao đ ng Sọ ấ ọ ở ủ ươ ạ ẳ ư
ph m Toán v i th i l ng 75 ti t (45 ti t lí thuy t và 30 ti t bài t p).ạ ớ ờ ượ ế ế ế ế ậ
Kh i l ng lí thuy t c a h c ph n t ng đ i n ng và l ng bài t p làố ượ ế ủ ọ ầ ươ ố ặ ượ ậ
khá l n. Hi n t i cũng ch a có m t cu n giáo trình bài t p hình h c caoớ ệ ạ ư ộ ố ậ ọ
c p dành cho ch ng trình đào t o Cao đ ng S ph m. Vì v y vi c ph nấ ươ ạ ẳ ư ạ ậ ệ ầ
bài t p không có h ng d n gi i là m t khó khăn r t l n đ i v i khôngậ ướ ẫ ả ộ ấ ớ ố ớ
ch sinh viên mà c gi ng viên nh t là các gi ng viên tr . Vì v y, tôi đãỉ ả ả ấ ả ẻ ậ
m nh d n vi t ph n bài t p hình h c cao c p v i vi c b sung thêm m tạ ạ ế ầ ậ ọ ấ ớ ệ ổ ộ
s bài t p và ph n h ng d n, đáp s , g i ý tùy vào m c đ khó, d c aố ậ ầ ướ ẫ ố ợ ứ ộ ễ ủ
bài t p. Hy v ng cu n đ c ng bài gi ng s là m t tài li u tham kh oậ ọ ố ề ươ ả ẽ ộ ệ ả
giúp cho sinh viên thu n l i h n trong vi c h c t p không ch theo ch ngậ ợ ơ ệ ọ ậ ỉ ươ
trình đào t o Cao đ ng s ph m Toán theo niên ch mà c theo h c chạ ẳ ư ạ ế ả ọ ế
tín ch . Ch c ch n cu n đ c ng bài gi ng s còn thi u sót, kính mongỉ ắ ắ ố ề ươ ả ẽ ế
các th y cô và các b n sinh viên cùng đóng góp ý ki n đ cu n đ c ngầ ạ ế ể ố ề ươ
bài gi ng ngày càng hoàn thi n h n. ả ệ ơ
Xin c m n các th y cô và các b n! ả ơ ầ ạ
2
TÁC GIẢBÀI T PẬ
CH NG IƯƠ
A. M c tiêuụ: Bài t p ch ng này nh m m c đíchậ ươ ằ ụ :
- Giúp sinh viên có cái nhìn v l ch s phát tri n hình h c. Vai tròề ị ử ể ọ
c a tiên đ V c a -clit đ i v i s phát tri n c a hình h c. Hi u đ củ ề ủ Ơ ố ớ ự ể ủ ọ ể ượ
ph ng pháp tiên đ đ xây d ng hình h c, mô hình c a m t h tiên đ ,ươ ề ể ự ọ ủ ộ ệ ề
vai trò c a toán h c cao c p trong vi c nghiên c u hình h c. Sinh viênủ ọ ấ ệ ứ ọ
hi u đ c vi c xây d ng hình h c cũng nh m t s lí thuy t Toán h c đãể ượ ệ ự ọ ư ộ ố ế ọ
bi t b ng ph ng pháp tiên đ .ế ằ ươ ề
- Sinh viên bi t v n d ng lí thuy t đ đ a ra m t s mô hình đ nế ậ ụ ế ể ư ộ ố ơ
gi n.ả
- Sinh viên th o lu n đ t đ a ra m t s h tiên đ đ n gi n vàả ậ ể ự ư ộ ố ệ ề ơ ả
tìm cho các h tiên đ đó nh ng mô hình c th .ệ ề ữ ụ ể
B. Mô t n i dung:ả ộ Bài t p ch ng I bao g m 3 v n đ sau:ậ ươ ồ ấ ề
- S l c l ch s hình h c.ơ ượ ị ử ọ
- Ph ng pháp tiên đươ ề
- M t s h tiên đ c a hình h c -clit ba chi u.ộ ố ệ ề ủ ọ Ơ ề
C. N i dung c th :ộ ụ ể
I. Bài t pậ
Bài 1. Xét h tiên đ H sau:ệ ề
+ Khái ni m c b n: “đi m” và “đi tr c”.ệ ơ ả ể ướ
+ Tiên đ : 1) Không đi m nào đi tr c chính nóề ể ướ
2) N u đi m A đi tr c đi m B, đi m B đi tr c đi m Cế ể ướ ể ể ướ ể
thì A đi tr c đi m C.ướ ể
Nêu ra m t vài mô hình c a H.ộ ủ
Bài 2. Nêu ra m t vài mô hình c a h tiên đ H đã nói trong ph n líộ ủ ệ ề ầ
thuy t. Tìm m t mô hình c a h tiên đ H sao cho mô hình đó có đúng nế ộ ủ ệ ề
vect , v i n là s nguyên d ng cho tr c.ơ ớ ố ươ ướ
Bài 3. H tiên đ K g m: ệ ề ồ
+ Khái ni m c b n: đi m, đ ng, quan h thu c.ệ ơ ả ể ườ ệ ộ
+ Các tiên đ : ề
1) Có ít nh t m t đi m.ấ ộ ể
2) Qua hai đi m phân bi t có không quá m t đ ng.ể ệ ộ ườ
3) M i đ ng có ba đi m phân bi t.ỗ ườ ể ệ
4) M i đi m n m trên ba đ ng phân bi t.ỗ ể ằ ườ ệ
a. Ch ng minh các đ nh lí:ứ ị
1) Hai đ ng phân bi t có không quá m t đi m chung.ườ ệ ộ ể
3
2) Có ít nh t là b y đi m, có ít nh t là b y đ ng.ấ ả ể ấ ả ườ
b. Xây d ng mô hình c a K g m b y đi m, b y đ ng ho c chínự ủ ồ ả ể ả ườ ặ
đi m, chín đ ng.ể ườ
Bài 4. H tiên đ P g m:ệ ề ồ
+ Khái ni m c b n: đi m, đ ng th ng, đi m thu c đ ng th ng.ệ ơ ả ể ườ ẳ ể ộ ườ ẳ
+ Các tiên đ : ề
1) B t kì hai đi m phân bi t nào đ u thu c m t và ch m tấ ể ệ ề ộ ộ ỉ ộ
đ ng th ng.ườ ẳ
2) B t kì hai đ ng th ng phân bi t nào đ u ch thu c m tấ ườ ẳ ệ ề ỉ ộ ộ
và ch m t đi m.ỉ ộ ể
3) Có ít nh t b n đi m trong đó b t kì ba đi m nào cũngấ ố ể ấ ể
không thu c cùng m t đ ng th ng.ộ ộ ườ ẳ
a. Hãy xây d ng các mô hình c a P. Ch ng t r ng h tiên đ P phiự ủ ứ ỏ ằ ệ ề
mâu thu n n u s h c phi mâu thu n.ẫ ế ố ọ ẫ
b. Hãy ch ng t r ng tiên đ 3) là đ c l p.ứ ỏ ằ ề ộ ậ
c. Ch ng minh h tiên đ P không đ y đ .ứ ệ ề ầ ủ
Bài 5. Tìm m t mô hình c th c a hình h c Lôbasepxki ph ng.ộ ụ ể ủ ọ ẳ
Bài 6. Hãy dùng h tiên đ c a hình h c ph ng tr ng ph thông đệ ề ủ ọ ẳ ở ườ ổ ể
ch ng minh các đ nh lí sau:ứ ị
a. Có ít nh t ba đi m không th ng hàng.ấ ể ẳ
b. Cho b n đi m A, B, C, D phân bi t và th ng hàng. Ch ng minhố ể ệ ẳ ứ
r ng n u C n m gi a A và B, còn D n m gi a B và C thì D n mằ ế ằ ữ ằ ữ ằ
gi a A và B còn C n m gi a A và D.ữ ằ ữ
c. Đ nh lí Pasch (t c tiên đ Pasch trong h tiên đ c a Hilbert).ị ứ ề ệ ề ủ
Bài 7. Hãy dùng h tiên đ c a hình h c không gian tr ng ph thôngệ ề ủ ọ ở ườ ổ
đ ch ng minh các đ nh lí sau:ể ứ ị
a. Ngoài m t ph ng cho tr c còn có nhi u đi m khác.ặ ẳ ướ ề ể
b. Cho m t ph ng (P) và ba đi m phân bi t A, B, C không n m trênặ ẳ ể ệ ằ
(P). N u m t ph ng (P) c t đo n th ng AB thì nó còn c t đo nế ặ ẳ ắ ạ ẳ ắ ạ
th ng BC ho c đo n th ng CA.ẳ ặ ạ ẳ
c. Đ nh lí v vi c m i m t ph ng chia không gian thành hai n aị ề ệ ỗ ặ ẳ ử
không gian (t ng t nh m i đ ng th ng trong m t ph ngươ ự ư ỗ ườ ẳ ặ ẳ
chia m t ph ng đó thành hai n a m t ph ng). Hãy phát bi u đ nhặ ẳ ử ặ ẳ ể ị
lí và ch ng minh.ứ
d. Ch ng minh các tr ng h p b ng nhau c a hai tam giác b t kìứ ườ ợ ằ ủ ấ
trong không gian (chú ý r ng đ nh nghĩa hai tam giác b ng nhauằ ị ằ
đ c m r ng trong tr ng h p hai tam giác n m trong hai m tượ ở ộ ườ ợ ằ ặ
ph ng khác nhau, còn tiên đ 12 ch nói v hai tam giác cùngẳ ề ỉ ề
n m trong m t ph ng)ằ ặ ẳ
4
Bài 8. Hãy dùng tiên đ 12 c a hình h c ph ng (t c là không dùng tiên đề ủ ọ ẳ ứ ề
13 v hai đ ng song song) đ ch ng minh đ nh lí sau:ề ườ ể ứ ị
a. Góc ngoài tam giác l n h n m i góc trong không k v i nó.ớ ơ ỗ ề ớ
b. N u hai đ ng th ng t o v i m t cát tuy n hai góc so le trongế ườ ẳ ạ ớ ộ ế
b ng nhau thì hai đ ng th ng đó song song.ằ ườ ẳ
Bài 9. Hãy nh l i cách ch ng minh đ nh lí “t ng s đo góc trong m i tamớ ạ ứ ị ổ ố ọ
giác b ng 180ằ0” trong sách giáo khoa ph thông. Cách ch ng minh đó ph iổ ứ ả
d a vào tiên đ v đ ng song song. Sau đây là cách ch ng minh khácự ề ề ườ ứ
không dùng đ n tiên đ đó:ế ề
Ch ng minh: ứta gi thi t t ng s đo góc trong tam giác là S. L yả ế ổ ố ấ
tam giác b t kì ABC, ta có + + = S.ấ
G i D là đi m gi a c a đo n th ng BC, ta có hai tam giác ABDọ ể ở ữ ủ ạ ẳ
và ACD. T gi thi t ta có: + + = Sừ ả ế
+ + = S
Suy ra: + + + + + = 2S
Hay + + + 1800 = 2S, t c là S = 180ứ0.
Hãy bình lu n v cách ch ng minh đó.ậ ề ứ
Bài 10. Cho V là không gian -clit n chi u (trên tr ng s th c). Hãy g iƠ ề ườ ố ự ọ
m i vect c a V là m t “đi m”, và v i b t kì hai đi m và c a V ta choỗ ơ ủ ộ ể ớ ấ ể ủ
t ng ng v i vect c a V. Hãy ch ng minh r ng khi đó V là không gianươ ứ ớ ơ ủ ứ ằ
-clit n chi u.Ơ ề
II. L i gi i, đáp s , h ng d n bài t p ch ng Iờ ả ố ướ ẫ ậ ươ
Bài 1.
+ Mô hình 1: “Đi m” là nh ng đi m thông th ng trên m t đ ngể ữ ể ườ ộ ườ
th ng n m ngang và “đi tr c” là “ bên trái”.ẳ ằ ướ ở
+ Mô hình 2: “Đi m” là nh ng “s nguyên” và “đi tr c” là “l nể ữ ố ướ ớ
h n”.ơ
Bài 2. Mô hình c a h tiên đ H:ủ ệ ề
+ Vect : s nguyên b t kì, phép c ng là phép c ng hai s nguyên. Taơ ố ấ ộ ộ ố
d dàng ki m tra th a mãn các tiên đ c a h tiên đ H.ễ ể ỏ ề ủ ệ ề
Bài 3.
Ch ng minh 1) Gi s hai đ ng phân bi t có hai đi m chung phânứ ả ử ườ ệ ể
bi t. Khi đó theo tiên đ 1) có không quá m t đ ng (trái gi thi t haiệ ề ộ ườ ả ế
đ ng là phân bi t). ườ ệ
Ch ng minh 2) Theo tiên đ 1) có ít nh t 1 đi m. G i đi m đó là A.ứ ề ấ ể ọ ể
Khi đó, theo tiên đ 4) A n m trên ba đ ng phân bi t, gi s đó là m, n,ề ằ ườ ệ ả ử
5