Bài giảng
Hình học Vi phân
của Đường và
Mặt
𝛼
󰢻
𝑡 = 𝛼′
𝛼″
󰢻
𝑛 = 𝛼″
‖𝛼″‖
󰢻
𝑏 = 󰢻
𝑡 × 󰢻
𝑛
Huỳnh Quang Vũ
1
Bài giảng Hình học Vi phân của Đường và Mặt
Huỳnh Quang Vũ
Bản ngày 28 tháng 8 năm 2024
Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc
gia Thành phố Hồ Chí Minh. Email: hqvu@hcmus.edu.vn
Tóm tắt nội dung
Đây là bài giảng môn MTH10480 Hình học Vi phân, một môn học trong
chương trình đào tạo trình độ đại học ngành Toán học ở Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên ĐHQG-HCM, gồm 15 buổi học, 60 tiết, trong 15 tuần.
Lần mở trong khoảng thời gian từ tháng 2 tới tháng 6 năm 2022, vì phải
học trực tuyến do dịch COVID-19 nên lớp học dùng bảng viết điện tử, nhờ
đó những phần được viết và vẽ ra đã lưu lại được, sau đó vào tháng 9 năm
2022 được Hồ Nguyễn Huyền Thư (sinh viên khóa 2017) đánh máy L
A
T
EX và
chèn hình.
Là môn học tự chọn, môn này vài năm mới được mở một lần, và cần
thu hút đủ sinh viên đăng kí để được mở. Vì vậy nhằm giúp nhiều sinh viên
hơn có thể học, bài giảng này hướng tới trình bày những nội dung chính của
hình học vi phân của đường và mặt một cách trực tiếp hơn, phần lớn chỉ cần
kiến thức và trình độ sau 3 học kì đầu của ngành toán. Chẳng hạn bài giảng
này chỉ thảo luận ngắn gọn mặt chính quy trong ℝ3, không đi vào đa tạp vi
phân, không bàn về đạo hàm hiệp biến hay dạng độ cong.
Bài giảng này có trên trang web
https://sites.google.com/view/hqvu/teaching.
2
MỤC LỤC 3
Mục lục
1 Độ cong của đường 6
1.1 Địnhnghĩađộcong .......................... 6
1.2 Tínhtoánđộcong ........................... 9
1.3 Dấu của độ cong của đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Đường trong không gian ba chiều 15
2.1 KhungFrenet ............................. 15
2.2 Hệ phương trình Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Đường cong với độ cong cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Mặt chính quy 20
3.1 Mặt chính quy và cách xác định mặt chính quy . . . . . . . . . . . 20
3.2 Mặtphẳngtiếpxúc .......................... 29
3.3 Ánhxạđạohàm ............................ 31
4 Độ cong của mặt 34
4.1 ÁnhxạGauss.............................. 34
4.2 Độcongpháptuyến.......................... 37
4.3 Cácđộcongchính........................... 37
4.4 Tínhtoánđộcong ........................... 39
4.5 Dấu của độ cong Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Độ cong Gauss qua tỉ lệ diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Đường trắc địa 54
5.1 Khái niệm đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Phương trình của đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Tính các hệ số Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Sự tồn tại của đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5 Đường ngắn nhất từ nguyên lý biến phân . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Đẳng cấu hình học và tính nội tại của độ cong Gauss 66
6.1 Đẳngcấuhìnhhọc........................... 66
6.2 Độ cong Gauss tính theo mêtríc Riemann . . . . . . . . . . . . . . 70
7 Độ cong của đường trên mặt 74
7.1 Độcongtrắcđịa ............................ 74
7.2 Tính độ cong trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4MỤC LỤC
8 Định lý Gauss–Bonnet 80
8.1 Định lý Gauss–Bonnet cho tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.2 Định lý Gauss–Bonnet toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9 Ánh xạ mũ và tính ngắn nhất của đường trắc địa 89
9.1 Ánhxạmũ ............................... 89
9.2 Đường ngắn nhất nối hai điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10 Giới thiệu một số phát triển tiếp theo 93
10.1 Mặt 𝑛-chiều trong không gian Euclid (𝑛+1)-chiều . . . . . . . . . 93
10.2 Mặt hai chiều trừu tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
10.3 Mặt phẳng hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.4 Đa tạp trừu tượng nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11 Đề tài nhóm 103
Tài liệu tham khảo 105
Chỉ mục 106
MỤC LỤC 5
Về môn học
Môn học này nhằm cung cấp kiến thức cơ bản về hình học vi phân trên mặt hai
chiều. Đây là những hiểu biết chung bổ ích cho bất kì ai học toán. Một số vấn
đề trong môn học tương tác với các đề tài trong giải tích hàm nhiều biến, đại số
tuyến tính, phương trình vi phân, phép tính biến phân, tôpô. Môn học giúp người
học dễ dàng hơn khi gặp các tiếp cận trừu tượng nếu đi vào một số lĩnh vực của
giải tích toàn cục, giải tích hình học, phương trình đạo hàm riêng, phương trình
vi phân, tôpô, và hình học. Phần cuối của môn học hướng tới cho người học tiếp
xúc ban đầu với hình học vi phân nhiều chiều.
Nội dung chính của môn học gồm Độ cong của đường, Độ cong của mặt, Định
lý Gauss về tính nội tại của độ cong, Đường trắc địa, Định lý Gauss–Bonnet, Hình
học hyperbolic 2 chiều.
Đây là một môn học tự chọn dành cho sinh viên từ năm thứ hai. Để học môn
này người học cần kiến thức về:
• Phép tính vi phân và tích phân hàm nhiều biến trong đó có Giải tích vectơ,
• Đại số tuyến tính và song tuyến tính,
• Những khái niệm ban đầu về không gian mêtríc,
• Nếu có hiểu biết ban đầu về tôpô thì thuận lợi hơn cho phần sau của môn
học.
Người học cần sẵn sàng mạnh dạn làm tính toán và lý luận toán học.
Giáo trình chính của môn học là cuốn sách của do Carmo [Car16].