Ạ
Đ O HÀM VÀ VI PHÂN
Ph n 3ầ
ạ ướ Đ o hàm theo h ng
ị Đ nh nghĩa:
0 và m t ộ
ậ ị Cho hàm f xác đ nh trong lân c n M
r a ở ng cho b i vector . ướ
0:
ướ ạ ạ
)
r a ng t r ) a .
0
0
0
+ (cid:0) - h ủ Đ o hàm c a f theo h ( ) f M t i M ( f M =
( f M r a
)
0
(cid:0) (cid:0) li t m 0 t
( f M(cid:0) (cid:0) r a
ỉ ố ộ ổ ủ ch t c đ thay đ i c a f theo h r ướ a ng
ướ ọ ủ ạ Ý nghĩa hình h c c a đ o hàm theo h ng
)
( :L z t
= + r ( ) f M ta 0 ườ Xét đ ng cong
)
)
( f M
( f M
0
0
0
+ (cid:0) - t r ) a . =
( f M r a
(cid:0) (cid:0) t
)
)
( z t
(
)
- lim t 0 ( z 0 (cid:0) = = z 0
(cid:0) lim t 0 t
0.
ế ủ ườ ệ ố ạ ế là h s góc ti p tuy n c a đ ng cong L t i M
ể ẽ ế ơ ồ ế S đ Matlab đ v ti p tuy n
)
(
)
(
)
( f x y M x y ,
0
0
0
2
= =r a S z : , , , a a , 1
0 và M0.
ẽ ặ
= ự ) 1. V m t cong S khu v c xung quanh M ( :L z t
)
0
2
0
+ = + = + ta + r ( ) f M ta 0 ( f x 0 ta y , 1 ẽ ườ 2. V đ + = x x 0 ng cong y ta y , 1 ta z , 2
)
)
ế ẽ ế ế ớ ế 0. L u ý: ti p tuy n đi
1
2
ư i M ( a a z(cid:0) , , 0
ậ ạ 3. V ti p tuy n v i L t =r ( u qua M0 và nh n làm vector
ỉ ươ ch ph ng.
)
(
=r e
ạ ị ướ Đ nh lý (cách tính đ o hàm theo h ng)
ế ả ạ N u hàm f kh vi t i M
e e 2, 0, là 1 r e ng t
0 t n ồ
ạ ướ ạ vector đ n vơ ị, đ o hàm theo h i M
ạ t
)
)
)
0
0
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
= +
( f M x
( f M y
e 1 e 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) i, khi đó: ( f M r e
ượ ươ ự ế Hàm 3 bi n cũng đ c tính t ng t .
ứ ổ Công th c t ng quát
r a
)
)
)
0
0
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
= +
( f M x
1a r a
( f M y
(cid:0) (cid:0) (cid:0) là vector tùy ý: ( f M r a a 2 r a
(hàm 2 bi n)ế
)
)
(
)
)
0
0
0
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f = + +
( f M r a
( f M x
( f M z
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a 1 r a M y a 2 r a a 3 r a
(hàm 3 bi n)ế
Ví dụ
ạ ướ ươ ủ ụ 1. Tìm đ o hàm theo h ng d ng c a tr c Ox
2
ạ ủ ể ố t i đi m (2,1) c a hàm s
2 x y
= - xy f x y ( , ) 2
ươ ủ ị ng d ng c a Ox là:
ơ Vector đ n v theo h (
(
) 2,1 .0
) 2,1 (cid:0) r e
(cid:0) - f (cid:0) (cid:0) = - - e =r ( f ướ )1,0 ) + 2,1 .1
( y 9=
- 12 .0 f x = 9 .1
(
) 1,1, 1
-
2
ạ 2. Tìm đ o hàm theo h ng t ạ i
(
)
2 3 y z
= + - r a = ) x xz ướ ( f x y z , , 2 3 2,1,2 c aủ
(
(
)
) - = 1,1, 1
= , , e e e 3 2 1
M = r a r a 1 3
)
(cid:0)
(
)
(
)
(
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = + +
( f M (cid:0) r a
f M e . x 1 f M e . y 2 f M e . z 3
( + -
) 9 .
= + - 0. 6.
1 3 1 3 15 3 � � 1 = � � 3 � �
Vector Gradient
(
r ) k r r i j , , ị G iọ ơ là các vector đ n v trên các
)
0,
0
0
ạ ạ i
ạ
0 là: (
)
)
)
)
( f M
y
0
0
0
0
(cid:0) (cid:0) = = ủ ( � ụ ọ ộ tr c t a đ , f có các đ o hàm riêng t ( M x y . Gradient c a f t ( ( grad M i M ) f M f M , x
)
)
( f M x
( f M y
0
0
(cid:0) (cid:0) = + r j r i . .
)
)
)
0
0
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
)
( = (cid:0)
( f M
0
( f M r e
( f M x
= + r ) e , e 1 e 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Liên hệ ( f M y
)
0
(cid:0)
)
)
( f M
( f M
0
0
( f M (cid:0) r e
(
= j = � � r e . .cos j .cos
) 0 &
gradf M r e
0
(cid:0) là góc gi a ữ )
( f M(cid:0) (cid:0) r e
ạ ị ớ ỉ
j = =j (cid:0) cos 1 ấ đ t giá tr l n nh t khi và ch khi: 0
ổ T ng quát
ướ ủ ướ H ng c a vector gradient là h ng mà hàm f
tăng nhanh nh t.ấ
)
0
( f M
) 0 ,
(cid:0)
( f M r a
(cid:0) r a r a � = (cid:0)� � � � �
yz
(cid:0) - Ví dụ f - grad f (2, 3,0), 1/ Tìm
)
yz
yz
yz
= - (2, 3,0) (cid:0) r a r = a , (2, 3,0)
)
( f x y z , (
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = = x e . ) , (
)
x
y
z
� f f f e xze xye V i:ớ ( f x y z , , , , , ,
(
)
- - � f = (2, 3,0) 1,0, 6
(
)
(
) 1,0, 6 .
(cid:0) - - f 2, 3,0 = = - -� f (2, 3,0).
(2, 3,0) (cid:0) r a r a r a 13
ế ấ
ả
ậ
Cho f(x, y) kh vi đ n c p (n+1) trong lân c n (x
0,
ậ
y0), khi đó trong lân c n này ta có:
k
n
,
)
=
+
+
Ể KHAI TRI N TAYLOR
f x y ( ,
)
(
,
)
R n
f x y 0 0
d f x y ( 0 k
0 !
k
= 1
ụ ể C th :
n
(cid:0)
=
+
(cid:0) (cid:0)
D + x
y
f x y ( ,
)
(
,
)
(
,
)
R n
f x y 0 0
+ f x y 0 0
D (cid:0)
x
y
1 k !
k
= 1
� � �
k � � �
n
+ 1
=
+ D
d
y
(
)
nR
ầ ư
x 0
+ D x y , 0
Ph n d Lagrange
1 +
n
(
1)!
(cid:0) (cid:0)
ậ
(cid:0) n) (Peano) (là VCB b c cao
ể Có th thay R h n ơ (cid:0) n khi (cid:0)
n b i ở o((cid:0) 0),
n
r
= D
+ D 2
x
y
2 ,
r o (
)
ể
ọ
Khai tri n trong lân c n
ậ (0, 0) g i là kt
Maclaurin
ườ
ỉ ử ụ
1. Thông th
ng ch s d ng pd Peano.
ơ ả ủ
ể
2. S d ng khai tri n Maclaurin c b n c a hàm 1
ề
ế
ử ụ ế
bi n trong kt Taylor hàm nhi u bi n.
ậ ủ
ế
3. Vi
t kt trong lân c n c a (x
t kt theo lũy
th a c a
ế 0, y0) là vi ừ ủ (cid:0) x = (x – x0), (cid:0) y = (y – y0)
(cid:0) (cid:0)
ể
ậ
ế ấ 1/ Khai tri n Taylor đ n c p 2 trong lân c n (1, 1),
cho z = f(x, y) = xy
Ví dụ
y
y
=
=
df
= D + D x
y
(1,1)
0.
f
yx
f
x
x
1,
ln
x
y
- (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
2
y
y
1
(cid:0) =
(cid:0) =
+
x
y y (
1)
,
x
yx
1 ln , x
xxf
xyf
- - - (cid:0) - (cid:0)
(cid:0) =
x
x
2lny
yyf
2
+ D 2
(cid:0)
2 d f
D + D x y
x
y
= D (1,1) 0.
2.
0.
(cid:0)
df
= D + D x
y
(1,1)
0.
2
+ D 2
2 d f
D + D x y
x
y
= D (1,1) 0.
2.
0.
2
df
d
2
=
=
+
+
+
r
z
f
f
o
x y ( ,
)
(1,1)
(
)
) (1,1 1!
f (1,1) 2!
2
2
+
+
z
= + 1
o r (
)
x 1!
x y 2!
2
= +
D D D
x
x
- + y
1 (
- + 1)
(
1)(
1)
o r (
)
-
ế
2/ Vi
t kt Maclaurin đ n c p 2 cho =
=
z
f x y ( ,
)
ế ấ 1 + + - x y
xy
1
2
ế
ặ
Đ t u = x + y – xy, kt z theo u đ n u
2
+ 2
=
u u
z
= - + 1
o u (
)
1 +
2
2
1 = -
u + - x y
+ xy
y
+ xy
1 (
)
+ - x (
)
o u (
)
2
r
- + x y
+ 2 x
+ xy
+ 2 y
o
= - 1
3
(
)
Ví dụ
ế
3/ Vi
+
ế ấ 0, y0) = (0,1) cho t kt Taylor đ n c p 3 v i (x xy
ớ 2 x
=
=
z
e
f x y ( ,
)
ặ
Đ t X = x, Y = y – 1,
2
+
+ X X
XY
=
e
z
2
+
= + 1
XY 2
2
3
+
+ X X + + 2 X X
XY
+ X X
XY
(
)
(
)
3
+
+
+
o r (
)
2
6
Ví dụ
2
+
z
= + 1
XY 2
2
3
+ X X + 2
+
+ X X
XY
+ X X
XY
(
)
(
)
3
+
+
+
o r (
)
6
2
2
3
2
3
+
+
+
+
X
X
XY
X
= + 1
+ X Y o r (
)
3 2
7 6
2
2
3
= + +
+
+ 3
x
z
x
x
x
1
x y (
- + 1)
- + y 1)
(
o r (
)
3 2
7 6
Ví dụ
0, y0) = (1,2)
=
4/ Vi
f x y ( ,
)
Suy ra f”xy(1, 2)
- ế ấ ế t kt Taylor đ n c p 3 v i (x = y x z sin( ớ 2). cho
3
3
=
+
ở Đ t ặ X = x – 1, Y = y – 2, z tr thành
=
+
X
(
1)
o Y (
)
z
X
Y
(
1)sin
� Y +� Y 6 �
� � �
= +
-
Y XY
o r 3(
)
3 Y + 6
3
-
y
(
2)
3
=
-
y
x
y
(
+ 2)
(
1)(
2)
o r (
)
+ 6
- - - -
3
y
(
2)
3
=
-
y
x
y
f x y ( ,
)
(
+ 2)
(
1)(
2)
o r (
)
+ 6
2 d f
- - - -
= D
=
=
x
y
(
1)(
2)
x y
dxdy
(1,2) 2!
2
- - D
+ 2
D +
f
x
f
x y
f
y
(1,2)
2
(1,2)
(1,2)
xx
xy
yy
= D
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) D D D
�
x y
2
D
(cid:0) f”xy(1, 2) = 1
Ệ
Ế
Ế
PHÁP TUY N – TI P DI N C A M T CONG.
ặ
S
Cho m t cong S: F(x, y, z) = 0, M(x
Ủ Ặ 0,y0,z0) (cid:0)
ườ
•L là đ
ng cong trong S đi qua M.
r n
ế ủ
ế
ạ
Ti p tuy n c a L t
ọ i M g i là
ti p ế
ạ
ế ủ tuy n c a S t
i M.
ế
ế
ộ
•Các ti p tuy n này cùng thu c 1
ặ
ọ
ệ ủ
ế
ạ
ẳ m t ph ng g i là
ti p di n c a S t
i
M.
Ủ
Ặ
Ệ
Ế
Ế
PHÁP TUY N – TI P DI N C A M T CONG
S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ả ử L(cid:0) (cid:0) s
(cid:0) L Gi M = (x(t0), y(t0), z(t0)) (cid:0)
ỉ ươ ủ ế ng c a ti p tuy n t ế ạ M là : i
(
)
x t (
),
y t (
),
z t (
)
0
0
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Vector ch ph =r u
M(cid:0) S: F(x,y,z) = 0, ta có:
+
+
F M x t (
(
)
)
F M y t ( )
(
)
F M z t (
(
)
= ) 0
x
y
z
0
0
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
+
F M x t (
(
)
)
F M y t ( )
(
)
F M z t (
(
)
= ) 0
y
z
x
0
0
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
)
(
(
)
x t (
),
y t (
),
z t (
),
),
(
(
)
)
F M F M F M ( y
x
z
0
0
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ^ (cid:0)
(
)
ọ ườ
ng cong trong S và
ớ (v i m i đ qua M)
^ (cid:0) r u gradF M
ủ ế ệ grad F(M) là pháp vector c a ti p di n
c a ủ S t i ạ M.
ủ ế ệ ọ • Pháp vector c a ti p di n còn g i là
ặ ủ pháp vector c a m t cong S.
Phương trình pháp tuyến
)
(
(
)
= = (cid:0) S M y S : F x y z , , 0 , , x M z , M M
- - -
= =
)
)
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
x x M ( F M x y y M ( F M y z z M ( F M z
(
)
( f x
) My ,
= = (cid:0) S z y S : , , x M z , M M
- - - z = =
)
)
(cid:0) (cid:0) - z M 1 x x M ( f M x y y M ( f M y
Phương trình tiếp diện
)
(
(
)
= = (cid:0) S M y S : F x y z , , 0 , , x M z , M M
(
) +
(
)
)
)
(
) ( F M y
) ( F M x x
M
y
( + F M z
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - x y z 0 + M = z M
(
)
( f x
) My ,
= = (cid:0) S z y S : , , x M z , M M
(
) (
)
(
) (
)
M
(cid:0) (cid:0) - - - z z y = M f M x x + x M f M y y
Ví dụ
2
2
2
ươ ệ ủ ặ ầ ế 1/ Tìm ph ng trình ti p di n c a m t c u:
+ = x z
y = 4 ) a M . 0,0,2
= + ( (
)
2
2
2
= + + - = b M . ( 1, 3,0 ) x z
)
= y ( 4 0 ) F x y z , , ( gradF x y z x y z , , 2 , 2 , 2
(
)
(
)
=
)
(
) + 0 .0
) + 0 .0
) = 2 .4 0
- - - a gradF . ( 0,0,2 ( 0,0,4 ( T x y z :
z =� 2
=
(
(
)
(
(
- - - a gradF . ) ( T x y z :
) 1, 3,0 ( ) + 1 .2
) = 0 .0 0
2,2 3,0 ) + 3 .2 3
� y+ x - = 3 4 0
