Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng Dụng
.
ĐỀ THI HK191 - Môn: GIẢI TÍCH 1
Ngày thi: 06/01/2020
Thời gian: 100 phút
Ca thi : CA 2
Hình thức thi tự luận:Đề gồm 09 câu, in trên 2 mặt tờ giấy A4.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1: (1.0 điểm) Tìm tất cả các tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham số
x(t) = t
t−2
y(t) = t2+et−2
t2−2t
Câu 2: (1.0 điểm) Một cái chảo có hình dạng là 1 phần mặt cầu, với kích thước mặt ngoài như
hình vẽ và có độ dày 1.5mm. Người ta phủ thêm lớp chống dính phía trong chảo có độ dày
0.2mm. Tính thể tích lớp chống dính theo cm3.
Câu 3: (1.0 điểm) Khi bơm nước vào một bể chứa , thể tích nước trong bể thay đổi theo thời
gian t(tính bằng phút) như công thức dưới đây
V(t) = πt
t
R
0
e−0.02s2ds(m3).
Tìm thời điểm thể tích nước trong bể tăng nhanh nhất kể từ khi bắt đầu bơm nước vào bể (Ban
đầu bể không chứa nước).
Câu 4: (1.0 điểm) Tìm nghiệm phương trình vi phân:
(x−3y)y0= (2x−6y+ 1)2−1
thỏa y(−2) = −1.
Câu 5: (1.5 điểm) Giải phương trình vi phân: y00 −2y0+ 2y= (2x−3) cos(2x) + 3 sin(2x).
1
Câu 6: (1.5 điểm) Dân số thành phố A tính từ đầu năm 2009 là một hàm số P(t), đơn vị triệu
người, trong đó ttính bằng năm. Biết rằng tốc độ gia tăng dân số phụ thuộc vào tốc độ tăng tự
nhiên là k%/năm và số dân thay đổi do nhập cư và di cư là Ingàn người mỗi năm. Giả sử dân
số thành phố A vào đầu năm 2009 là P0(triệu người).
1. Tính P(t)theo P0, k và t.
2. Đầu năm 2009, thành phố Hồ Chí Minh có 7.1(triệu người), tốc độ gia tăng dân số tự
nhiên là 1.1%/năm, số dân tăng do nhập cư và di cư là 126 ngàn người mỗi năm. Áp dụng
mô hình trên để ước tính dân số thành phố vào đầu năm 2021.
Câu 7: (1.0 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân I=
+∞
R
3
xα√x+e−x+ 1
2x2−x+ 1 dx
Câu 8: (1.0 điểm) Một lon nước ngọt có nhiệt độ 28◦C được đặt vào ngăn mát tủ lạnh ở nhiệt
độ 8◦C. Sau 15 phút, nhiệt độ của lon nước giảm còn 18◦C. Theo định luật về sự thay đổi nhiệt
của Newton, nhiệt độ của lon nước ngọt thay đổi theo thời gian t(tính bằng phút)thỏa:
T(t) = 20e−0.05t+ 8, t ≥0.
Tìm nhiệt độ trung bình của lon nước ngọt từ phút thứ 5 đến phút thứ 8.
Câu 9: (1.0 điểm) Tính diện tích miền giới hạn bởi phần đường cong y2=x2
1−xvới 0≤x < 1
và đường thẳng x= 1 (phần tô màu sậm trong hình vẽ).
Giảng viên phụ trách ra đề
TS.Phùng Trọng Thực
CN Bộ môn duyệt
TS.Nguyễn Tiến Dũng
2
ĐÁP ÁN CA 2
Câu 1: Tiệm cận đứng : x= 1 (khi t→+∞), x= 0 (khi t→0) (0.25Đ+0.25Đ).
Tiệm cận xiên phải: Y=5
4x(khi t→2) (0.5Đ).
Câu 2: Sinh viên có thể làm 1 trong 2 cách:
(a) Tính bằng công thức thể tích
V=π−4
R
−9.85
(9.852−y2)dy−
−4
R
−9.83
(9.832−y2)dy
≈7.22 (0.75Đ + 0.25Đ)
(b) V= 0.02 ×2π
−4
R
−9.85 p9.852−y2s1 + y2
9.852−y2dy
≈7.24 (0.75Đ + 0.25Đ)
Câu 3: V0(t) = π
t
R
0
e−0.02s2ds+πte−0.02t2(0.25Đ)
V00(t)=2πe−0.02t2+πt(−0.04t)e−0.02t2(0.25Đ)
V00(t)=0⇐⇒ t= 5√2, giải thích lý do V0đạt gtln tại t= 5√2(0.5Đ)
Câu 4: Đặt u=x−3y, pt trở thành u1−u0
3= (2u+ 1)2−1(0.5Đ)
12u+ 11 = Ce−12x(0.25Đ)
12(x−3y) + 11 = 23e−12(x+2) (0.25Đ)
Câu 5: y0=ex(C1cos x+C2sin x)(0.5Đ)
yr= (Ax +B) cos(2x)+(Cx +D) sin(2x)(0.5Đ)
y=ex(C1cos x+C2sin x)−1
5x−23
10cos(2x)−1
52x−11
10sin(2x)(0.5Đ)
Câu 6: 1/ P0(t) = 10−2kP + 10−3I(triệu người/năm) (0.5Đ)
P(t) = P0+I
10ke10−2kt −I
10k(0.5Đ)
2/ P(12) ≈9.72 (triệu người) (0.5Đ)
Nếu Câu a viết phương trình dạng P0(t) = kP +Inhưng xuống dưới tính
đúng vẫn cho trọn điểm.
Câu 7: 0< f(x)∼1
2x3/2−α(0.5Đ),
α < 1
2(0.5Đ)
Câu 8: Ttb =1
3
8
R
5
T(t)dt(0.5Đ) = 22.46◦C(0.5Đ)
Câu 9: S= 2
1
R
0
x
√1−xdx(0.5Đ)
Đặt √1−x=t,S= 4
1
R
0
(1 −t2)dt(0.25Đ) =8
3(0.25Đ)
3