Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng Dụng
.
ĐỀ THI HK191 - Môn: GIẢI TÍCH 1
Ngày thi: 06/01/2020
Thời gian: 100 phút
Ca thi : CA 1
Hình thức thi tự luận:Đề gồm 9 câu, in trên 2 mặt tờ giấy A4.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1: (1.0 điểm) Tìm tất cả các tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham số:
x= 2t2+1
t−1
y= 3t2+1+1
t
Câu 2: (1.0 điểm)
Cho hàm f(x)liên tục trên đoạn [−3,4] có đồ thị được
ghép từ nửa đường tròn và 2 đoạn thẳng như hình vẽ. Đặt
hàm g(x) =
x
Z
1
f(t)dt.
1. Tính g(1), g(−1), g(3)
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm g(x)trên đoạn [−3; 4]
Câu 3 (1.0 điểm) Một khu nghỉ dưỡng ven biển vào mùa hè có lượng khách tăng với tốc độ
được cho bởi hàm y(t) = 10e0.04√t(người/ngày) vào ngày thứ t kể từ ngày 15 tháng 5. Ước lượng
số khách tới khu nghỉ dưỡng trong cả mùa cao điểm từ ngày 15 tháng 5 đến ngày 15 tháng 8.
Câu 4 (1.0 điểm)
Phần thân của một ly rượu vang có dạng một mặt tròn
xoay thu được khi quay đường cong y=x2
2quanh trục
Oy (đơn vị tính của x, y là cm). Người ta để một trái anh
đào hình cầu đường kính 2cm vào ly như hình vẽ. Sau đó
rót rượu vang vào ly từ từ cho đến khi rượu vang vừa
ngập trái anh đào thì ngưng (giả sử rằng trái anh đào
luôn chạm đáy ly như hình vẽ). Tính thể tích rượu vang có
trong ly.
Câu 5 (1.0 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân I=
π/4
Z
0
dx
(1 −tan x)3
√1−cos xdx
1
Câu 6 (1.0 điểm)
Tính diện tích phần mặt phẳng hữu hạn giới hạn bởi các
đường y=xln x, y = 0, x = 2 (xem hình vẽ)
Câu 7 (1.5 điểm) Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử:
(x0(t)=3x−2y
y0(t) = −3x+ 8y−2e2t
Câu 8 (1.0 điểm)
Một loại cáp truyền dẫn tín hiệu dưới nước bao gồm một
lõi bằng đồng bán kính rđược bao quanh bởi lớp cách điện
có độ dày là h. Biết rằng tốc độ của tín hiệu truyền được
tính theo hàm v=x2ln 1
x,với x=r
h. Tìm độ dày lớp cách
điện để tốc độ truyền tín hiệu lớn nhất khi bán kính lõi
r= 2.
Câu 9 (1.5 điểm) Trong thùng thể tích 1000 lít có chứa 800 lít nước đã hòa tan 2kg muối.
Người ta cho nước muối có chứa 0.03 kg muối/1 lít nước vào thùng với vận tốc 12 lít/phút,
khuấy đều liên tục và cho nước chảy ra với tốc độ 8 lít/phút. Gọi y(t)là lượng muối (kg) trong
thùng sau t phút.
a. Thành lập phương trình vi phân với điều kiện đầu theo dữ liệu đề bài.
b. Tìm nghiệm của phương trình ở câu a.
c. Tìm lượng muối trong thùng khi nước đầy thùng.
Giảng viên phụ trách ra đề
TS.Phùng Trọng Thực
CN Bộ môn duyệt
TS.Nguyễn Tiến Dũng
2
ĐÁP ÁN CA 1
Câu 1: x=−1, y = 5 (0.5đ),y= 1.5x+ 1 (0.5đ)
Chỉ đúng 1 TCN hoặc TCĐ: 0.25đ. Chỉ có TCX y=1.5x (thiếu b=1): 0.25đ
Câu 2: 1.g(1) = 0, g(−1) = −π, g(3) = −1(0.5đ) 2.gmin =−2π, gmax = 0 (0.5đ)
Chỉ đúng 2 trong 3 giá trị của hàm g ở câu 1: 0.25đ.
Chỉ đúng 1 trong 2 giá trị cực trị của g ở câu 2 kèm BBT đúng: 0.25đ.
Câu 3:
92
Z
0
10e0.04√tdt (0.5đ) ≈1193 người (0.5đ), nếu sv ra đáp số 1192 vẫn cho điểm
Nếu sv lấy cận trên là 90, tính đúng kết quả 1164 người: 0.75đ
Câu 4: Tính thể tích do phần đường cong quay trừ đi thể tích hình cầu:
V= 2π
2
Z
0
xx2
2dx −4
3πhoặc V=π
2
Z
0p2y2
dy −4
3π(0.5đ) =8
3π(0.5đ)
Chỉ đúng V hình cầu, đúng cách tính, sai CT tính thể tích Vy: 0.5 cả câu
Câu 5: f(x) = 1
3
√1−cos x(1 −tan x), I =
π/8
Z
0
f(x)dx +
π/4
Z
π/8
f(x)dx
Khi x→0+:f∼
3
√2
x2/3nên TP HT (0.5đ)
Khi x→π
4
−:f=1
3
√1−cos x(tan π/4−tan x)∼1/2
3
q1−1/√2 (π/4−x)
nên TP PK.
Vậy tp đã cho PK (0.5đ)
Câu 6: S(D) =
2
Z
1
xln xdx (0.5đ) = 2 ln 2 −3
4(0.5đ)
Câu 7:y”−11y0+ 18y= 2e2t
x”−11x0+ 18x= 4e2t(0.5đ)
y=C1e9t+C2e2t−2
7te2t
x=C1e9t+C2e2t−4
7te2t(0.5đ), chỉ đúng NTQ, sai NR thì chỉ cho 0.25
x=−1
3C1e9t+ 2C2e2t−2
3te2t−4
7e2t
y=−3C1e9t+1
2C2e2t−2
7te2t+2
7e2t(0.5đ), chỉ viết công thức tính x (hay y) thì chỉ
cho 0.25đ
Câu 8: v(h) = 4
h2ln h
2→v0=4
h31−2 ln h
2(0.5đ)v0= 0 ↔h= 2√e.
Suy ra vmax =v(2√e)(0.5đ)
Câu 9: 1.y0= 0.03 ×12 −y
800 + 4t×8, y(0) = 2(0.5đ). Nếu chỉ có tốc độ vào đúng, ra sai
thì chỉ cho 0.25
2.y= 0.12 (200 + t)−C(200 + t)−2, C =−88 ×104(0.25đ+0.25đ)
3. Sau 50 phút thùng đầy y(50) ≈15,92kg (0.25đ+0.25)
3