§5. DÃY SỐ HỘI TỤ VÀ DÃY SỐ PHÂN KỲ

Chia sẻ: Phan Duy Hùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

2.300
lượt xem 91
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

1) Định nghĩa dãy số: Một hàm số x xác định trên tập hợp các số tự nhiên được gọi là dãy số. Đối với dãy số, người ta thường viết xn thay cho kiểu viết thông thường của hàm số là x(n) , với mỗi n được ký hiệu là xn Tập hợp xn n . Dãy số này hoặc viết gọn là xn . n được gọi là miền giá trị của dãy số. Dãy số được gọi là bị chặn trên hoặc bị chặn dưới hoặc là bị chặn nghĩa là miền giá trị của dãy có tính chất bị chặn trên, bị...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: §5. DÃY SỐ HỘI TỤ VÀ DÃY SỐ PHÂN KỲ

§5. DAÕY SOÁ HOÄI TUÏ VAØ DAÕY SOÁ PHAÂN KYØ 1) Ñònh nghóa daõy soá: Moät haøm soá x xaùc ñònh treân taäp hôïp caùc soá töï nhieân ñöôïc goïi laø daõy soá. Ñoái vôùi daõy soá, ngöôøi ta thöôøng vieát xn thay cho kieåu vieát thoâng thöôøng cuûa haøm soá laø x(n) , vôùi moãi n . Daõy soá naøy ñöôïc kyù hieäu laø xn hoaëc vieát goïn laø xn . n Taäp hôïp xn ñöôïc goïi laø mieàn giaù trò cuûa daõy soá. Daõy n soá ñöôïc goïi laø bò chaën treân hoaëc bò chaën döôùi hoaëc laø bò chaën nghóa laø mieàn giaù trò cuûa daõy coù tính chaát bò chaën treân, bò chaën döôùi hoaëc laø bò chaën. Cho soá vaø hai daõy xn , yn thì ta coù theå laäp ra nhieàu daõy xn soá môùi nhö yn ; xn yn vaø (neáu xn ; xn yn ; xn yn ). yn 0, n 2) Daõy soá hoäi tuï vaø daõy soá phaân kyø : Daõy soá xn ñöôïc goïi laø coù giôùi haïn hoaëc laø hoäi tuï nghóa laø toàn taïi moät soá thöïc x sao cho 0, p ,n p, xn x Soá x ñöôïc goïi laø giôùi haïn cuûa daõy (xn) vaø ñöôïc kyù hieäu laø x lim xn n x khi n hay vieát goïn laø x lim xn , hoaëc laø xn . Daõy soá khoâng coù giôùi haïn hay khoâng hoäi tuï ñöôïc goïi laø daõy soá phaân kyø. Heä quaû. (i) lim xn x lim(xn x) 0. (ii) lim xn lim xn 0 0. 3) Daõy soá Cauchy: Daõy soá (xn) ñöôïc goïi laø daõy Coâ-si nghóa laø 0, p , n m p, xn xm 4) Söï phaân kyø ra voâ cöïc : Daõy soá ( xn ) ñöôïc goïi laø phaân kyø ra döông voâ cöïc hoaëc tieán ra döông voâ cöïc ( xn ) nghóa laø: M 0, p ,n p, xn M.
Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung Daõy soá ( xn ) ñöôïc goïi laø phaân kyø ra aâm voâ cöïc hoaëc tieán ra aâm voâ cöïc ( xn ) nghóa laø: M 0, p ,n p, xn M. Baøi taäp 1. Duøng ñònh ngh óa, haõy chöùng minh daõy soá (xn) ñònh bôûi n 1 a) xn , hoäi tuï veà . ,n 2n 3 2 n2 1 b) xn , hoäi tuï veà ½. ,n 2 2n n1 2. a) C/m raèng neáu daõy soá (xn) hoäi tuï (veà x) thì daõy soá ñoù bò chaën. b) C/m raèng neáu daõy soá ( xn) laø daõy Cauchy thì noù bò chaën. 3. C/m raèng neáu (xn) coù giôùi haïn thì giôùi haïn laø duy nhaát. 4. C/m raèng neáu (xn) hoäi tuï (veà x) thì daõy soá ñoù laø daõy Coâ-si. (Chieàu ngöôïc laïi seõ ñöôïc xeùt ôû baøi hoïc sau). 1 1 1 5. C/m raèng daõy soá ( sn) ñònh bôûi sn 1 laø daõy 2 2 n2 2 3 Coâ-si. Hdaãn: khi xeùt sn sm , söû duïng k2 k(k 1), k . 1 1 6. C/m raèng daõy soá ( sn) ñònh bôûi sn khoâng phaûi laø 1 n 2 daõy Coâ-si. 7. Cho soá thöïc vaø lim xn x. C/m lim( xn ) x. 8. Cho lim xn y . C/m lim( xn x vaø lim yn yn ) x y. 9. Cho lim xn y . C/m lim( xn yn ) x vaø lim yn xy. 10. a) Cho (xn) hoäi tuï vaø xn n0 (n0 laø soá töï nhieân naøo ñoù). 0, n C/m lim xn 0. b) Cho hai daõy hoäi tuï ( xn) vaø (yn) vaø xn n0 . C/m yn , n lim xn lim yn . c) Cho hai daõy soá (xn) vaø (yn) hoäi tuï veà cuøng giôùi haïn laø a. Giaû söû (zn) laø daõy soá thoûa xn zn yn , n n0 . Khi ñoù lim zn a. §6. CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA DAÕY SOÁ HOÄI TUÏ 2
Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 1) Giôùi haïn baûo toaøn caùc pheùp tính cuûa daõy: Cho hai daõy soá hoäi tuï ( xn) vaø (yn) vaø cho soá th öïc . Khi ñoù (i) lim( xn yn ) lim xn lim yn (ii) lim( xn ) lim xn vaø lim( xn yn ) lim xn . lim yn . n0 (n0 laø soá töï nhieân naøo ñoù) thì (iii) Neáu lim yn 0 vaø yn 0, n xn lim xn lim . yn lim yn 2) Giôùi haïn baûo toaøn thöù töï caùc daõy: Cho hai daõy soá hoäi tuï ( xn) vaø (yn) (i) Neáu xn yn , n n0 (vôùi n0 naøo ñoù) thì lim xn lim yn . (ii) [tieâu chuaån “giôùi haïn keïp”] Neáu lim xn a vaø coù theâm lim yn daõy soá (an) thoûa xn n0 thì lim an an yn , n a. 3) Tính chaát bò chaën cuûa daõy hoäi tuï : daõy soá naøo hoäi tuï thì daõy soá ñoù bò chaën. Nhö vaäy, daõy soá naøo khoâng bò chaën thì daõy soá ñoù phaân kyø. 4) Caùc giôùi haïn cô baûn : 1 (i) Vôùi r > 0, ta coù lim r 0, n n (ii) Vôùi r > 0, ta coù lim n r (iii) lim n n 1, 1, n n n (iv) Vôùi r > 0 vaø , ta coù lim 0, r)n (1 n 1 , ta coù lim xn 0. (v) Vôùi x n Chöùng minh. 3
Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung 1/ r 1 (i) Vôùi 0 tuøy yù, choïn p 1. Khi ñoù 1 1 Nhö vaäy giôùi haïn ñöôïc chöùng minh theo n p, 0 r pr n ñònh nghóa. n (ii) Xeùt tröôøng hôïp r > 1 vaø xeùt daõy ( xn) ñònh bôûi xn r 1, n . xn )n Theo khai trieån cuûa nhò thöùc Newton thì r nxn (do (1 r 0 ) neân . Duøng tieâu chuaån giôùi haïn keïp thì n xn ,0 xn n 0, suy ra lim n r lim xn 1. 1 Tröôøng hôïp r = 1 thì hieån nhieân. Khi 0 < r < 1 thì s 1, r 1 1 aùp duïng tröôøng hôïp tröôùc, ta coù lim n s . Vaäy 1 lim n lim n r r lim n r 1. n (iii) Vì 0 neân n , xn n 1 n(n 1) 2 xn )n 22 xn (khai trieån nhò thöùc n 2, n Cn xn (1 2 2 Newton). Töø ñoù ta suy ra . Duøng tieâu chuaån n xn 2, 0 1)1/ 2 (n 0. Vaäy lim n n giôùi haïn keïp vaø keát quaû (i) ta suy ra xn 1. r)n Cn r3 , n 3 thì (1 3. (iv) Ñeå deã hình dung, ta xeùt (Tröôøng hôïp toång quaùt, choïn soá töï nhieân k 1 thì ta coù [] r)n Cn rk , n k k ). Ta suy ra, vôùi moïi n (1 3 thì 2,7 2,7 2,7 n3 n n n 3! 6 1 0 . n(n 1)(n 2) n Cn r3 3 3 3 3 n0,3 r) r r (n (1 2) Duøng tieâu chuaån giôùi haïn keïp vaø keát quaû caâu (i), ta coù ñpcm. 4
Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán x 1 (v) Khi x = 0 thì hieån nhieân. Neáu 0 1 , choïn r 0 thì x x 1 1 n vaø xn ta coù x 0 khi n . x 0 p 1 r)n (1 Baøi taäp 1. Vôùi taäp con A cuûa khaùc roãng bò chaën treân, haõy chöùng minh raèng coù daõy soá ( xn ) A sao cho xn sup A khi n . Phaùt bieåu keát quaû t öông töï khi A bò chaën döôùi. 2. Cho daõy soá (xn) bò chaën treân vaø coù tính chaát n , xn xn 1 . Chöùng minh raèng ( xn) laø daõy hoäi tuï. 3. Cho daõy soá (xn) bò chaën döôùi vaø coù tính chaát n , xn xn 1 . Chöùng minh raèng (xn) laø daõy hoäi tuï. 4. Cho daõy soá (xn) hoäi tuï veà 0 vaø daõy soá ( yn) bò chaën. C/m raèng daõy soá (xnyn) hoäi tuï veà 0 (tích cuûa moät daõy hoäi tuï veà 0 vôùi moät daõy bò chaën laø moät daõy hoäi tuï veà 0). 5. Cho (xn) laø daõy soá döông hoäi tuï veà x > 0. Chöùng minh raèng 1. Neáu x = 0 thì keát quaû coøn ñuùng khoâng? lim n xn n 6. Tính a) lim n n2 b) lim n 3n3 2. n 7n 2 n n 7. Vôùi soá thöïc x tuøy yù, chöùng minh raèng coù moät daõy (qn) goàm caùc soá höõu tæ vaø moät daõy (rn) goàm caùc soá voâ tæ sao cho qn x vaø x khi n . rn n 1 8. Cho daõy soá (en) ñònh bôûi en 1 . Chöùng minh raèng n n en n 2 1 1 1 en . Hdaãn: a) , duøng baát n , en 1 en n 1 1)2 (n ñaúng thöùc Bernouli. b) (en) bò chaën treân. Hdaãn: khai trieån nhò thöùc Newton se õ cho 1 1 1 11 1 1 thaáy xn 1 1 . n! 1! 2! 122 n1 2 2 5