www.VNMATH.com
TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Naêm 2011
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 1
KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Câu 1. Cho hàm số
ymxmxmx
32
1
(1)(32)
3
=-++- (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
m
2
=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
·
Tập xác định: D = R. ymxmxm
2
(1)232
¢
=-++-
.
(1) đồng biến trên R
Û
0,
¢
³"
Û
m
2
³
Câu 2. Cho hàm số mx
y
xm
4
+
=
+
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
1
=-
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(;1)
-¥
.
·
Tập xác định: D = R \ {–m}. m
y
xm
2
2
4
()
-
¢=+.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
Û
ym
022
¢
<Û-<<
(1)
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(;1)
-¥
thì ta phải có
mm
11
-³Û£-
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:
m
21
-<£-
.
Câu 3. Cho hàm số yxxmx
32
34
=+--
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
0
=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
(;0)
-¥
.
·
m
3
£-
Câu 4. Cho hàm số
yxmxmmx
32
23(21)6(1)1
=-++++
có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(2;)
+¥
·
yxmxmm
2
'66(21)6(1)
=-+++
có mmm
22
(21)4()10
D
=+-+=>
xm
yxm
'0
1
é=
=Û
ê
=+
ë. Hàm số đồng biến trên các khoảng
mm
(;),(1;)
-¥++¥
Do đó: hàm số đồng biến trên
(2;)
+¥
Û
m
12
+£
Û
m
1
£
Câu 5. Cho hàm số 42
231
yxmxm
=--+
(1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
·
Ta có 32
'444()
yxmxxxm
=-=-
+
0
m
£
,
0,
¢
³"
yx
Þ
0
m
£
thoả mãn.
+
0
m
>
,
0
¢
=
y có 3 nghiệm phân biệt:
, 0,
mm
-.
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi
1 01
£Û<£
mm. Vậy
(
]
;1
m
Î-¥
.
Câu 6. Cho hàm số32
(12)(2)2
yxmxmxm
=+-+-++
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên
(
)
0;
+¥
.
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 2
·
Hàm đồng biến trên
(0;)
+¥
yxmxm
2
3(12)(22
)0
¢
Û +
=-+-³
với
x
0)
(
;
"Î
+¥
x
fxm
x
x
223
() 41
2+
Û=³
+
+ với
x
0)
(
;
"Î
+¥
Ta có: x
fxx
x
xx
x
22
2
2(6
()0
3)173
36
(41
012
)
+--±
+-=Û=
¢==Û
+
Lập bảng biến thiên của hàm
fx
()
trên
(0;)
+¥
, từ đó ta đi đến kết luận:
fmm
173373
128
æö
-++
³Û³
ç÷
ç÷
èø
KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 7. Cho hàm số yxxmxm
32
3–2
=+++ (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
·
PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:
xxmxm
32
3–20(1)
+++=
Û
x
gxxxm
2
1
()220(2)
é=-
ê=++-=
ë
(Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x
Û
PT (1) có 3 nghiệm phân biệt
Û
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1
Û
m
gm
30
(1)30
D
ì¢=->
í
-=-¹
î
Û
m
3
<
Câu 8. Cho hàm số yxmxmmx
322
(21)(32)4
=-++--+-
(m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
·
yxmxmm
22
32(21)(32)
¢
=-++--+
.
(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung
Û
PT y
0
¢
=
có 2 nghiệm trái
dấu
Û
mm
2
3(32)0
-+<
Û
m
12
<<
.
Câu 9. Cho hàm số 32
1
(21)3
3
yxmxmx
=-+--
(m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
·
TXĐ: D = R ; yxmxm
2
–22–1
¢=+.
Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung
Û
y
0
¢
=
có 2 nghiệm phân
biệt cùng dấu
Û
2
210
210
ì
¢
ï
D=-+>
í->
ï
î
mm
m
1
1
2
m
m
¹
ì
ï
Ûí
>
ï
î
Câu 10. Cho hàm số 32
32
yxxmx
=--+
(m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng
yx
1
=-
.
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 3
·
Ta có: 2
'36
=--
yxxm
.
Hàm số có CĐ, CT 2
'360
yxxm
Û=--=
có 2 nghiệm phân biệt
12
;
xx
'9303
mm
ÛD=+>Û>-
(*)
Gọi hai điểm cực trị là
(
)
(
)
12
12
;;;
ABx
yy
x
Thực hiện phép chia y cho y
¢
ta được: 112
'22
3333
mm
yxyx
æöæöæö
=--++-
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
Þ
( ) ( )
11 1222
22
22;22
3333
æöæöæöæö
-++--++-
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
==
ø
==
è
yyxyy m
x
mmm
xx
Þ
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
D
:222
33
mm
yx
æöæö
=-++-
ç÷ç÷
èøèø
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng
yx
1
=-
Û
xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng
yx
1
=-
23
21
32
mm
æö
-+=Û
ç
Û
=-
÷
èø (thỏa mãn)
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng
yx
1
=-
( ) ( )
2
121
121
2
22211
22
22
33
22
3.260
33
æöæö
-+++-=+-
ç÷ç÷
èøèø
æö
Û+=-
++
Û=-Û=-Û
Û=
ç÷
èø
II
xmm
xxxx
x
mm
y
y
m
y
x
Vậy các giá trị cần tìm của m là:
3
0;
2
m
ìü
=-
íý
îþ
Câu 11. Cho hàm số
yxmxm
323
34
=-+ (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
·
Ta có:
yxmx
2
36
¢=- ; x
y
xm
0
0
2
é=
¢=Û
ê
=
ë. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m
¹
0.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)
Þ
ABmm
3
(2;4)
=-
uur
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x
Û
ABd
Id
ì
^
íÎ
î
Û
mm
mm
3
3
240
2
ì
ï
-=
í=
ï
î
Û
m
2
2
=±
Câu 12. Cho hàm số yxmxm
32
331
=-+--
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d:
xy
8740
+-=
.
·
yxmx
2
36
¢=-+ ;
yxxm
002
¢=Û=Ú= .
Hàm số có CĐ, CT
Û
PT y
0
¢
=
có 2 nghiệm phân biệt
Û
m
0
¹
.
Khi đó 2 điểm cực trị là: AmBmmm
3
(0;31),(2;431)
----
Þ
ABmm
3
(2;4)
uuur
Trung điểm I của AB có toạ độ: Immm
3
(;231)
--
Đường thẳng d:
xy
8740
+-=
có một VTCP
(8;1)
u
=-
r
.
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 4
A và B đối xứng với nhau qua d
Û
Id
ABd
Î
ì
í
^
î
Û
3
8(231)740
.0
mmm
ABu
ì
+---=
ï
í=
ï
î
uuurr
Û
m
2
=
Câu 13. Cho hàm số
yxxmx
32
3=-+ (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng d:
xy
–2–50
=
.
·
Ta có
yxxmxyxxm
322
3'36
=-+Þ=-+
Hàm số có cực đại, cực tiểu
Û
y
0
¢
=
có hai nghiệm phân biệt mm
9303
D
¢
Û=->Û<
Ta có:
yxymxm
1121
2
3333
æöæö
¢
=-+-+
ç÷ç÷
èøèø
Tại các điểm cực trị thì y
0
¢
=
, do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình:
ymxm
21
2
33
æö
=-+
ç÷
èø
Như vậy đường thẳng
D
đi qua các điểm cực trị có phương trình
ymxm
21
2
33
æö
=-+
ç÷
èø
nên
D
có hệ số góc km
1
2
2
3
=-
.
d:
xy
–2–50
=
yx
15
22
Û=-
Þ
d có hệ số góc k2
1
2
=
Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d
^
D
Þ
kkmm
12
12
1210
23
æö
=-Û-=-Û=
ç÷
èø
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là
I(1; –2). Ta thấy I
Î
d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d.
Vậy: m = 0
Câu 14. Cho hàm số yxmxxm
32
3(1)92
=-+++-
(1) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d:
yx
1
2
=.
·
yxmx
2
'36(1)9
=-++
Hàm số có CĐ, CT
Û
m2
'9(1)3.90
D
=+->
m
(;13)(13;)
ÛÎ-¥--È-++¥
Ta có m
yxymmxm
2
11
2(22)41
33
æö
+
¢
=--+-++
ç÷
èø
Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là
AxyBxy
1122
(;),(;)
, I là trung điểm của AB.
ymmxm
2
11
2(22)41
Þ=-+-++
; ymmxm
2
22
2(22)41
=-+-++
và: xxm
xx
12
12
2(1)
.3
ì
+=+
í=
î
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là ymmxm
2
2(22)41
=-+-++