Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh
1
LỜI NÓI ĐẦU
***
Thân chào các bạn học sinh trường THPT Thành Phố Cao Lãnh!
Đến hẹn lại lên, mỗi năm vào dịp giáp tết Hội Cựu Học Sinh Trường THPT
Thành Phố Cao Lãnh lại tổ chức chương trình tư vấn tuyển sinh mang tên “NGÀY
HỘI HƯỚNG NGHIỆP”. Đây là một chương trình thiết thực và ý nghĩa của các
sinh viên hiện là cựu học sinh trường THPT Thành Phố Cao Lãnh tổ chức, có sự hỗ
trợ từ phía nhà trường, chương trình nhằm giúp cho các bạn học sinh lớp 10,11 đặc
biệt là các bạn 12 có thêm những thông tin tuyển sinh mới nhất, cũng như những kinh
nghiệm học tập bổ ích của các anh chị đi trước.
Được sự ủng hộ từ phía Ban tổ chức cũng như từ phía nhà trường, tôi xin giới
thiệu với các bạn quyển sách “11 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN”
được biên soạn hết sức công phu và kĩ lưỡng. Đây được xem là ấn phẩm đầu tiên của
chương trình “NGÀY HỘI HƯỚNG NGHIỆP”, quyển sách bao gồm 11 chuyên đề
Toán học cũng là 11 nội dung thường gặp trong các kỳ thi Tuyển sinh Đại Học, Cao
Đẳng ví như khảo sát hàm số, phương trình lượng giác, hệ phương trình,…
Sách còn là tài liệu tham khảo hữu ích cho các thầy cô giáo trong quá trình ra đề
kiểm tra, và là tài liệu giúp các bạn học sinh lớp 10,11,12 củng cố kiến thức để chuẩn
bị cho kì thi học kì và các kì thi quốc gia sắp tới.
Trong quá trình biên soạn, khó tránh khỏi sai sót. Tác giả rất mong nhận được ý
kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn học sinh để chất lượng quyển sách ngày
càng tốt hơn!
Tác giả: LÊ TUẤN ANH
(SV Trường Đại Học Kinh Tế-Luật
ĐHQG TP HCM).
Ban cố vấn:
Thầy NGUYỄN VĂN CHÂU
Cô TRẦN THỊ THU THỦY
(GV trường THPT TP Cao Lãnh).
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh
2
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh
3
CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ
I) Định nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K (x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) < f(x2).
Hàm số f nghịch biến trên K (x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) > f(x2).
II) Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì: f(x) 0, x I.
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì: f(x) 0, x I.
III) Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó:
a) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = 0 tại 1 số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = 0 tại 1 số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f(x) = 0, x I thì f không đổi trên I.
Chú ý: nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
Vấn đề 1: Xét chiều biến thiên của hàm số.
Để xét chiều biến thiên của hàm số y=f(x), ta thực hiện các bước sau:
Tìm TXĐ của hàm số.
Tính y' , tìm các điểm mà tại đó y'=0 hoặc y' không tồn tại (điểm tới hạn).
Lập bảng xét dấu y', từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=f(x).
Ví dụ : Xét chiều biến thiên của hàm số sau:
2
4)( xxfy
-Tập xác định: D=[-2;2]
2
4
'x
x
y
Cho
00' xy
-Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;0),hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác
định (hoặc trên từng khoảng xác định)
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
:
a) Đồng biến trên R.
b) Đồng biến trên
);1[ 
.
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh
4
c) Nghịch biến trên (0;1). Giải
Ta có:
1)12(2' 2 mxmxy
a) Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:
Rxmxmxy ;01)12(2' 2
500)1()12(' 2 mmm
Vậy các giá trị m cần tìm là:
50 m
b) Hàm số đã cho đồng biến trên
);1[ 
khi và chỉ khi:
);1[;01)12(2' 2 xmxmxy
.
Điều này tương đương với:
);1[;
14
2
)(0)14(2
2
2
xm
x
xx
xgxmxx
hay:
mxg
x
)(max);1[
Ta có:


);1[
2
1
);1[1
0
)14(
224
)(' 2
2
x
x
x
xx
xg
Bảng biến thiên:
x
1
g’(x)
-
g(x)
5
1
0
Ta thấy
5
1
)1()(max);1[
gxg
x
. Do đó các giá trị m cần tìm là
5
1
m
.
c) Hàm số đã cho nghịch biến trên (0;1) khi và chỉ khi:
)1;0(;01)12(2' 2 xmxmxy
]1;0[;0' xy
vì y’ liên tục tại x=0 và x=1.
mxgxm
x
xx
xg x
)(min]1;0[;
14
2
)( ]1;0[
2
Ta có:
5
1
)1(;
4
1
2
1
;0)0(;
]1;0[
2
1
]1;0[1
0
)14(
224
)(' 2
2
ggg
x
x
x
xx
xg
Do đó:
0)0()(min]1;0[
gxg
x
, suy ra các giá trị m cần tìm là:
0m
.
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để hàm số
2
1)12(
2
x
xmx
y
nghịch biến trên khoảng (0;1)
Giải
Hàm số đã cho nghịch biến trên (0;1) khi và chỉ khi:
)1;0(;434)()1;0(;0
)2(
344
'2
2
2
xmxxxgx
x
mxx
y
Vì g(x) liên tục tại x=0 và x=1 nên:
]1;0[;434)( 2 xmxxxg
hay:
mxg
x4)(min]1;0[
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
Email: anhlt12402b@st.uel.edu.vn Lê Tuấn Anh
5
Ta có:
6)(min6)1(;3)0(];1;0[2042)(' ]1;0[ xgggxxxg x
Từ đó suy ra các giá trị m thỏa mãn điều kiện là:
2
3
m
.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm các giá trị của m đề hàm số
mx
mxmx
y2
12)1(
2
đồng biến trên khoảng
);1( 
Đáp số:
1m
.
Bài 2: Tìm các giá trị của m đề hàm số
1)23(
3
123 xmmxxy
đồng biến trên khoảng (1;2)
Đáp số:
5
1
m
.
Vấn đề 3: Tìm các giá trị của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện
cho trước
Một số kiến thức cần nhớ:
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên (a;b) chứa điểm
0
x
, có đạo hàm trên
}{\);( 0
xba
, và có đạo hàm
khác 0 tại
0
x
, khi đó:
- Nếu f'(x) đổi dấu khi đi qua
0
x
thì f(x) đạt cực trị tại
0
x
.
- Nếu
0)(" 0xf
thì f(x) đạt cực tiểu tại
0
x
,nếu
0)(" 0xf
thì f(x) đạt cực đại tại
0
x
.
*Cực trị của hàm bậc 3:
RDTXĐdcxbxaxy :;
23
- Hàm số có tối đa hai điểm cực trị.
- Nếu viết
qpxynmxdcxbxaxy ')(
23
và hàm có 2 cực trị phân biệt thì đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị đó có dạng:
qpxy
.
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m đề hàm số
2
3
123 mxmxxy
có hai cực trị
21;xx
thỏa mãn:
4
21 xx
Giải
Hàm số đã cho có 2 cực trị phân biệt khi phương trình:
032' 2 mmxxy
có 2 nghiệm thực
phân biệt
21;xx
, tức là:
3
0
03' 2
m
m
mm
(1)
Theo đề ta có:
(*)016416421
2
21
2
2121 xxxxxxxx
Kết hợp với định lý Viet:
mxx
mxx
3
2
21
21
nên (*) tương đương với:
4
1
0161242
m
m
mm
So với điều kiện ban đầu, kết luận các giá trị m cần tìm là:
1m
hoặc
4m
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để hàm số
1
9
50
)12(
2
1
3
123 xxmxy
có hai cực trị
21;xx
thỏa mãn
21 2xx
.