Bài 6: Thể tích khối đa diện có kết hợp Min, Max – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CÓ KẾT HỢP MIN, MAX
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh
bên SA=h và
SA ABCD
. M là điểm thay đổi trên cạnh CD. Đặt CM=x.
1. Hạ
SH BM
. Tính SH theo a, h và x.
2.Xác định vị trí của M để thể tích tứ diện SABH đạt Max. Tìm Max
đó.
Giải:
1. Ta có:
SA ABCD
AH BM
SH BM
.
Mà 2
2 2
1 1
2 2
ΔABM
AB.AD a
S BM .AH AB.AD AH BM
Tam giác SAH vuông
4 4 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a h h x
SH SA AH h SH
a x a x
2. Ta có: 0
90
AHB H
chạy trên đường tròn đường kính AB nằm
trong mặt phẳng (ABCD).
1 1 1
3 3 2
SABH ΔABH
V SA.S SA. AB.HI HI AB
SABH
V đạt Max
max
HI
khi đó H là trung điểm của nửa đường tròn
đường kính AB hay I là trung điểm của AB hay HI=a/2 hay M trùng
với D và x=a
2
12
Max
ha
V
Bài 2: Cho hình Tứ diện S.ABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông.
1. Chứng minh rằng:
3
ΔABC ΔSBC ΔSAB ΔSAC
S S S S
Bài 6: Thể tích khối đa diện có kết hợp Min, Max – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 2 of 2
2. Cho SA=a, SB+SC=k. Đặt SB=x. Tính thể tích tứ diện S.ABC theo
a,k,x. Xác định SB,SC để thể tích tứ diện S.ABC Max.
Giải:
1. Gọi H là trực tâm
ΔABC
, Nối dài AH cắt BC tại K
1
AH BC( )
2
SA SB
SA SBC SA BC( )
SA SC
Tứ (1) và (2) ta có:
BC SAH SAK BC SH
Chứng minh tương tự ta cũng có:
AC SH SH ( ABC )
.
Tam giác SAK vuông, chiều cao SH nên:
22
2
2 2 2
ΔSBC ΔHBC ΔABC
SK.BC KH.BC KA.BC
SK KH.KA . S S S
Tương tự:
2 2
ΔSAB ΔABC ΔHAB ΔSAC ΔHAC ΔABC
S S S ; S S S
Cộng các vế với nhau ta có:
2 2 2 2
ΔSAB ΔSBC ΔSAC ΔABC
S S S S
Theo BĐT Côsi ta có:
222
1 1 1 3
ΔSAB ΔSBC ΔSAC ΔSAB ΔSBC ΔSAC ΔABC
S S S S S S S
2.
2
2
2
1 1 1
6 6 6 6
6 2 2
SABC
SABC
ak
V SA.SB.SC ax k x a x k x
ak k k
MaxV x k x x SB SC
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn