Bài giảng chương 2: Giải hệ phương trình tuyến tính - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng chương 2 "Giải hệ phương trình tuyến tính" được biên soạn bởi ThS. Hồ Thị Bạch Phương. Bài giảng trình bày nội dung về vecto, ma trận, cách cộng và nhân ma trận; Giải hệ phương trình tuyến tính; Phép khử Gauss; Công thức tổng quát quá trình thuận. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo chi tiết bài giảng tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chương 2: Giải hệ phương trình tuyến tính - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM Khoa Công Nghệ Cơ Khí Chương 2: Giải hệ phương trình tuyến tính ThS. Hồ Thị Bạch Phương IUH – 2022
Véc tơ : Véc tơ là 1 chuỗi số một chiều 4 Véc tơ hàng [ 3 5 6], véc tơ cột:   7  1  0  0  0  1  0  Véc tơ đơn vị e1    , e 2    , e3    0  0  1        1 0 0 0   0   0 0  0 4 0 0 Ma trận : là 1chuỗi số 2 chiều   Ma trận đường chéo 0 0 0 0 0 0 0    0 0 0  0 0 0 6 Ma trận zero   1 2 0 0 3 4 1 0 1 0  Ma trận tam giác   Ma trận đơn vị   đường chéo 0 1 4 1 0 1    0 0 2 1 2
Ma trận  2 1 1 1 2 1 3  4 1 0  1 0 5  Ma trận tam 0  Ma trận đối xứng   giác trên 0 0 4 1  1 5 4    Định thức của một ma trận 0 0 0 1 Dấu trừ Xác định chỉ cho các ma trận vuông.  2 3 1  det 1 0 5  2  0 5 3 -1 3 -1   -1 -1  1 5 4  5 4 5 4 0 5  2(25)  1(12  5)  1(15  0)  82 Tìm ma trận nghịch đảo: AA-1 = A-1A = I 1 0 1 2  1 2  1 2  1 0 1 2  0 1 3 4  2 4 3 4 0 1  2 4           3
Cộng và nhân ma trận Cộng 2 ma trận A và B (chỉ tính khi 2 ma trận có cùng kích thước) * C  A  B  cij  a ij  bij i, j Nhân 2 ma trận A (n x m) và B (p x q). Khi đó tích C = AB chỉ được xác định khi m = p. m * C  A B  cij   a ik b kj i, j k 1 Hệ phương trình tuyến tính Một hệ phương trình tuyến tính có thể được biễu diễn ở các cách khác nhau: 2x1  4x 2  3x 3  3   2 4 3  x1   3    2.5 1 3   x    5  2.5x1  x 2  3x 3  5     2   x1  6x 3  7   1 0 6   x 3  7  Hệ pt tuyến tính Dạng ma trận 4
Giải hệ pt tuyến tính Một số hệ thống của phương  Một hệ phương trình là không trình có thể có vô số các phù hợp nếu không tồn tại nghiệm nghiệm cho hệ phương trình: x1  2x 2  3 Có vô số nghiệm x1  2x 2  3 2x1  4x 2  6 2x1  4x 2  5  x1   a   x   0.5(3  a)  x2  2   Nghiệm của hệ trên đồ thị. Nghiệm x1=1, x2=2 x1  x2  3 x1  2 x2  5 x1 5
Phép khử Gauss  Phương pháp bao gồm 2 bước:  Quá trình thuận: hệ được rút gọn tới ma trận tam giác trên (hay còn gọi là dạng bậc thang)  Quá trình ngược: Giải hệ pt từ pt cuối cùng (hàng cuối của ma trận tam giác trên), giải cho xn ,xn-1,…x1.  a11 a12 a13   x1   b1  a11 a12 a13   x1   b1  a a22 a23   x   b   0 a22 ' a23 '  x   b '  21  2  2   2  2  a31 a32 a33   x3  b3   0 0 a33 '  x3  b3 ' Biến đổi các phần tử của hàng Cộng các hàng lại với nhau: Nhân bất kỳ hàng nào với hằng số khác 0. 6
 6 2 2 4   x1   16  Ví dụ: 12 8  x   26  6 10   2     Giải  3 13 9 3   x 3   19  Quá trình thuận        6 4 1 18  x 4   34  Bước 1: Khử x1 từ các hàng 2, 3, 4 Bước 2: Khử x2 từ các hàng 3, 4 6 2 2 4   x1   16  6 2 2 4   x1   16  0 4 2 2   x   6  0 4 2 2   x   6     2      2   0 12 8 1   x 3   27  0 0 2 5   x 3   9       0 0 4 13  x   21 0 2 3 14   x 4   18   4 6 2 2 4  x1  16  Bước 3: Khử x1 từ các hàng 4 0 4 2 2  x   6     2   0 0 2 5  x 3   9        0 0 0 3  x 4   3 7
Quá trình ngược Giải cho x4 sau đó giải tuần tự cho x3, x2 và x1. 3 9  5 x4   1, x3   2 3 2 6  2(2)  2(1) 16  2(1)  2(2)  4(1) x2   1, x1  3 4 6 Công thức tổng quát quá trình thuận  a i1   a ij  a ij    a1j (1  j  n)  Khử x1  a11   2  i  n  a i1   bi  bi    b1   a11    a i2   a ij  a ij    a 2 j (2  j  n)   a 22   3  i  n Khử x2  a i2   bi  bi    2 b  8  22  a 
 a ik   a ij  a ij    a kj (k  j  n)  Khử xk  a kk   k 1 i  n  a ik   bi  bi    k b   kk  a  Tiếp tục tới xn-1 được khử. Quá trình ngược bn b n 1  a n 1,n x n xn  x n 1  a n,n a n 1,n 1 n bi   a i, jx j b n 2  a n 2,n x n  a n 2,n 1x n 1 ji 1 x n 2  xi  a n 2,n 2 a i,i 9
Ví dụ: Dùng phép khử Gauss để giải hệ dưới đây. Quá trình thuận x1  2x 2  3x 3  8 Pt1 pivot 2 2x1  3x 2  2x 3  10 pt2  pt2    pt1 1 3 3x1  x 2  2x 3  7 pt3  pt3    pt1 1 Bước 1: Khử x1 từ phương trình 2 và 3. x1  2x 2  3x 3  8  x 2  4x 3  6  5x 2  7x 3   17 10
Khử x2 từ pt 3 x1  2x 2  3x 3  8 Pt 1 giữ nguyên  x1  2x 2  3x 3  8  x 2  4x 3  6 Pt 2 pivot     x 2  4x 3  6  5    5x 2  7x 3   17 pt3  pt3    pt2  13x 3 13  1  Quá trình ngược b3 13 b 2  a 2,3 x 3 6  4x 3 x3    1; x2   2 a 3,3 13 a 2,2 1 b1  a1,2 x 2  a1,3 x 3 8  2x 2  3x 3 x1   1 a1,1 a1,1  x1  1  x   2 Nghiệm  2    x 3  1  11
Định thức Biến đổi các số hạng từ ma trận A → A’ như ở dưới không ảnh hưởng đến định thức: 1 2 3  1 2 3  A   2 3 2    A'  0 1 4       3 1 2  0 0 13  det(A)  det(A')  13 Bao nhiêu giải pháp mà hệ pt AX=B có ? Giải được: Det(A) ≠ 0: ma trận thu gọn không có các hàng zero. Không giải được: Det(A) = 0: ma trận thu gọn có 1 hoặc nhiều hàng zero tương ứng với các phần tử B ≠ 0. Vô số nghiệm: Det(A) = 0 :ma trận thu gọn có 1 hoặc nhiều hàng zero tương ứng với các phần tử B = 0. 12
Ví dụ: Giải được Không giải được Vô số nghiệm 1 2  1  1 2  2 1 2  2 3 4  X   2  2 4 X  3 2 4 X  4                1 2  1 1 2  2 1 2  2 0 2  X   1 0 0  X   1 0 0  X   0              Nghiệm Không giải được Vô số nghiệm 0     X  0  1 X  0.5 1  .5   Không thể !!! 13
Lập trình Code: Quá trình thuận Quá trình ngược for k = 1: n-1 xn = bn / an,n for i = k+1 : n for i = n-1 : 1 heso = ai,k / ak,k tong = bi for j = k+1 : n for j = i+1 to n ai,j = ai,j – heso* ak,j tong = tong – ai,j * xj end end bi = bi – heso* bk xi = tong / ai,I end end end 14
PP khử Gauss với Scaled Partial Pivoting (SPP) Các vấn đề với pp Gauss o Nếu các phần tử pivot bằng không thì không sử dụng được phương pháp khử Gauss. 0 1  x1  1  1010 1  x1  1  1 1  x   2         2    1 1  x2  2 o Nếu các phần tử pivot (các phần tử trên đường chéo) rất bé thì sẽ có sai số do các phép tính làm tròn các con số sau dấu chấm thập phân. Ví dụ 1 1 2 1  x1   1  3 2 1 4 x   1  Giải hệ dùng pp khử    2   Gauss với SPP. 5 8 6 3  x3   1        15 4 2 5 3  x 4   1
Ví dụ : Bước chuẩn bị  1 1 2 1  x1   1  3 2 1 4 x   1  Véc tơ tỉ lệ:    2   5 8 6 3  x3   1  Không quan tâm đến dấu       4 2 5 3  x 4   1 Tìm phần tử lớn nhất trong mỗi hàng. S   2 4 8 5 Véc tơ tỉ lệ: L  1 2 3 4 Véc tơ chỉ số Tai sao véc tơ chỉ số  Vectơ chỉ số được sử dụng bởi vì nó là dễ dàng hơn nhiều để trao đổi một phần tử chỉ số đơn so với trao đổi các giá trị của một hàng đầy đủ.  Trong vấn đề thực tế với N rất lớn, sự trao đổi các phần tử của các hàng có thể không được thực tế. 16
Ví dụ: Quá trình thuận- Bước 1: Khử x1 Chọn pt pivot 1 1 2 1   x1   1  3 2 1 4   x 2   1  S  [2 4 8 5]       5 8 6 3  x 3   1  L  [1 2 3 4 ]       4 2 5 3   x 4   1   a li ,1   1 3 5 4  Tỉ lệ   i  1,2,3,4   , , ,     S  2 4 8 5   li Lớn nhất ở l4. Pt 4 là pt pivot đầu tiên. Thay đổi l4 và l1. L = [ 4 1 2 3] 17
Cập nhật A và B 1 1 2 1   x1   1  3 2 1 4   x 2   1      5 8 6 3  x 3   1        Pt pivot đầu tiên 4 2 5 3   x 4   1 0 1.5 0.75 0.25   x1  1.25  0 0.5 2.75 1.75   x 2  1.75       0 5.5 0.25 0.75  x 3   2.25       4 2 5 3   x 4   1  18
Quá trình thuận – Bước 2 Khử x2 Chọn pt pivot lần thứ 2  0 1.5 0.75 0.25   x1  1.25  Pt pivot thứ 2  0 0.5 2.75 1.75   x  1.75     2    0 5.5 0.25 0.75  x 3   2.25       4 2 5 3   x 4   1  S  [2 4 8 5 ] L  [ 4 1 2 3]   a li ,2   1.5 2.75 5.5  Tỉ lệ :  i  2,3,4     L  [ 4 1 2 3]   Sli    2 4 8  19
Quá trình thuận – Bước 3: Khử x3  0 1.5 0.75 0.25   x1   1.25  0 0     2.5 1.8333  2  2.1667 x  Pt pivot thứ 3     0 0 0.25 1.6667   x 3   6.8333       4 2 5 3   x 4   1  L  [ 4 1 2 3]  0 1.5 0.75 0.25   x1   1.25  0 0 2.5 1.8333  x 2   2.1667      0 0 0 2   x3   9        4 2 5 3   x 4   1  20